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2.1函数的定义域与解析式


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第一讲

函数的定义域与解析式

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学 之 趣
兴趣是做好的老师

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基础梳理 1.函数 数集 (1)设 A、B 是非空的________,如果按某个确定的对应 关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 ________的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A y=f(x),x∈A 到集合 B 的一个函数.记作______________.其中,x 叫做 自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的________;与 x 值相对 定义域 应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ________.

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(2)函数的三要素是指________、________、________. 值域 定义域 对应法则 (3)函数的表示方法 解析法 列表法 表 示 函 数 的 方 法 , 常 用 的 有 ________ 、 ________ 、 图象法 ________三种.

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感悟探究 1 定义域和值域都相同的两个函数是同一个 函数吗?

【答案】 不一定是同一函数,两个函数要想表示同一 函数,其定义域和对应法则必须相同,但如果两个函数的定 义域和值域相同,并不意味着它们就是同一个函数,因为它 们的对应关系不一定相同,例如:f?x?=x+2 和 g?x?=2x-1 的定义域、值域相同,但二者不是同一函数.

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2. 函数的解析式是组成函数的三要素之一, 即对应法则, 代入法 待定系数法 求 函 数 解 析 式 的 方 法 常 用 的 有 : ________ 、 ________ 、 ________、________、函数方程法等 换元法 凑配法 3.当函数是由解析式给出时,则其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合.常见的使解析式有意义的情况有: 分母 (1)分式的________不得为零; (2)________方根的被开方数不小于零; 偶次 真数 (3)对数函数的________必须大于零; 大于零且不等于 1 (4)指数函数和对数函数的底数必须_________________.

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4.映射 设 A、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有__________和 唯一的元素 它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法 则 f),叫做从集合 A 到集合 B 的映射, f:A→B 记作________________________. 如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么,和 A 中 a 的象 的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做________,a 叫做 b 的 原象 ________.

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感悟探究 2 映射与函数有什么区别?

【答案】 函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义 中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的两个 集合必须是非空数集.

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讲 之 道
讲得好不如悟得好

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知识点一 函数的概念 考 点 归 纳 1.对函数定义的理解需注意: 首先从函数的结构看,函数的结构包括三个部分:函数 的定义域 A 与值域 B,函数的对应关系.其中函数的定义域 是自变量 x 的取值范围,函数的值域是函数值的全体构成的 集合,这两个集合都是非空的数集; 其次从对应关系看:

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①对应关系 f 是确定的, 对于每一个具体的函数, 都有一 个具体的对应法则 f. ②对应法则 f 使对于集合 A 中即定义域中的每一个数 x 在集合 B即值域中都有唯一确定的数 f(x)和它(指 x)对应. “唯 一确定”的意思就是在值域 B 中,有且只有一个 y,所以按 照对应法则 f,在 B 中存在而且唯一的 y 与 x 对应.如果按照 对应法则 f,对于 A 中的某个数 x 在 B 中没有与它对应的 y 值,或虽然有但不止一个,即下面的两种情形:

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像这样的对应关系 f 就不能构成函数. 用映射的观点看就 是定义域 A 中的每一个数在值域 B 中都有象,而且只有一个 象.这是 f 能够构成函数的一条非常重要的原则.值域 B 中 的每个数在 A 中也都能找到原象.有的或许不止一个原象, 但这并不影响它成为函数的值域. 如:

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上图(左图)中值域 B 中的每个 y 在 A 中只有一个原象 x, 图(右图)中值域 B 中的“0”在 A 中只有一个原象“0”,而 1 与 4 在 A 中分别有两个原象.但 y=2x 与 y=x2 都是函数.

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2.两个函数的对应关系相同且定义域与值域都分别相 同,这时才可以说两个函数是相同的,所以两个函数是否相 同只与它们的结构的三个部分(定义域, 值域, 对应法则)是否 相同有关,而与它们究竟是用什么字母表示无关.

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3.对于函数 y=f(x)中的对应法则“f”的理解: (1)字母“f”代表一种运算法则,例如函数 f(x)=x2-3x +4,x∈(2,5), 对应法则“f”的意思是把在区间(2,5)内的任一数值 x 进 行这样的运算:先把自变量 x 平方, 然后再减去自变量 x 的 3 倍,最后再加上 4.由于这样叙述比较麻烦,就用字母“f”代 替,表示上述运算,这样书写就会比较方便适用.

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(2)对应法则“f”只对定义域内的数值起作用,例如函数 f(x)=x2-3x+4,x∈(2,5),对应法则“f”只对定义域(2,5)内 的数起作用,f(6)无意义. (3)对应法则不仅用字母“f”表示,还常用字母“g”, “h”,“φ”等表示.

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4.复合函数 若 y 是 u 的函数,u 又是 x 的函数,即 y=f(u),u=g(x), x∈(a, u∈(m, 那么 y 关于 x 的函数 y=f[g(x)], b), n), x∈(a, b)叫做 f 和 g 的复合函数,u 叫做中间变量,u 的取值范围是 g(x)的值域. 复合函数的定义域由外函数的定义域、内函数的值域以 及内函数的定义域共同确定.

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5.函数的解析式、定义域、值域 函数的解析式、定义域、值域是函数概念的三要素,而 值域是由定义域及解析式所确定的,故解析式与定义域是函 数的两个独立要素. 解析式是表示定义域和值域之间的一种对应关系,与所 取的字母无关,如 y=3x2+1 与 y=3t2+1 为同一个函数.

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例 题 示 范 [典例 1] 给出下列四组定义在实数范围内的函数 f(x)和 g(x): 1 2 ①f(x)=lgx,g(x)= lgx ; 2 ②f(x)=x,g(x)= x2; ③f(x)=2x+1,g(x)=3x+1; x+1 2 ④f(x)=x+1,g(x)= 2 (x +1); x +1 其中 f(x)与 g(x)表示同一函数的组的序号是________.

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【分析】 判断两个函数是否同一函数的依据是函数的 三要素,若两个函数在定义域、值域、对应法则这三个要素 中有一个不相同,那么这两个函数就不是同一个函数.由于 函数的定义域一旦确定,那么在给定的对应法则之下,函数 的值域也被确定,所以判断两个函数是否同一函数,可以主 要从对应法则和定义域是否相同来进行分辨.

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【解析】 ①中 f(x)的定义域为(0,+∞),而 g(x)的定义 域为(-∞,0)∪(0,+∞), ②中 f(x)的值域为 R,g(x)的值域为[0,+∞), ③中 f(x)与 g(x)的对应法则不同, ④中表面看两个函数不同,变形后可以看到两个函数的 三个要素都相同, 故应填入的序号是④.

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【点评】 当给出函数的对应法则比较复杂时,通常需 要化简函数解析式,这时应力求避免在变形的过程中改变函 1 2 数的定义域.如①,若不注意 g(x)= lgx =lg|x|,则将在确 2 定定义域时产生错误.

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我 来 试 试 [练习 1]下列哪一对函数是相同的? ①f(x)=x2,g(x)=|x|2;②f(x)=x2,g(x)=x|x|;③f(x)= 4x2-12x+9,g(x)=|3-2x|,下列答案中正确的是( ) A.①③ B.②③ C.③ D.以上答案都不对

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【答案】 A 【解析】 两函数相同,应该是定义域与函数关系完全 相同.①中 f(x)与 g(x)解析式相同,定义域也相同;②中 f(x) 与 g(x)函数关系不同;③中 f(x)与 g(x)定义域相同,化简后解 析式相同.故选 A.

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知识点二 分段函数 考 点 归 纳 已知函数的定义域被分成有限个区间,若在各个区间上 表示对应关系的数学表达式一样,但单独定义各个区间公共 端点处的函数值;或者在各个区间上表示对应关系的数学表 达式不完全一样,则称这样的函数为分段函数.

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对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数,而不 是几个函数,其特征在于“分段”,即对应关系在不同的定 义区间内各不相同,在解决有关分段函数问题时既要紧扣 “分段”这个特征,又要将各段有机联系使之整体化、系统 化.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成 函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别 注明各部分的自变量的取值情况.

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例 题 示 范 [典例 2] 已知
?x-1,x>0, ? 2 f(x)=x -1,g(x)=? ?2-x,x<0. ?

(1)求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值; (2)求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式.

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【分析】 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表 达式来表示的,处理相关的问题时,首先要确定自变量的数 值属于哪一个区间段,从而选定相应关系式代入计算.特别 要注意分段区间端点的取舍.

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【解析】 (1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f[g(x)]=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f[g(x)]=(2-x)2-1=x2-4x+3;

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?x2-2x,x>0, ? ∴f[g(x)]=? 2 ?x -4x+3,x<0. ?

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g[f(x)]=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g[f(x)]=2-f(x)=3-x2.
?x2-2,x>1或x<-1, ? ∴g[f(x)]=? ?3-x2,-1<x<1. ?

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我 来 试 试 ?x2,x>0, ? ?1,x=0, [练习 2]已知函数 f(x)=? ? 1 ?-x,x<0. ? (1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.

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【解析】 (1)分别作出 f(x)在 x>0,x=0,x<0 段上的 图象,如图所示,作法略.

(2)f(1)=12=1, 1 f(-1)=- =1, -1 f[f(-1)]=f(1)=1.
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知识点三 映射的概念 考 点 归 纳 1.对映射定义的理解需注意 第一,从映射的定义看,映射的结构也包括三个部分: 集合 A 与 B 以及从集合 A 到集合 B 的对应关系 f,其中集合 A 与 B 的元素,可以是数,也可以是点或其他什么.

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第二,在映射中,集合 A 中的“任何一个元素”在集合 B 中都有唯一的象,即不会存在 A 中的某一元素 a 在集合 B 中没有象或者不止一个象的情况. 第三,在映射中,对于集合 A 中的元素 a,在法则 f 的作 用下有集合 B 中的元素 b 与之对应,我们称 b 是 a 的象,而 a 是 b 的原象.根据映射的定义,对于集合 B,并不要求每个 元素都有原象.即由全体象构成的集合是 B 的子集.

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2.映射与函数的异同 相同点: 第一,映射与函数的结构相同.都由三个部分构成,两 个集合与一个对应法则,称之为三要素. 第二,对应性质相同,都是单值对应与多值对应即都是 “一对一”(当然包含一一对应)或“多对一”的对应.

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不同点: 第一,从结构上看,函数的定义域与值域都是非空的数 集,而映射中两个集合 A 与 B 中的元素可以是数或点或别的 什么. 第二,从性质上看,函数的值域是全体函数值的集合, 而映射中 B 集合则不然,全体 A 中元素的象所构成的集合只 是 B 的子集,即{f(a)|a∈A}?B. 联系:函数是一种特殊的映射.即非空数集间的映射是 函数.

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3.映射是一种特殊的对应,映射中的集合 A、B 可以是 数集,也可以是点集或其他集合,这两个集合有先后次序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的, 原象和象是不能 互换的,互换后就不是原来的映射了.

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例 题 示 范 [典例 3] 设 A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,且 y∈N*,x+y <3},B={0,1,2},给出从 A 到 B 的对应关系 f? ( x,y)→x+ y,试判断这一对应是否是从 A 到 B 的映射?若为映射, 指出 B 中元素 1 的原象.

【分析】 由于 A 中点的横坐标是整数,纵坐标是自然 数,所以可以通过化简来具体确定集合 A 中的元素.当集合 A 被确定后, 正确认识“什么是从 A 到 B 的映射”成为解题 的关键.

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【解析】 依题意 A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1), (0,2),(1,1)},逐一检验知,A 中任一元素的横、纵坐标之和 x+y 都是 B 中的元素, 即 A 中的每一元素,在对应 f 之下,B 中都有唯一的元 素与之对应, 由映射的概念可以确定这一对应是从 A 到 B 的映射. 由于-1+2=1,0+1=1,∴B 中元素 1 的原象是(-1,2) 和(0,1).

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我 来 试 试 [练习 3]设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下 表(从上到下). 表 1 映射 f 的对应法则 原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 表 2 映射 g 的对应法则 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2

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则与 f[g(1)]相同的是( A.g[f(1)] B.g[f(2)] C.g[f(3)] D.g[f(4)]

)

【答案】 A 【解析】 由题表,知 g(1)=4, 则 f[g(1)]=f(4)=1, 对于 A, ∵f(1)=3, ∴g[f(1)]=g(3)=1=f[g(1)]. 同理可得 B、C、D 均不适合, 故选 A.
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知识点四 函数的表示法 考 点 归 纳 1.解析法 (1)定义:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示的 方法叫做解析法,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解 析式.如:s=60t2,y=
?x ?x≥0? ? x-2,y=? ?-x ?x<0? ?

.

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(2)优点与不足 用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清楚,容易 从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函 数的性质.而不足是抽象、不直观,不能像列表法与图象法 那样对函数的动态变化那样很具体,很直观地被感知.

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2.列表法 (1)定义:把两个变量的函数关系用表格的形式表示出 来.这种表示法就叫做列表法. 例如,国内生产总值表,就表示了我国生产总值与年份 的函数关系,还有车站内里程与票价表,就表示了票价与里 程的函数关系. (2)优点与不足 用列表法表示函数关系的优点是具体、直观,不必通过 计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值;而不足是对 函数规律,即函数与自变量之间的内在联系表达不清楚.对 应法则究竟是什么,从表格上有时很难看出来.
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3.图象法 (1)定义:图象法就是用函数图象来表示两个变量之间的 关系. (2)由函数定义可知任一垂直于 x 轴的直线与函数的图象 至多一个交点. (3)优点与不足 用图象法表示函数的优点是:直观形象,对函数与自变 量之间的运动变化的关系很形象、很直观地显示出来,但美 中不足的是, 不能了解函数与自变量运动变化的本质规律. 因 为图象显示出来的毕竟只是一部分,还有其他的呢,即继续 下去又是什么规律,不得而知.
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4.求解析式这类问题抽象性较强,解题关键在于抓住函 数对应法则 f 的本质.由函数 f(x)的含义可知,在函数的定义 域和对应法则 f 不变的条件下, 自变量换字母, 甚至变换为其 他字母的代数式,对函数本身并无影响,利用这一特征可解 决此类相关问题,常用的方法有:

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(1)代入法:如已知 f(x)=x2-1,求 f(x+x2); (2)待定系数法:已知 f(x)的函数类型,要求 f(x)的解析式 时,可根据类型设其解析式,从而确定其系数即可; (3)换元法:适用于已知 f[g(x)]的表达式; (4)凑配法: 已知 f[g(x)]的解析式, 要求 f(x)时, 可从 f[g(x)] 的解析式中凑配出“g(x)”,即用 g(x)来表示,再将解析式两 边的 g(x)用 x 代替即可; (5)方程组法:已知 f(x)与 f[g(x)]满足的关系式,要求 f(x) 时,可用 g(x)代替两边所有的 x,得到关于 f(x)及 f[g(x)]的方 程组,解之即可求出 f(x). 在何种情况下使用哪一种方法,应根据具体情况确定.
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例 题 示 范 [典例 4] 在下列条件下,求函数 f(x)的解析式: (1)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x +17; 1 1 3 (2)已知 f(x+ )=x + 3; x x (3)已知 f(x-2)=x2-3x+5; (4)已知等式 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数 x、y 都成立,且 f(0)=1.

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【分析】 (1)中已知函数是一次函数,可以用待定系数方法; (2)可以用换元法或配凑法; (3)可以用换元法; (4)可以用赋值法.

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【解析】 (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 代入 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 得 ax+5a+b=2x+17, 比较对应项的系数得 a=2,b=7, ∴f(x)=2x+7; 1 13 1 (2)∵f(x+ )=(x+ ) -3(x+ ), x x x ∴f(x)=x3-3x;

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(3)令 x-2=t,则 x=t+2 ∴f(t)=(t+2)2-3(t+2)+5 即:f(t)=t2+t+3 ∴f(x)=x2+x+3 (4)令 x=0,则已知等式化为 f(-y)=f(0)-y(0-y+1), 即 f(-y)=y2-y+1,令 x=-y, 则 f(x)=x2+x+1.

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我 来 试 试 1 [练习 4]已知函数 f(x)满足条件 2f(x)+f( )=3x 对任意不 x 为零的实数 x 恒成立,求 f(x)的解析式.
1 【答案】 ∵2f(x)+f( )=3x 对于非零实数 x 恒成立, x 1 3 ∴2f( )+f(x)= 也成立,联立两个方程,解得 f(x)=2x x x 1 - ,此即所求的函数解析式. x
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知识点五 函数定义域 考 点 归 纳 1.确定函数定义域的原则是: (1)当函数 y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象 在 x 轴投影所覆盖的实数的集合. (2)当函数 y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格 中实数 x 的集合;

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(3)当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使 解析式有意义的实数的集合; (4)当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实 际问题的意义确定.

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2.函数的定义域基本上可分为自然定义域与限定定义域 两类: (1)如果只给函数的解析式(不注明定义域), 其定义域应为 使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; (2)如果函数受应用条件或附加条件所制约,其定义域称 为限定定义域. 定义域经常作为基本条件(或工具)出现在高考试题中, 通 过函数性质或函数应用来考查,具有隐蔽性,不为考生所注 意,所以在解决函数问题时,必须树立起“定义域优先”的 观点,以先分析定义域来帮助解决问题.
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3.定义域的求法 函数的定义域是使函数有意义的函数自变量的取值范 围,因此必须遵循以下法则(在此只列举中学数学中常用的): (1)分式的分母不能为零; (2)偶次根号下不能为负; (3)函数 f(x)=x0 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); (4)对数的真数必须大于 0,如果对数函数的底数中也含 有自变量,则底数大于 0 且不等于 1;

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(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1; (6)正切函数、本身对定义域的限制; (7)由有限个函数的四则运算得到的函数,其定义域是这 有限个函数的定义域的交集;

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(8)对于复合函数求定义域问题,其一般步骤是:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等 式 a≤g(x)≤b 解出即得. 例如:已知 f(x)的定义域为 x∈[1,2],则 f(x2)的定义域应 由 1≤x2≤2 解得 x∈[- 2,-1]∪[1, 2]. (9)对于由实际问题建立的函数,其定义域还应该受到实 际问题的具体条件制约.

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4.定义域的应用 关于定义域的应用,比较常见的有以下几个方面: (1)求值域或最值 (2)解析式的变形或化简 在运算过程中,要经常对解析式进行变形或化简处理, 但要注意同时乘以或除以一个符号不确定的因式时,要讨论 是否在定义域范围内,否则就不是恒等变形,或者说就不是 原来的函数了.

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(3)解不等式或解方程 在解不等式时,应注意不等式的解集是定义域的子集. 在解方程时由于对方程两边进行了“平方”,“同乘” 或“同除”,导致未知数的范围扩大或缩小从而产生了增根 或失根这类现象.防止的对策是:第一,变形时,保证是同 解变形;第二,如不是同解变形时,则需检验;第三,对实 际问题应检验是否符合实际意义,即是否在定义域内.

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例 题 示 范 [典例 5] 解答下列各题: (1)y= log 1 ? x2 ? 1? 的定义域是(
2

)

A.[- 2,-1)∪(1, 2] B.(- 2,-1)∪(1, 2) C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2)

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?2-x??x+1? (2)函数 f(x)= 的定义域是( ) |x|+x A.(-∞,-1]∪[2,+∞) B.(0,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),求 f(x2)的定义域; (4)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域;

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【分析】 根据解析式的意义列出不等式组,解出各个 不等式的解集后,利用数轴来确定它们的交集,要特别注意 对于各个区间端点值的取舍考虑. (3)如果函数 f(x)的定义域为 A,对于复合函数 f[g(x)]而 言,其定义域是使得函数 g(x)∈A 的 x 的取值集合. (4)如果 f[g(x)]的定义域为 A, 则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)在 x∈A 上的值域.

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【解析】
2

(1)∵log 1 (x2-1)≥0,∴0<x2-1≤1,
2

故得 1<x ≤2, ∴x∈[- 2,-1)∪(1, 2]. ∴正确选项为 A;

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??2-x??x+1?≥0, ? (2)∵? ?|x|+x≠0, ? ??x+1??x-2?≤0, ? ∴? ?|x|≠-x, ?

即-1≤x≤2,且 x>0,∴x∈(0,2] ∴正确选项为 B.

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(3)∵f(x)的定义域为(0,1). ∴要使 f(x2)有意义,需使 0<x2<1, 即-1<x<0 或 0<x<1, ∴函数 f(x2)的定义域为{x|-1<x<0 或 0<x<1}. (4)∵f(2x+1)的定义域为(0,1), 即其中的自变量 x 的取值范围是 0<x<1, 令 t=2x+1,则 1<t<3, ∴f(t)的定义域为{t|1<t<3}, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x<3}.

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我 来 试 试 [练习 5]求下列函数的定义域. 1 (1)y= ; 1 1+ x ?x+1?0 (2)y= ; |x|-x (3)y= 3-|x-2|+lg(3x+7)2; 1 2 (4)y= 4-x + . |x|-1
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?x≠0, ? 【解析】 (1)自变量 x 需满足? 解得 x≠0, x≠ 1 ?1+x≠0. ? -1. ∴函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠0,x≠-1}. (2)自变量
?x+1≠0 ? x 需满足? ?|x|-x>0. ? ?x≠-1, ? 解得? ?x<0. ?

∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).

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(3)自变量

?3-|x-2|≥0, ? x 需满足? ?3x+7≠0. ② ?



不等式①知|x-2|≤3,即-3≤x-2≤3, ∴-1≤x≤5. 7 ②即 x≠- ,∴函数的定义域为[-1,5]. 3

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(4) 要 使 函 数 有 意 义 , 需 有
?-2≤x≤2, ? ? ?x≠± 1. ?

?4-x2≥0, ? ? ?|x|-1≠0, ?



不等式组的解集为[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2]. 1 2 ∴函数 y= 4-x + 的定义域为[-2,-1)∪(- |x|-1 1,1)∪(1,2].

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技 之 巧
好方法才有好成绩

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【例】

1 若函数 f(x)= ,求函数 y=f[f(x)]的定义域. x+1

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【错解】 ,

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1 【正解】 因为 f(x)= , x+1 1 所以 f[f(x)]= 1 +1 x+1 因此要使函数有意义,

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?x+1≠0, ? 应满足? 1 ?x+1+1≠0, ? 即 x≠-1,且 x≠-2, 于是函数的定义域是{x|x∈R, x≠-1 且 x≠-2}.

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【错因分析】 本题的求解错误在于盲目地对函数解析 式进行化简,而这种化简是不等价的,它扩大了自变量 x 的 取值范围,导致求得的定义域也是错误的.

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学习本讲知识还需注意: 1.判断对应是否为映射,即看 A 中元素是否满足“每元 有象”和“且象唯一”;但要注意:①A 中不同元素可有相 同的象,即允许多对一,但不允许一对多,②B 中元素可无 原象,即 B 中元素可有剩余.

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2.判断两个函数是否为相同的函数,抓住两点: ①定义域是否相同; ②对应法则即解析式是否相同(解析式可以化简). 3.函数的定义域结果要写成区间或集合的形式, 用区间表 示时要注意前小后大的原则.

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4.分段函数是一个函数,由于在不同区间上的对应关系 不同,所以容易忽视自变量的取值范围,而造成错误.

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