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高中必修1-5错误解题分析系列-《6.3平面与平面之间的位置关系》


§6.3 平面与平面之间的位置关系 一、基础知识导学 1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行). 2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行 平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行). 3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面). 4. 二面角的有关概念 (从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角) 与运算; 二 面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线 定理及逆定理法、垂面法等). 二、疑难知识导析 1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2.面面平行也是推导线面平行的重要手段;还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两 个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两 条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反 复运用. 3. 对于命题 “三个平面两两相交, 有三条交线, 则这三条交线互相平行或者相交于同一点.” 要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5.注意二面角的范围是 [0, ? ] ,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二 面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式 cos?=S ,用的时候要进行交代.在二 S
/

面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一:补充棱;方法二:利用“如果 ;方法三:公式 cos?=S 等,求二面角中解三角形 ? ? ?=l, 且? ? ?,? ? ?,则l ? ? ” S
/

时注意垂直(直角) 、数据在不同的面上转换. 三、经典例题导讲 [例 1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α ,β ,则α +β 满足( 0 0 0 0 A.α +β <90 B.α +β ≤90 C.α +β >90 D.α +β ≥90 错解:A. 错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况. 正解:B. [例 2].如图,△ABC 是简易遮阳棚,A,B 是南北方向上两个定点, 正东方向射出的太阳光线与地面成 40°角,为了使遮阴影面 ABD 面 积最大,遮阳棚 ABC 与地面所成的角应为( ). A.90° B.60° C.50° D.45° 错解:A. 正解:C

).

[例 3]已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面边长是 10, 高是 12, 过底面一边 AB, 作与底面 ABC 成 60

0

角的截面面积是_____. 错解: 50 3 .用面积射影公式求解:S 底= 4
3

?100 ? 25 3, S 截= cos底 ? ? 50 3 . 60
S

错因:没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解: 48 3 . [例 4]点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心,点 E , F 分别是 AD , BC 的 中点. 沿对角线 AC 把正方形 ABCD 折 成直二面角 D-AC-B. (1)求 ?EOF 的大小; (2)求二面角 E ? OF

? A 的大小.

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角. 正解: (1)如图,过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G ,过点 F 作 FH⊥AC,垂足为 H ,则

EG ? FH ? 2 , GH ? 2 2
D H E M O G A B E F C

. D

H M O F B G

C

A

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,

? EF 2 ? GH 2 ? EG 2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?
? (2 2)2 ? ( 2)2 ? ( 2)2 ? 0 ? 12.
又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,

? cos ?EOF ?

OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3)2 1 ? ?? . 2OE ? OF 2? 2? 2 2

??EOF ? 120? .
(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥ 平面 BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得 EM⊥OF. ∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角. 在 Rt ? EGM 中, ?EGM

? 90? , EG ? 2 , GM ? OE ? 1 ,

1 2

∴ tan ?EMG

?

EG ? 2 .∴ ?EMG ? arctan 2 . GM

所以,二面角 E ? OF

? A 的大小为 arctan 2

[例 5]如图,平面 α ∥平面 β ∥平面 γ ,且 β 在 α 、γ 之间,若 α 和 β 的距离是 5, β 和 γ 的距离是 3,直线 l 和 α 、β 、γ 分别交于 A、B、C,AC =12,则 AB= ,BC= . 解 :作 l ′ ⊥ α , ∵ α ∥β ∥γ ,∴

l′与β 、γ 也垂直,

l ′ 与 α 、 β 、 γ 分 别 交 于 A1、 B1、 C1.
因 此 , A1B1 是 α 与 β 平 面 间 的 距 离 , B1C1 是 β 与 γ 平 面 间 的 距 离 , A1C1 是 α 与 γ 之 间 的 距 离 . ∴ A1B1= 5, B1C1= 3, A1C1= 8, 又 知 AC= 12

AB ? AC

?

A B1 1 A C1 1

,

5?12 ?A B = 8

?

15 2

AB BC ,

?

A1B1 B1C1

, BC=

15 ?3 2

5

?

9 2

.

15 答 : AB= 2

, BC= 2

9

.

[例 6] 如图,线段 PQ 分别交两个平行平面α 、β 于 A、B 两 点,线段 PD 分别交α 、β 于 C、D 两点,线段 QF 分别交α 、 β 于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12,△ACF 的面 积为 72,求△BDE 的面积. 解:∵平面 QAF∩α =AF,平面 QAF∩β =BE 又∵α ∥β ,∴ AF∥BE 同理可证:AC∥BD.∴∠FAC 与∠EBD 相等成互补 由 FA∥BE,得:BE:AF=QB:QA=12:24=1:2,∴BE= 2 由 BD∥AC,得:AC:BD=PA:PB=9:21=3:7,∴BD= 3 又∵△ACF 的面积为 72,即
1 2

1

AF AC

7

AF ? AC ? sin ?FAC
1 2

=72

S ?DBE = 1 BE ? BD ? sin EBD ? 2

? 1 ? AF ? 7 AC ? sin ?FAC 2 3

=

7 6

? 1 AF ? AC ? sin ?FAC ? 7 ? 72 ? 84, 2 6

答:△BDE 的面积为 84 平方单位. [例 7]如图,B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心. (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD (2)求 S ?MNG :S ?ADC 解:(1)连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、 H ∵ M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,
BM

则有: MP

?

BN NF

?

BG GH

?2

连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF 又 PF ? 平面 ACD ∴ MN∥平面 ACD

同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M ∴ 平面 MNG∥平面 ACD.

MG (2)由(1)可知: PH
∴MG= 3 ∴MG= 3
1
2

?

BG BH

?

2 3

PH ,又 PH= 1 AD 2

AD
1

, ,

同理:NG= 3 ∴

AC, MN ? 1 CD 3

△MNG∽△ACD,其相似比为 1:3
=

∴S ?MNG :S ?ADC

1:9

[例 8]如图,平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上,且 CD=a,AB=b,CD⊥AB. (1)求证:EFGH 是矩形. (2)求当点 E 在什么位置时,EFGH 的面积最大. (1)证明:∵CD∥面 EFGH,而面 EFGH∩面 BCD=EF.∴CD∥EF 同理 HG∥CD.∴EF∥HG 同理 HE∥GF.∴四边形 EFGH 为平行四边形 由 CD∥EF,HE∥AB ∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角或其补角, 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形 EFGH 为矩形.

(2)解:由(1)可知在△BCD 中 EF∥CD,其中 DE=m,EB=n ∴

EF BE n ? ,? EF ? a CD DB m?n HE DE m ? , HE ? b AB DB m?n
m n mn ·b· a= ab m?n m?n ( m ? n) 2
2

由 HE∥AB ∴

又∵四边形 EFGH 为矩形 ∴S 矩形 EFGH=HE·EF=

∵m+n≥2 m n ,∴(m+n) ≥4mn ∴

1 mn ≤ ,当且仅当 m=n 时取等号,即 E 为 BD 的中点时, 2 4 ( m ? n) 1 mn ab≤ ab, 2 4 ( m ? n)

S 矩形 EFGH=

?

矩形 EFGH 的面积最大为

1 ab. 4

点评:求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等. 四、典型习题导练 1. 山坡面α 与水平面成 30°的角, 坡面上有一条公路 AB 与坡角线 BC 成 45°的角, 沿公路 向上去 1 公里时,路基升高_____米. 2. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成 二面角(小于或等于 90°)的度数是_____.

3. 在 60°二面角的棱上,有两个点 A、B,AC、BD 分别是在这个 二面角的两个面内垂直于 AB 的线段.已知:AB=4cm,AC=6cm,BD =8cm,求 CD 长.

4.如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC, 且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°. 求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

5. 已知: 如图, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC, 垂直平分 SC, DE 且分别交 AC、 于 D、 又 SA=AB, SC E, SB=BC,求二面角 E-BD-C 的度数.


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