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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:3.2 同角三角函数基本关系与诱导公式


3.2 同角三角函数基本关系与诱导公式

考点梳理 sinα 1.同角三角函数的基本关系式 2 cosα 基本关系式:sin ____________ α+cos2α =1,tanα=____________.

2.诱导公式 组数 一 角 正弦 余弦 正切 口诀





/>四





π π 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π -α -α +α 2 2 sinα - sinα - sinα _____ sinα cosα cos α _____ _____ _____ _____ ____ cosα - cosα _____ cosα -cosα _____ sinα - sinα _____ _____ _____ ____ _____ _____ _____ tanα tan α -tanα _____ -tanα 函数名不变 函数名改变 符号看象限 符号看象限

即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的同 锐角 时原函数值的符号; 名函数值,前面加上一个把 α 看成______ π ± α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值, 2 前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 以上规律可概 括为一句话“奇变偶不变, 符号看象限”. 将任意角的三角函 数化为锐角的三角函数的流程图为: 任意角的三角函数→任意 正角的三角函数→0° ~360° 角的三角函数→锐角的三角函数.

考点自测 1.sin210° 等于( ) 3 3 A. B.- 2 2

1 C. 2

1 D.- 2

1 解析:sin210° =sin(180° +30° )=-sin30° =- . 2 答案:D

2.sin2(π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1 的值为( A.1 B.2sin2α C.0 D.2

)

解析:原式=(-sinα)2-(-cosα)· cosα+1 =sin2α+cos2α+1=2. 答案:D

5 3.已知 sinα= ,则 sin4α-cos4α 的值为( 5 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 5 5 5 5
4 4 2 2 2

)

1 解析: ∵sin α-cos α=sin α-cos α=2sin α-1=2× -1 5 3 =- . 5 答案:A

? 3π? 1 ? 4.已知 tanα= ,且 α∈?π, 2 ? ?,则 sinα 的值是( 2 ? ? 5 5 2 5 2 5 A.- B. C. D.- 5 5 5 5

)

? 3 ? ? 解析:∵α∈?π,2π? ?,∴sinα<0,排除 ? ?

B、C.

sinα 1 5 2 2 由 tanα= = ,sin α+cos α=1,得 sinα=- . cosα 2 5 答案:A

?3π ? sinθ+cosθ ? 5.若 =2,则 sin(θ-5π)·sin? 2 -θ? ?等于( sinθ-cosθ ? ? 4 3 3 3 A. B.± C. D.- 3 10 10 10

)

sinθ+cosθ 解析:由 =2,可得 tanθ=3, sinθ-cosθ ?3 ? ? ∴sin(θ-5π)sin?2π-θ? ?=(-sinθ)(-cosθ) ? ? sinθcosθ = 2 sin θ+cos2θ tanθ 3 = 2 = . tan θ+1 10 答案:C

疑点清源 1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例 2 2 x + y y x 如:∵sinα= ,cosα= ,∴sin2α+cos2α= 2 =1. r r r (2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符 号,需要根据角 α 的范围进行确定. (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系,它为三角函数的化简、求值、证明等又 提供了一种重要的方法.

?k ? ? 2.三角函数诱导公式 f?2π+α? ?(k∈Z)的本质 ? ? ?k ? ? 三角函数诱导公式 f?2π+α? 奇变偶不变, ?(k∈Z)的本质是: ? ?

符号看象限. 对诱导公式口诀 “奇变偶不变,符号看象限 ”含义的理 π 解:即诱导公式的左边为 · k+α(k∈Z)的正弦或余弦函数,当 2 k 为奇数时,右边的函数名称正余互变;当 k 为偶数时,右边 的函数名称不改变, 这就是“奇变偶不变”的含义, 再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角, 也可能是大于锐角也可能小 于锐角还有可能是任意角),

π 然后分析 · k+α(k∈Z)为第几象限角,再判断公式左边这个三 2 角函数 (原函数 )在此象限是正还是负,也就是公式右边的符 号. 诱导公式的应用是: 一是求任意角的三角函数值, 其一般 步骤:①负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π;②转化为 锐角.

题型探究 题型一 同角三角函数的基本关系的应用 1 例 1.已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα= . 5 (1)求 tanα 的值; 1 (2)把 2 2 用 tanα 表示出来,并求其值. cos α-sin α

1 ? ?sinα+cosα= , ① 5 解析:(1)方法一,联立方程? 2 2 ? ?sin α+cos α=1, ② 1 由①得 cosα= -sinα. 5 将其代入②,整理得 25sin2α-5sinα-12=0. 4 ? ?sinα=5, ∵α 是三角形的内角,∴? ?cosα=-3. 5 ? 4 ∴tanα=- . 3

1 方法二,∵sinα+cosα= , 5 ?1? 1 ? ?2 2 ∴(sinα+cosα) =?5? ,即 1+2sinαcosα= . 25 ? ? 24 ∴2sinαcosα=- . 25 24 49 2 ∴(sinα-cosα) =1-2sinαcosα=1+ = . 25 25

12 ∵sinαcosα=- <0 且 0<α<π, 25 ∴sinα>0,cosα<0.∴sinα-cosα>0. 7 ∴sinα-cosα= . 5 1 4 ? ? ?sinα+cosα=5, ?sinα=5, 由? 得? ?sinα-cosα=7, ?cosα=-3. 5 5 ? ?

4 ∴tanα=- . 3

sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α 1 (2) 2 = = = cos α-sin2α cos2α-sin2α cos2α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tanα=- , 3 ? 4? ? ?2 - 2 ? +1 tan α+1 ? 3 1 25 ? ? ∴ 2 =- . 2 = 2 = ? ? 7 4 cos α-sin α 1-tan α ? ?2 1-?-3? ? ?

点评:①对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 这三个 式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公 式为(sinα± cosα)2=1± 2sinαcosα;②关于 sinα,cosα 的齐次式, 注意化为关于 tanα 的式子.

变式探究 1 已知 sinθ,cosθ 是方程 4x2-4mx+2m-1= 3π 0 的两个根, <θ<2π,求 θ. 2

? ?sinθ+cosθ=m, ? 2m-1 解析:?sinθ· cosθ= , 4 ? 2 ? ?Δ=16?m -2m+1?≥0, 1± 3 代入(sinθ+cosθ) =1+2sinθ· cosθ,得 m= , 2 2m-1 3π 又 <θ<2π,∴sinθ· cosθ= <0, 2 4
2

1- 3 即 m= , 2 1- 3 3 ∴sinθ+cosθ=m= ,sinθ· cosθ=- , 2 4 3π 3 1 又∵ <θ<2π,∴sinθ=- ,cosθ= , 2 2 2 5π ∴θ= . 3

题型二 诱导公式的应用 sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? 例 2.已知 f(α)= ; -tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); ? 3π? ? ? 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos?α- 2 ?= ,求 f(α)的值. ? ? 5

sinα· cosα· ?-tanα? 解析:(1)f(α)= =-cosα. tanαsinα ? 3π? ? (2)∵cos?α- 2 ? ?=-sinα, ? ? 52-12 1 2 ∴sinα=- ,cosα=- =- 6, 5 5 5 2 ∴f(α)= 6. 5

点评: 熟练应用诱导公式是解答本题的关键. 诱导公式应 用原则是:角化正、大化小、化到锐角为终了.

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 变式探究 2 (1)设 f(a)= ?3π ? ? ? ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ? ? ? 23 ? ? - π (1+2sinα≠0),求 f? 的值. ? 6 ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? (2)化简 sin?nπ+3π?· cos?nπ+3π? ?(n∈Z). ? ? ? ?

?-2sinα??-cosα?+cosα 解 析 : (1) ∵ f(a) = = 2 2 1+sin α+sinα-cos α 2sinαcosα+cosα cosα?1+2sinα? 1 = = , 2sin2α+sinα sinα?1+2sinα? tanα ? 23π? 1 1 ? ? - ∴f? 6 ?= ? ?= ? 23π π? ? ? ? ? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? ? ? ? ? ? 1 = π tan 6 = 3.

(2)当 n=2k(k∈Z)时, ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? 原式=sin?2kπ+3π?· cos?2kπ+3π? ? ? ? ? ? 2 4 =sin π·cos π 3 3 π? π? ? ? - cos =sin · 3? 3? ? ? ? 3 ? ? 1? = ×?-2? 2 ? ? 3 =- . 4

当 n=2k+1(k∈Z)时, ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? 原式=sin??2k+1?π+3π?· cos??2k+1?π+3π? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 2 π ? ? ? ? =sin?π+3π?· cos?π+3π?=-sin π·cos 3 3 ? ? ? ? π π 3 1 =-sin · cos =- × 3 3 2 2 3 =- . 4 3 ∴原式=- . 4

题型三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合 例 3.在△ABC 中, 若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA =- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

? ?sinA= 2sinB, 解析:由已知,得? ? ? 3cosA= 2cosB.



② 2 2 2 2 ① +② ,得 2cos A=1,得 cosA=± . 2 2 3 ①当 cosA= 时,cosB= , 2 2 π π 又 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= . 4 6

7 ∴C=π-(A+B)= π. 12 2 3 当 cosA=- 时,cosB=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π,B= π,不符合题意. 4 6 π π 7 综上,A= ,B= ,C= π. 4 6 12

点评:已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是:① 由三角函数值的符号确定角 α 所在的象限;②据角 α 所在的 象限求出角 α 的最小正角; ③最后利用终边相同的角写出角 α 的一般表达式.

1 变式探究 3 在△ABC 中,sin(π-A)-cos(π-A)= . 5 (1)求 sinA· cosA; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tanA 的值.

1 解析:(1)∵sinA+cosA= , 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinA· cosA=- . 25 12 (2)由(1)sinAcosA=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cosA<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形.

24 49 (3)∵(sinA-cosA) =1-2sinAcosA=1+ = , 25 25 又 sinA>0,cosA<0, 7 ∴sinA-cosA>0,∴sinA-cosA= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 5 sinA 4 ∴tanA= = =- . cosA 3 3 - 5
2

名师归纳 ?方法与技巧 1.同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变 名、变式. 2.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的 影响, 尤其是利用平方关系在求三角函数值时, 进行开方时要 根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.

3.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时, sinx 常用方法有:(1)弦切互化法主要利用公式 tanx= 化成正 cosx 弦 、 余 弦 函 数 ; (2) 和 积 转 换 法 : 如 利 用 (sinθ± cosθ)2 = 1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1= ? 1 ? π ? 2 2 2 2 2 ? sin θ+cos θ=cos θ(1+tan θ)=sin θ?1+tan2θ?=tan =?. 4 ? ? 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

4.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由较 繁的一边向简单一边化简:(2)左右归一法,使两端化异为同; 把左右式都化为第三个式子; (3)转化化归法:先将要证明的 结论恒等变形,再证明. 5.解三角函数问题时常用方法有:代入法、消元法、转 化化归法、方程与分类讨论思想方法等. 6.已知一个角的某一函数值,求该角的其它三角函数值 时,可以利用构造直角三角形,结合该角的范围求值.

?失误与防范 1.利用同角三角函数基本关系式化简求值时,涉及两个 sinα 2 2 同角基本关系 sin α+cos α=1 和 tanα= ,它们揭示同一 cosα 角 α 的各三角函数间的关系,需要在复习中通过解题、理解、 掌握. 尤其是利用 sin2α+cos2α=1 及变形形式 sin2α=1-cos2α 或 cos2α=1-sin2α 进行开方运算时,要注意符号判断. 2.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角 的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 3.正确记忆 0° ~360° 角的特殊角的三角函数值,特别是 以弧度出现的三角函数.

随堂检测 1.(2013· 广东卷)已知 2 A.- 5
?5π ? 1 ? sin? 2 +α? ?=5,那么 ? ?

cosα=(

)

1 B.- 5

1 C. 5

2 D. 5

解析: 本题考查诱导公式, 由 1 = ,知选 C. 5 答案:C

?5π ? ?π ? ? ? ? sin? 2 +α?=sin?2+α? ?=cosα ? ? ? ?

? π ? 2 ? 2.(2014· 济宁检测)已知 sin(α-π)= ,且 α∈?-2,0? ?, 3 ? ? 则 tanα 等于( ) 2 5 2 5 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 2 2

? π ? 2 2 ? 解析:由 sin(α-π)= ,得 sinα=- ,∵α∈?-2,0? ?, 3 3 ? ? 5 sinα 2 5 ∴cosα= ,∴tanα= =- . 3 cosα 5 答案:B

?π ? π 3 ? ? 3. (2014· 江西联考)已知 <θ<π, sin?2+θ?=- , 则 tan(π 2 5 ? ? -θ)的值为( ) 3 4 3 4 A. B. C.- D.- 4 3 4 3

?π ? 3 3 π ? ? 解析:∵ sin?2+θ?=- ,∴cosθ=- ,又∵ < θ<π, 5 5 2 ? ?

4 4 ∴sinθ= ,∴tan(π-θ)=-tanθ= . 5 3 答案:B

1 π 4 . (2014· 枣 庄 模 拟 ) 已 知 cosα = , - < α < 0 , 则 5 2 ?π ? ? cos?2+α? ? ? ? 的值为( ) tan?α+π?cos?-α?tanα 6 6 A.2 6 B.-2 6 C.- D. 12 12

-sinα cosα 解析: = =- , sinα tan?α+π?cos?-α?tanα tanαsinα 1 π ∵cosα= ,- <α<0, 5 2 2 6 6 ∴sinα=- ,原式= . 5 12 答案:D

?π ? ? cos?2+α? ? ? ?

5. (2014· 大连模拟)已知 的值为__________.

?π ? ? sin?π+α?-sin?2+α? ? ? ? tanα=2, 则 ? ? ?3π cos? 2 +α? ?+cos?π-α? ? ?

?π ? ? sin?π+α?-sin?2+α? ? -sinα-cosα ? ? 解析: ? = ? 3π sinα-cosα ? ? cos? 2 +α?+cos?π-α? ? ?

-tanα-1 = tanα-1 =-3. 答案:-3


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