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2.4圆锥曲线的应用


2.4 圆锥曲线的应用
1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的集合是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析:选 D.F1、F2 是两定点,|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨迹应为 一条射线. 2.若△ABC 的两个顶点坐标为 A(-4,0)

、B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程 为( ) + =1(y≠0) B. + =1(y≠0) C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0) 25 9 25 9 16 9 16 9 解析:选 A.因为|AB|=8,|CA|+|CB|=18-8=10,所以顶点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的 A. 椭圆(去掉长轴的两个端点).又因为 2a=10,2c=8,所以 b =9.所以顶点 C 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 9 3.
2

x2

y2

y2

x2

x2

y2

y2

x2

x2
25

y

2

如图所示, 南北方向的公路 l, A 地在公路的正东 2 km 处, B 地在 A 地东偏北 30°方向 2 3 km 处,河流沿岸 PQ(曲线)上任一点到公路 l 和 A 地距离相等,现要在曲线 PQ 上任选一处 M 建 一座码头,向 A、B 两地转运货物,经测算从 M 到 A、从 M 到 B 修建公路的费用均为 a 万元/ 千米,那么修建这条公路的总费用最低为( ) A.(2+ 3)a 万元 B.2( 3+1)a 万元 C.5a 万元 D.6a 万元 解析:选 C.

如图,分别过 M、B、A 作直线 MM′⊥l,BB′⊥l,AA1⊥l,垂足分别为 M′、B′、A1,过点 B 作 BB1⊥AA1,垂足为 B1,连接 A、B 两点,由已知可得,|AB1| 3 =|AB|cos30°=2 3× =3.又|AA1|=2,可得|BB′|=3+2=5.由抛物线定义可得|AM|= 2 |MM′|.∴修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM′|+|MB|)a≥|BB′|a=5a(万元).故选 C. 4.2008 年 9 月,我国载人航天飞船“神七”飞行获得圆满成功.已知“神七”飞船变轨前 的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为 200 km, 350 km.设地球半径为 R km,则飞船轨道的离心率是________(结果用 R 的式子表示). 解析:由题意知 a-c=200+R,a+c=350+R,求得:a=275+R,c=75,所以离心率 e= = 75 75 .答案: 275+R 275+R
1

c a

一、选择题 1.

卫星顺利进入周期为 3.5 小时的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点). 卫星远月点(距离月球 表面最远的点)高度由 8600 公里降至 1700 公里,近月点(距离月球表面最近的点)高度是 200 公里,月球的半径约是 1800 公里,且近月点、远月点、月球的球心在同一直线上,此时小椭 圆轨道的离心率是( ) 3 3 5 3 A. B. C. D. 11 5 11 22 解析:选 A.由题意知 a+c=1700+1800=3500①a-c=200+1800=2000② 2c 3 ①+②得 2a=5500,①-②得 2c=1500,∴e= = . 2a 11 2.如图所示,图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线均以图中 F1、F2 为焦点,设图中双曲线的离心率分别为 e1、e2、e3,则 e1、e2、e3 三者之间的大小关系为( )

A.e1>e2>e3 B.e3>e2>e1 C.e2>e1=e3 D.e1=e3>e2 解析:选 D.建立以 F1F2 的中点为原点,F1F2 所在直线为 x 轴的直角坐标系,由双曲线的定义 知|MF2|-|MF1|=2a, 设各正多边形的边长均为 2, 则图(1)中 2a= 3-1,2c=2, e1= 3+1; 10+ 2 图(2)中,2a= 5-1,2c=2 2,e2= ;图(3)中,2a=2 3-2,2c=4,e3= 3+1, 2 ∴e1=e3>e2. 3.炮弹运行的轨道是抛物线,现测得我炮位 A 与目标 B 的水平距离为 6000 m,而当射程是 6000 m 时,炮弹运行轨道的最大高度是 1200 m,在 A,B 间距 A 点 500 m 处有一高度达 350 m 的障碍物,则炮弹( ) A.不可以越过障碍物 B.可以越过障碍物 C.是否可以越过障碍物不确定 D.以上说法均不对 解析:

选 A.以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴建立坐标系(如图所示),最高点坐标为 O′(3000,1200)、 1 B(6000,0).设抛物线的方程为 y-1200=m(x-3000)2,将 B 点的坐标代入,得 m=- , 7500 1 1100 所以抛物线方程 y-1200=- (x-3000)2,将 x=500 代入,得 y= . 7500 3 1100 即离炮位于 500 m 处炮弹高度为 m,大于 350 m,∴炮弹能越过障碍物. 3 4.
2

如图所示,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的 沿岸 PQ(曲线)上任一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.试确定河流为何种圆锥曲线,则其 标准方程为( ) A.y - =1 3 解析:选 C.
2

x2

B.y - =1(y≥1) 3

2

x2

C.x - =1(x≥1) 3

2

y2

D.x - =1 3

2

y2

以 AB 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系如图, 则 A(-2,0), B(2,0), 根据题意,知|MA|-|MB|=2,于是 PQ 为以 A、B 为焦点的双曲线的右支.2a=2,∴a=1,c =2,b =c -a =3.其方程为 x - =1(x≥1). 3 5. 我国自行研制的“中星 20 号”通信卫星, 于 2003 年 11 月 15 日开始精确地进入预定轨道. 这 颗卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点与地球表面的距离为 212 km, 远地点与地球表面的距离为 41981 km.已知地球半径约为 6371 km,则这颗卫星运行轨道的近 似方程为(长、短半轴的长精确到 0.1 km)( ) A. C.
2+ 2=1 27467.5 17841.0 2 2 2 2

y2

x2 x2

y2 y2

B. D.

y2
27467.5

2+

x2
17841.0
2

=1 =1

- =1 27467.52 17841.02 解析:选 A.

y2
27467.5

2-

x2
17841.02

以卫星运行的椭圆形轨道的中心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,使地球中心 F 在 x 轴上.点 F(c,0)是椭圆的一个焦点,椭圆与 x 轴的交点 A、B 分别是近地点、远地点. 设所求的卫星运行轨道的方程为 2+ 2=1(a>b>0).由已知得 a-c=FA=6371+212=6583,

x2 y2 a b

a+c=FB=6371+41981=48352,解得 a=27467.5.b= a2-c2= ? a+c? ? a-c?
= 48352×6583≈17841.0.因此,所求的卫星运行轨道的近似方程为 + =1. 27467.52 17841.02 6.喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶部 A 处,喷出的水流的最高点为 B,距地面 5 m,且与管 柱 OA 相距 4 m,水流落在以 O 为圆心,半径为 9 m 的圆上,则管柱 OA 的长为( ) A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.1.8 m 解析:
3

x2

y2

选 D.如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0). 又点 C(5,-5)在抛物线上,∴25=-2p·(-5),2p=5,即 x2=-5y. 16 点 A(-4,y0)在抛物线上,∴16=-5y0,y0=- =-3.2, 5 ∴|OA|=5-3.2=1.8(m),即管柱 OA 的长是 1.8 m. 二、填空题 7.某卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为左焦点的椭圆,测得该卫星的近地点 A 距地面 r1 千米,远地点 B 距地面 r2 千米,地球半径为 R 千米,则关于该运行轨道有以下三种说法: r2-r1 ①焦距长为 r2-r1;②短轴长为 ? r1+R? ? r2+R? ;③离心率 e= ,以上说法正 r1+r2+2R 确的是________. 解析:设椭圆轨道的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,则 a+c=r2+R,a-c=r1+R. r1+r2+2R r2-r1 c r2-r1 ∴a= ,c= .∴b= a2-c2= ? R+r1? ? R+r2? .∴e= = . 2 2 a r1+r2+2R 答案:①③ 8.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是________.(填写所有正确选项的序号) ①菱形;②有三条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形;⑤有一组对角相等的四边形. 解析:结合图形将各种情况逐一探究,综合应用抛物线的性质.如图 (1),任作一组斜率为 k(k≠0)的直线 AB、CD,使 AB∥CD 且均与抛物线有两个交点,则 ABCD 构成四边形.由于 AB ∥CD,结合抛物线性质知 AC 与 BD 不平行,故 ABCD 不可能为平行四边形,同时也不可能为菱 形,但可以为梯形,故①④不可能是,而③可以是.

由图(1)知,当边 CD 确定时,过点 C 总可以作弦 CA,使 CD=AC,同理可作出 DC=DB,故可 以有三边相等的四边形,故②可能是. 再如图(2),作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,作弦 AB 的垂直平分线交抛物线于 C、D 两点, 连接 AC、BC、AD、BD,根据中垂线的性质,AC=BC,且 AD=BD,∴△ACD≌△BCD,∴∠CAD =∠CBD.即四边形 ABCD 有一组对角相等,故⑤可能是.答案:②③⑤ 9.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直, 灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是 24 cm,灯深 10 cm,那么灯泡与反射镜顶点(即 截得抛物线顶点)间的距离是________cm. 解析:

取反光镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系 xOy,
4

如图所示.因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,所以点 A 的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).由点 A(10,12)在抛物线上,得 122=2p×10,所以 p=7.2. 所以抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反光镜顶点间的距离是 3.6 cm. 答案:3.6 三、解答题 10.彗星“紫金山一号”是南京天文台发现的,它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆, 测得轨道的近日点距太阳中心 1.486 天文单位,远日点距太阳中心 5.563 天文单位(1 天文单 位是太阳到地球的平均距离,约 1.5×108 km),近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上, 求轨道的方程. 解:设太阳中心、近日点、远日点分别为 F2、A、B,如图所示,建立直角坐标系,则椭圆的

x2 y2 方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

由 a-c=|AF2|=1.486,a+c=|BF2|=5.563.解得 a=3.5245,c=2.0385. ∴b= a2-c2= ? a+c? ? a-c? = 5.563×1.486≈2.8752. 因此,所求轨道的方程为 11.

x2
3.5245

2+

y2
2.87522

=1.

如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向 上至最高点后落下,若最高点距水面 2 m,P 距抛物线的对称轴 1 m,则水池的直径至少应设 计多少 m?(精确到整数位) 解:如图所示,

建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),依题意有 P′(1,-1), 1 在此抛物线上,代入得 p= ,故得抛物线方程为 x2=-y.又 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代 2 入抛物线方程得 x= 2,即|AB|= 2,则水池半径应为|AB|+1= 2+1, 因此所求水池的直径为 2(1+ 2),约为 5 m,即水池的直径至少应设计为 5 m. 12.

某农场在 P 处有一堆肥,今要把这堆肥沿道路 PA 或 PB 送到田地 ABCD 中,已知 PA=100 m,
5

PB=150 m,∠APB=60°.请你在田地中选择一界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥较 近,而另一侧的点沿 PB 送肥较近,并说明是什么界线,求出它的方程. 解:设 M 为界线上任一点,则|AM|+|AP|=|BM|+|BP|,∴|AM|-|BM|=|BP|-|AP|=50, 可见,点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支的一半. x2 y2 设点 M 的轨迹方程为 2- 2=1(x>0,y≥0),则 2a=50,a=25.∵∠APB=60°, a b 2 2 ∴|AB| =|AP| +|BP|2-2|AP|·|BP|cos60°=2500×7,∴2c=50 7,c=25 7,b2=c2- x2 y2 2 a =3750.故界线方程为 - =1(x>0,y≥0).
625 3750

6


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