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2015-2016学年广西桂林市第十八中学高二上学期段考数学(文)试卷


绝密★启用前

2015-2016 学年广西桂林市第十八中学高二上学期段考数学(文) 试卷
注意:①本试卷考试时间 120 分钟,满分 150 分; ②正式开考前,请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚,用 2B 铅笔在填涂区准确 涂好自己的考号,并检查是否完全正确; ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应的位置上,直接在试卷上做答不得分。 一.

选择题(本题满分 60 分) 1. 若 a、b、c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. ac ? bc B.

c2 ?0 a?b

C. (a ? b)c 2 ? 0

D.

1 1 ? a b

2.在等比数列?an ?中,a4 a10 ? 9, 则a7 ? A.3 B. ? 3 C. ? 3 D. ? 2
y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为 4 3 2 A. y ? ? 2 x B. y ? ? x C. y ? ? x 3 2

3.双曲线

1 D. y ? ? x 2

1 4. “x ? 1”是“ ? 1”的 x A.充要条件 C.必要非充分条件

B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

5.在区间? 0, 4 ?内随机取数a,则使函数f ? x ? ? a x 为增函数的概率是 A. 3 4 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 2

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 A.2 B.4 C.8 D.16

7.已知命题p : ?x ? R, 2 x ? 3x , 命题q : ?x ? R, x3 ? 1 ? x 2 , 则下列命题为 真命题的是 A. p ? q B. p ? ?q C.?p ? q D.?p ? ?q

8.已知F ? ?3,0 ? , 直线?:x ? 3, 则过点F 且与直线?相切的圆的圆心M的轨迹方程为 A.y 2 ? ?12 x B.x 2 ? ?12 y C.y 2 ? 12 x D.x 2 ? 12 y

9.设Sn是等差数列?an ?的前n项和,若a1 ? 0, S12 ? 0,若Sk 是数列?Sn ?中的最大项,则k ? A.5 B.6 C.7 D.8

1 2 10.已知a, b ? R ? , a ? b ? 1, 则 ? 的最小值为 a b A.4 2 B.3 ? 2 2 C.3 D.4

-1-

11.已知F1、F2是双曲线C:x 2 ? y 2 ? 1的左右焦点,点P在C上,若?F1PF2 ? A.2 B.4 C.6 D.8

?
3

,则 PF1 ? PF2 =

12.在四边形ABCD中,AD ? CD, AD ? 10,AB ? 14,?BDA ? A. 2 B. 2 2 C.4 2 D.8 2

?
3

,?BCD ?

3? ,则BC ? 4

二. 填空题(本题满分 20 分)

? y ? 2x ?1 ? 0 y ? 13.已知x, y满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 4 ?
14.如图所示,某几何体的三视图在网格纸上,且网格纸上小正方形 的边长为1,则该几何体的体积为

15.若数列?an ? 满足:an ? 2an?1 ? 1,a1 ? 1, 则通项公式an ?
16.设椭圆 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ?的左右焦点分别为F1、F2,焦距为2c.直线y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆的一个 a 2 b2 交点为M,若?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 , 则椭圆离心率为

三. 解答题(本题满分 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a1 ? 2,a3 ? a2 ? 4 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 ?a n ?bn ?的前 n 项和 S n .

18.(本小题满分 12 分)

已知F1 ? 2,0 ,F2

?

? ?

???? ??? ? 2,0 , 满足 PF2 ? PF1 ? 2的P的轨迹是曲线E,

?

?1? 求曲线E的方程; ? 2 ? 直线?:y ?
1 x ? 1与曲线E交于A、B两个不同点,求 AB . 2

-2-

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, BC ? PD ? 2 , E 为 PC 的中点, CB ? 3CG (1)求证: PC ? BC; (2)求三棱锥 C ? DEG 的体积

P

E

D G A B

C

20.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 . (1)若不等式的解集是 x 1 ? x ? 5 ,求 a 的值; (2)若 a ? 1 ,求此不等式的解集.

?

?

21. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , b sin A ? ? 3a cos B . (1)确定角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的角平分线 BD 交线段 AC 于 D ,且 BD ? 1, S?ABC ? 3 ,记 ?BCD 和 ?ABD 的面积分别 为 S1 、 S 2 ,求

1 S1
2

+

1 S2
2

.

-3-

22. (本小题满分 12 分)
已知抛物线C:y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F和椭圆 线于A、B两点. x2 y 2 ? ? 1的右焦点重合,直线?过点F且交抛物 4 3

?1? 求抛物线C方程; ???? ???? ???? ??? ? ? 2 ? 若直线?交y轴于点M,且MA ? mAF , MB ? nBF , 对任意直线?,m ? n是否为定值?若是,
求出m ? n的值;若不是,说明理由.

桂林十八中 15-16 学年度上学期 14 级段考试卷

数学答案(文科)
一.选择题 CCABA CCABB BD 二. 填空题(本题满分 20 分)
13.5
14.

?
3

1 5 . n2? 1

16. 3 ? 1

三. 解答题(本题满分 70 分) 17. (本小题满分 10 分)
解:(1)设数列 由 a1 又q ∴

?an ? 的公比为 q , 且 q ? 0

? 2,a3 ? a2 ? 4 得 2q 2 ? 2q ? 4,即q 2 ? q ? 2 ? 0,
? 0 , ?q ? 2
????5分

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n.
? ?a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?b1 ? b2 ? ? ? bn ?
-4-

(2) S n

2 1 ? 2n n(n ? 1) ? ? n ?1 ? ?2 1? 2 2
? 2 n?1 ? n 2 ? 2
18. (本小题满分 12 分)

?

?

????5分

解: ?1?由已知得:曲线E是以F1 ,F2为焦点的双曲线, 且a ? 1, c ? 2, b ? c 2 ? a 2 ? 1, ?曲线E:x 2 ? y 2 ? 1???? 6分 1 ? 3 ? y ? x ?1 ,得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ? 2 ?由 ? 2 4 2 2 ? ?x ? y ? 1 4 8 x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? ? 3 3 AB ? x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2 2 2 ?8 ? 2 35 ? 1 ? ?? 4 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?1 ? ? ?? ? ? ? 4 ? ? ? ???? 6分 ? 3? 3 ? 4 ?? ?? 3 ? ?

设A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ?,则

? PD ? BC

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:? PD ? 平面 ABCD ,

P E

又∵ ABCD 是正方形 ∴ BC ? CD ∵ PD ? CD ? D ∴ BC ? 平面 PCD 又∵ PC ? 面 PBC ???? 6分 ∴ PC ? BC (Ⅱ)解:∵ BC ? 平面 PCD , ∴ GC 是三棱锥 G ? DEC 的高 ∵ E 是 PC 的中点

D G

C

A B 1 1 1 1 ? S ?EDC ? S ?EDC ? S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ?VC ? DEG ? VG ? DEC ? GC ? S ?DEC ? ? ? 1 ? ……………………………6 分 3 3 3 9

20. (本小题满分 12 分)
解: (1)由题意知 a

? 0 ,且 1 和 5 是方程 ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 的两根,

1 , a 1 解得 a ? 5
∴ 1? 5 ?

.
2

???? 6分

? ?ax ? 1??x ? 1? ? 0, ????1分 1? ? ? a? x ? ??x ? 1? ? 0 a? ?

(2)若 a ? 0 ,此不等式为 ax

? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ,

-5-

? 1 1? 0 ? a ? 1时, ? 1, 此不等式解集为 ? x 1 ? x ? ?, ???? 2分 a a? ? ? ? 1 1 a ? 0时, ? 1, 此不等式解集为 ? x x ? , 或x ? 1?, ???? 2分 a a ? ?
若 a ? 0 ,此不等式解集为

?x x ? 1?

????1分

21. (本小题满分 12 分) 21. 解: ?1?.由已知得sin B sin A ? ? 3sin Acos B

? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0,?sin B ? ? 3 cos B,? tan B ? ? 3 ,
? 0 ? B ? ? ,? B ? 2? 3
????5分

? 2 ?由S?ABC ?
? ac =4

1 2? 3得 ac ? sin ? 3 2 3

? BD为?ABC的平分线, ??ABD ? ?CBD ?
? S?ABC ? S?BCD ? S?ABD

?
3

? ac ? sin

1 2? 1 ? 1 ? ? a sin ? c sin 2 3 2 3 2 3 ? a ? c ? ac ? 4

在 ?BCD 中

S1 =

1 3 3 ?1 ? a ? a = 4 2 2

同理 S 2 ?

3 c 4
2

?

1 1 16 ? 1 1 ? 16 ? a ? c ? ? 2ac 16 ? 2? 8 ? 2 = ?? 2 ? 2 ?= ? ? ?1 ? ? ? 2 2 S1 S2 3 ?a c ? 3 (ac) 3 ? ac ? 3

???? 7分

22. (本小题满分 12 分)

-6-

解: ?1? 椭圆右焦点F ?1,0 ? P ?1? p ? 2 2 ? 抛物线C方程为y 2 ? 4 x????5分 ?

? 2 ?由已知得,直线?斜率存在,设直线?:y ? k ? x ? 1? 则?交y轴于点M ? 0, ? k ? ? y ? k ? x ? 1? 由 得k 2 x 2 ? 2 k 2 ? 2 x ? k 2 ? 0
? 2 ? y ? 4x

?

?

2 2 2 2 ? ?? ? ? ? ?2 ? k ? 2 ? ? ? 4 ? k ? k ? 16 ? k ? 1? ? 0 2

2k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 k2 ???? ???? x 由MA ? m AF得 ? x1 , y1 +k ? ? m ?1 ? x1 , ? y1 ? ? m ? 1 1 ? x1 设A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? ,则x1 ? x2 ? 同理n ? x2 1 ? x2

2k 2 ? 4 ? 2 ?1 2 x x x ? x ? 2 x1 ? x2 4 ?m ? n ? 1 ? 2 ? 1 2 ? k 2 ? ? ?1 2k ? 4 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?4 1? ?1 k2 ? 对任意直线?,m ? n为定值 ? 1???? 7分

-7-


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