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2013四川高考数学理科10题解法


2013 年四川高考数学理科 10 题详解
四川省宜宾市一中 叶正波

10、 设函数 f ( x) ? e x ? x ? a( a ? R ,e 为自然对数的底数) 若曲线 y ? sin x 上存在点 ( x0 , y0 ) 。 使 f ( f ( y0 )) ? y0 成立,则 a 的取值范围是( (A)[1, e] (B) [e?1 ?1,1] ) (C)[1,1 ? e] (D)[e?1 ? 1, e ? 1]

解:∵ f ( x) 在定义域上单调递增,∴题目等价于 f ( x) 和 y ? x 在 [?1,1] 上有交点 ∴ e x ? x ? a ? x, ( x ? ?0,1?) 有解,∴ ex ? x ? a ? x2 ,( x ??0,1?) 有解,∴ a ? ex ? x2 ? x,( x ??0,1?) 有解 设 g( x) ? ex ? x2 ? x,( x ??0,1?) ,则: g ' ( x) ? ex ? 2x ?1 ? 0,( x ??0,1?) ∴ g( x) ? ex ? x2 ? x,( x ??0,1?) 单调递增,有: g ( x)min ? g (0)min ? 1, g ( x)max ? g (1)max ? e ∴ g( x) ? ex ? x2 ? x,( x ??0,1?) 值域为: ?1,e? ,∴ a 的取值范围是 ?1,e? 。


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