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2014广安三诊数学(理)


2014 届高三第一轮复习资料

学生卷
9.如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰 直角三角形和一个边长为 1 的正方形,则其外接球的表面积为 (A)π (B)2π (C)3π (D)4π

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2014 年高 2011 级第三次诊断考试 数学试题(理工类)
一、选择题
1.设复数 z 满足 z· (i-1)=2i(其中 i 为虚数单位),则 z 等于 (A)1-i (B)1+i (C)-1+i (D)-1-i

第 9 小题图 10.已知实数 a,b 满足 a ? 2 ? 3b ? 6 ? 7 ? b ,则不等式 2 (A) (D) {x 0 ? x ? 2}
1?a

?1 ? a(a ? 2) 成立的概率为

2.设集合 M ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x log2 x ? 1} ,则 M ? N 等于 (A) {x ?1 ? x ? 3} (B) {x ?1 ? x ? 2} (C) {x 0 ? x ? 1}

1 4

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

3 4

3.设 ? 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是 (A)若 a∥? ,b∥? ,则 a∥ b (C)若 a⊥? ,a⊥ b,则 b∥? (B)若 a⊥? ,a∥ b,则 b⊥? ; (D)若 a∥? ,a⊥ b,则 b⊥? . 二、填空题

第Ⅱ卷 (非选择题

共 100 分)

4.抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=1,则实数 a 之值为 (A)4 (B)

11.执行右图程序,当输入 42,27 时,输出的结果是________.

1 4

(C) ?

1 4

(D)-4

?x ? y ? 2 y 12.若实数 x,y 满足 ? ,则 的取值范围是________. x ? x ? y ?1
13.从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本,其数据的分组及各组的 频数如下表,试估计总体的中位数为________. 分 组 频 数 [12,16) 4 [16,20) 8 [20,24) 5 [24,28) 3

5.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若(a +b)∥ (a - 2b),则实数 x 的值为 (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

INPUT a,b DO c=a-b a=b b=c LOOP UNTIL b<0 PRINT a END

6.设等比数列{an}的前 n 项积 Pn ? a1 ? a2 ? a3 ??? an ,若 P12=32P7,则 a10 等于 (A)16 (B)8 (C)4 (D)2
x

7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(log94)的值为 (A)-2 (B) ?

14.设 a 为非零常数,已知 ( x 2 ? )( x ? ) 6 的展开式中各项系数和为 2,则展开式中常数项等于 ________.

1 x

a x

1 2

(C)

1 2

(D)2

8.关于函数 f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是 (A)f(x)的最小正周期为 2π (B)f(x)在 [?

? 2 x ? 1 ? 1, x ? 1 ? 2 15.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 3x ? 3 ,下列关于函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? af ( x) ?1 (其中 a 为常 , x ?1 ? ? x ?1
数)的叙述中: ①对 ? a∈ R,函数 g(x)至少有一个零点; ②当 a=0 时,函数 g(x)有两个不同零点; ③ ? a∈ R,使得函数 g(x)有三个不同零点; ④函数 g(x)有四个不同零点的充要条件是 a<0.其中真命题有________.(把你认为的真命题 的序号都 填上) .
1

? 3?
8 , 8

] 内单调递增

(C)f(x)的图像关于 (? ? ,0) 对称 8 (D)f(x)的图像关于 x ?

?
8

对称

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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ABCD,AB=2PA,E 为 BC 的中点. (1)求证:AD⊥ PE; (2)求平面 APE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.

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17.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠ ABC=60? ,又 PA⊥ 底面

16.(本小题 12 分)在四边形 ABCD 中,AD⊥ CD,AD=5,AB=7,∠ BDA=60? ,∠ CBD=15? ,求 BC 长.

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次从中任意抽取一张,取出后不再放回. (1)若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率; (2)若不断抽取,直至取出标有偶数的卡片为止,设抽取次 数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.

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(1)求证:{an}是等差数列; (2)求证:an? an+1<4Sn; (3)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 . S1 S 2 S3 Sn 3

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19.(本小题 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1),其中 n∈ N*.

18.(本小题 12 分)盒子装中有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字 1,2,3,4,5.现每

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21.(本小题 14 分)已知函数 f(x)=x(x+a)-lnx,其中 a 为常数. (1)求 f(x)的单调区间; (2)问过坐标原点可以作几条直线与曲线 y=f(x)相切?并说明理由; (3)若 g ( x) ? f ( x) ? e? x 在区间(0,1)内是单调函数,求 a 的取值范围.

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x2 20.(本小题 13 分)已知 A、B 是椭圆 ? y 2 ? 1 上的两点,且 AF ? ? FB ,其中 F 为椭圆的右焦 2
点. (1)求实数 ? 的取值范围; (2)在 x 轴上是否存在一个定点 M,使得 MA ? MB 为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若 不存在,说明理由.

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求概率为 P( B A) ? (2)ξ =1,2,3,4.
1 2 2 1 A2 ? A2 A3 1 P( A ? B) C3 ? ? .(6 分) 1 2 1 P( A) C4 A2 A3 2

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18.解: (1)设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件 A,“第三张为奇数”为事件 B,则所

2014 年高 2011 级第三次诊断考试

数学试题(理工类)参考答案及评分意见
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 C

P(? ? 1) ?
P(? ? 3) ?

1 A2 2 ? ; 1 A5 5
1 A32 A2 1 ? ; 3 A5 5

P(? ? 2) ?
P(? ? 4) ?

1 1 A3 A2 3 ? ; A52 10
3 1 A3 A2 1 ? . A54 10

10.提示:设 x ? b ? 2 , y ? 7 ? b ,则 a ? 2 ? 3x ? y 且 x 2 ? y 2 ? 9( x ? 0, y ? 0) .由直线与圆 (四分之一)的位置关系知 3 ? a ? 2 ? 6 ,解得 a∈[-4,-1]∪[5,8].由不等式 2
1?a

? (1 ? a) 得
2

所以 E? ? 1?

2 3 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 . (12 分) 5 10 5 10
*

|1-a|<2 或|1-a|>4,解得 a∈(-∞,-3)∪(-1,3)∪(5,+∞).所以当 a∈[-4,-3)∪(5,8]时不 等式成立.由几何概型的概率公式可得 P ? 11.9 12. ( ,3)

19.证明: (1)当 n≥2,n∈N 时,由已知 Sn=nan-n(n-1)得 Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2). 两式相减得 Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又 Sn-Sn-1=an,所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1). 即 an-an-1=2(n≥2,n∈N ).所以{an}是以 1 为首项、2 为公差的等差数列.
2 * 2 *

4 2 ? 。 6 3
15.②④.

(4 分)

1 3

13.19

14.240

(2)由(1)得 an=2n-1,Sn=n ,n∈N .所以 an?an+1=(2n-1)?(2n+1)=4n -1<4Sn; (8 分) (3)由(2)得

r 14.提示:令 x=1 得 a=2.又 ( x ? )6 的展开式通项 Tr ?1 ? C6 (?2)r x6?2r (r ? 0,1,2,?,6) .因 6-2r

2 x

2(an?1 ? an ) 1 4 1 1 ? ? ? 2( ? ) ,所以 S n an ? an?1 an ? an?1 an an?1

1 2 4 为偶数,故 6-2r=-2 即 r=4.所以 ( x 2 ? )( x ? ) 6 的展开式的常数项为 C6 (?2)4 ? 240. x x
15.提示:数形结合可得:当 a>0 时无零点;当 a=0 时有 2 个零点;当 a<0 时有 4 个零点. 16.解:在Δ ABCD 中,由余弦定理得 AB =AD +BD -2AD?BDcos60?, 即 BD -5BD-24=0,解得 BD=8.(6 分)
2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S1 S 2 S3 Sn a2 a3 a3 a4 an an?1

? 1 ? 2(

1 1 1 1 2 5 ? ) ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? ? . (12 分) a2 an?1 3 2n ? 1 3 3

20.解: (1)由已知条件知:直线 AB 过椭圆右焦点 F (1,0) . 当直线 AB 与 x 轴重合时, ? ? 3 ? 2 2 . 当直线 AB 不与 x 轴重合时,可设 AB : x ? m y ? 1 ,代入椭圆方程,并整理得

BD sin ?BCD 8 sin 30? 在Δ BCD 中,由正弦定理得: BC ? ? ? 4 2 .(12 分) sin ?BDC sin 135?
17. (1)证明:因为底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60?,且 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,所以 AE⊥AD.又 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥AD. 于是 AD⊥平面 PAE,进而可得 AD⊥PE.(6 分) (2)解:分别以 AE、AD、AP 为 x、y、z 轴,设 AP=1,则

(2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由根与系数的关系得 y1 ? y 2 ? 所以

?1 ? 2m , y1 y 2 ? . 2 2 ? m2 2?m

P(0,0,1) , E( 3,0,0) , C( 3,1,0) , D(0,2,0) .
显然,平面 APE 的法向量为 n ? (0,1,0) ,设平面 PCD 的法向量为 m ? (1, y, z) ,则 由?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4m2 ? ? (?4,0] .又由 AF ? ? FB 得 ? y1 ? ?y2 ,所以 y1 y2 2 ? m2
2 2

? ?m ? CD ? ? 3 ? y ? 0 解得 m ? (1, 3,2 3) .所以 cos ? m, n ?? m ? n ? 3 ? 3 . ? m ? n 4 ?1 4 ? m ? PD ? 2 y ? z ? 0

( y1 ? y2 ) 2 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 1 ? ? ?? ? ? 2 ? (?4,0] ,解之得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 . y1 y2 y1 y2 ?
综上,实数 ? 的取值范围是 [3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ] . (7 分)

(2)设 M ( a,0) ,则 MA? MB ? ( x1 ? a)(x2 ? a) ? y1 y2 ? (my 1 ? 1 ? a)(my 2 ? 1 ? a) ? y1 y2

故平面 APE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为

3 .(12 分) 4
5

? (1 ? m2 ) y1 y2 ? m(1 ? a)( y1 ? y2 ) ? (1 ? a)2 ? ?

1 ? m 2 2m 2 (1 ? a) ? ? (1 ? a) 2 2 ? m2 2 ? m2

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?

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5 (2a 2 ? 4a ? 1) ? (a 2 ? 2)m 2 为定值,所以 2a 2 ? 4a ? 1 ? 2(a 2 ? 2) ,解得 a ? . 2 2?m 4 7 . 16
(13 分)

5 4 (经检验,当 AB 与 x 轴重合时也成立)
21.解: (1)由 f ?( x) ? 2 x ? a ?

故存在定点 M ( ,0) ,使得 MA ? MB 为定值 ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0( x ? 0) 得 x x

x1 ?

? a ? a2 ? 8 ? a ? a2 ? 8 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去). 4 4

所以 f(x)在区间 (0,
2

a2 ? 8 ? a a2 ? 8 ? a ) 内单调递减,在 ( ,??) 内单调递增.(3 分) 4 4
1 t

(2)设切点 (t , t ? at ? ln t ) ,则切线方程为 y ? (2t ? a ? )( x ? t ) ? t 2 ? at ? ln t . 因为过原点,所以 0 ? (2t ? a ? )( ?t ) ? t 2 ? at ? ln t ,化简得 t ? 1 ? ln t ? 0 (※).
2

1 t

设 h(t ) ? t 2 ? 1 ? ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t ? ? 0 ,所以 h (t ) 在区间 (0,??) 内单调递增.又

1 t

h(1) ? 0 ,故方程(※)有唯一实根 t ? 1,从而满足条件的切线只有一条.(8 分)
(3) g ?( x) ? [ f ?( x) ? f ( x)] ? e ? x ? [? x 2 ? ln x ? 设 ? ( x) ? ? x 2 ? ln x ? (0,1)内单调递减. ①当 a ? 2 时, ? ?(1) ? 2 ? a ? 0 ,从而 ? ?( x) ? 0 在(0,1)内恒成立,即 ? ( x) 在(0,1)内单 调递增.注意到 ? (1) ? 0 ,所以 ? ( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0 在(0,1)内恒成立.于是 g ( x) 在区间 (0,1)内单调递减,符合题意. ②当 a ? 2 时, ? ?(1) ? 2 ? a ? 0 , ??(0? ) ? ?? ,从而 ?x1 ? (0,1) ,使得 ? ?( x) ? 0 在 (0, x1 ) 内恒成立 , ? ?( x) ? 0 在 ( x1 ,1) 内恒成立.即 ? ( x) 在 (0, x1 ) 内单调递增 ,在 ( x1 ,1) 内单调递 减 . 又 ? (1) ? 0 , 所 以 ? ( x1 ) ? 0 , 又 ? (e?a ) ? ?e?2a ? ea ? (2 ? a)e?a ? 0 , 所 以 存 在

1 ? (2 ? a) x ? a] ? e ? x . x

1 1 1 ? (2 ? a) x ? a , 则 ? ?( x) ? ?2 x ? ? 2 ? 2 ? a , 显然 ? ?( x ) 在区间 x x x

x0 ? (e? a , x1 ) , 使得 ? ( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0 在 (e?a , x0 ) 内恒成立 , ? ( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0 在

( x0 , x1 ) 内 恒 成 立 . 因 此 g ( x) 在 区 间 (0,1) 内 既 有 递 减 区 间 (e?a , x0 ) , 也 有 递 增 区 间 ( x0 , x1 ) ,不符合题意.综上可知,实数 a 的取值范围是 a ? 2 .(14 分)

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