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高一数学必修1


知识探究(一):二分法的概念

思考1:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路,如何迅速查出故障 所在?
x

解析

思考2:已知函数 f (x) ? ln x-0.8 ?1 在区间(0,1)内有零点,你有什么 方法求出这个零点的近似值(精确到 0.01)? 解析<

br />
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

A

C

E

D

B

思考2解析:怎样计算函数 f (x) ? ln x ? 0.8x ?1 在区间(0,1)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m) 的近似值 精确度|a-b|

(0,1) (0.5,1) (0.75,1) (0.75,0.875) (0.8125,0.875) (0.8125,0.84375) (0.828125,0.84375) (0.8359375,0.84375)

0.5 0.75 0.875 0.8125 0.84375 0.828125 0.8359375 0.83984375

-0.588 -0.134 0.0438 -0.042 0.0017 -0.020 -0.009 -0.0036

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

思考3:上述求函数零点近似值的方法叫 做二分法,那么二分法的基本思想是什 么? 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

知识探究(二):

用二分法求函数零点近似值的步骤

思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么?

确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么?
求区间的中点c,并计算f(c)的值

思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则 分别说明什么?
若f(c)=0 ,则c就是函数的零点;

若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c);
若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

思考4:若给定精确度ε,如何选取近似 值? 当|a—b|<ε 时,区间[a,b]内的任 意一个值都是函数零点的近似值.
思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么?
y
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0

y

o x o x

例题分析

例1 用二分法求方程 2x ? 3x-3=0的近 似解(精确到0.01).
3

图片展示

例2 求方程 log3 x ? x-3=0的实根个数及 其大致所在区间(精确到0.01).
图片展示

用二分法求函数零点近似值的基本步骤: 1.确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0 ,给 定精确度ε ; 2. 求区间(a,b)的中点c; 3. 计算f(c): (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0 ,则令b=c,此时零点 x0∈(a,c); (3)若f(c)·f(b)<0 ,则令a=c,此时零点

x0∈(c,b).

4. 判断是否达到精确度ε :若 a ? b ? ? ,则 得到零点近似值a(或b),一般用中点的近似 值来作为零点的值;否则重复步骤2~4.

作业 P119习题4.1A组:1,2,3,4题

例1\解:列表如下
区间
(0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (0.6875,0.75)

中点c
0.5 0.75 0.625 0.6875 0.71875

f(c)的值
-1.25 0.09375 -0.63671875 -0.287597656 -0.101135254

精确度|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625

(0.71875,0.75) (0.734375,0.75)
(0.734375,0.7421875)

0.734375 0.7421875
0.73828125

-0.004768372 0.044219017
0.019657731

0.03125 0.015625
0.0078125

例2\解:列表如下
区间
(1,3) (2,3) (2,2.5) (2.25,2.5) (2.25,2.375) (2.25,2.3125) (2.25,2.28125) (2.25, 2.265625) (2.25, 2.2578125)

中点c
2 2.5 2.25 2.375 2.3125 2.28125 2.265625 2.2578125 2.25390625

f(c)的值
-0.369 0.334 -0.012 0.162 0.076 0.032 0.010 0.319 -0.006

精确度|a-b|
2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125


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