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高二数学圆锥曲线中离心率的求法.doc


圆锥曲线中离心率的求法
在解析几何中,求离心率在高考中经常出现,解法较灵活,下面就介绍些常用的方法。 1、公式法:即利用 e [例 1]已知椭圆 mx
2

?

c 这一公式求离心率。 a
5

? 5 y 2 ? 5m 的离心率 e ? 10 ,求 m 的值。
x2 y2 ?

?1 5 m

解:将椭圆方程化为标准方程得: ( 1 )当 0

? m ? 5 时, ? a 2 ? 5, b 2 ? m,? c 2 ? 5 ? m, e ? c ? 5 ? m ? 10 ,可得 m ? 3 ; ( 2 )当
a 5 5

25 25 c m?5 10 , m ? 5 时, 可得 m ? ; 。 ? m ? 3或m ? ? a 2 ? m, b 2 ? 5,? c 2 ? m ? 5, e ? ? ? 3 3 a 5 m 3 y ? ? x ,求双曲线的离心率。 4 b 3 解: (1)当双曲线的焦点在 X 轴上时,可得: ? , a 4
[例 2]已知双曲线的渐近线为 从而 e ? c ?

a

a2 ? b2 5 ?b? ? 1? ? ? ? ; a a 4 ? ?

2

(2)当双曲线的焦点在 Y 轴上时,可得:

a 3 5 ? ,同理可得 e ? ; b 4 3

5 5 ? 双曲线的离心率为 或 。 3 4
2、几何法:求与焦点三角形有关的离心率,可根据三角形的特征设一条边,再想办法求出 2a,2c,从而可得 离心率。 [例 3]以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆, 使这圆过椭圆的中心, 且交椭圆于点 M, 若直线 MF1 ( F1为左焦点 )是 圆 F2 的切线,M 是切点,则椭圆的离心率是( )

y

(A)

3 ?1

(B) 2 ?

3

(C)

2 2

(D)

3 2
F1 O

M

解:如图,由题意得 ?MF1 F2 为直角三角形,设

MF2 ? 1,

F2

x



F1 F2 ? 2 ,从而 MF1 ? 3 ,
F1 F2 MF1 ? MF 2 ? 2 3 ?1 ? 3 ? 1 ,故选 A。

?e ?

[例 4]F1,F2 为椭圆的左右两个焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点, PF1 ? PQ ,且 | PF ,求椭 1 |?| PQ | 圆的离心率。 解:设 PF1 ? 1, 则 PQ ? 1, F1Q ? , 2 ,? PF 1 ? PQ ? QF 1 ? 4a
2 2

Q F1 P F2

? 2a ?

2? 2 2 ? 1? ,2c ? 2 2

PF 1 ? PF2

? 12 ? ?2a ? 1? ?
2

6 , 2

?e ?

2c ? 6? 3。 2a

3、方程法:寻求关于 a,c 的齐次关系式,化归为关于 e 的方程,再通过解方程求出离心率。

[例 5](1996 全国理、文)设双曲线

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(0 ?

a ? b )的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0,b)

两点,已知原点到直线 l 的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为( 4
(D)



(A)2

(B)

3

(C)

2

2 3 3
ab 3 3 ? c ,又 c ,则有 4 4 a2 ? b2

解:由已知得,直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0, 原点到直线 l 的距离为

c 2 ? a 2 ? b 2 ,? 4ab ? 3c 2 ,两边平方得 16a 2 c 2 ? a 2 ? 3c 4
两边同除以

?

?

a4

,并整理得

3e 4 ? 16e 2 ? 16 ? 0

, ?e

2

? 4或e 2 ?

4 3

,而

0?a?b

,得

e2 ?

c2 a2 ? b2 b2 2 ? ? 1 ? ? 2 ,? e ? 4 ,故 e ? 2 ,故选 A。 2 2 2 a a a

[例 6]过双曲线的一个焦点 F 作垂直于实轴的弦 MN,A 为双曲线的距 F 较远的顶点,且 ?MAN 双曲线的离心率等于_____________。

? 90? ,则

y

解:不妨设 F 为左焦点,如图,由已知得,

b2 ? a?c, MF ? AF ,即 a

M

F N

A

x

又b

2

? c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? a?a ? c? ,
2 2

两边同除以 a 并整理得 e

1 ? e ? 2 ? 0 , e ? 2或e ? ?(舍去) ,

? 双曲线的离心率为 2。
4、数形结合法:与渐近线及其夹角有关的问题,抓住双曲线中矩形的边角关系来处理问题就简单易求。

[例 7]若双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两条渐近线的夹角为 ? a2 b2
(B) csc

,则离心率为(



(A) sec

? 2

? 2

(C) sec ?或 csc ?

(D) sec

?
2


或 csc

?
2
y D
O

解: (1)当 a

? b ? 0 时, ?AOB ? ? , cos ? ? a , 从而 e ? sec ?
2 2 c

2

A B x

(2)当 0 ? 故选 D。

a ? b 时, ?AOD ? ? , sin ? ? a , 从而 e ? csc ?
2 2 c

2



[例 8]设

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线含实轴所成的角为 ? a2 b2
(B)

, 而离心率 e ?

? 2,2?,则? 的取值范围是(
y A
O



(A )

?? ? ? ?6 , 2? ? ? ? ? 2? ? ?2 , 3 ? ? ?

?? ? ? ?3 , 2? ? ? ? 2? ? ? 3 ,? ? ? ?
, cos

(C)

(D)

B

x

解:由图知, ?AOB ?

?
2

?
2

?

a 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ?? , ?,? ? ? , ?, ? ? ? , ? , c e ?2 2 ? 2 ? 4 3 ? ?2 3 ?

故选 C。 5、比例性质法:在椭圆或双曲线含焦点的三角形中,若已知两个角,可用正弦定理及比例性质来求离心率。 [例 9]已知 M 为椭圆上一点,F1 ,F2 是其两个焦点,且 ?MF 1 F2 的离心率为( (A) 1 ? 2 sin ? (C) 1 ? cos ) (B) 1 ? sin 2? (D) 2 cos ?

? 2? , ?MF2 F1 ? ? ?? ? 0? ,则椭圆
y

2?

?1

M x F1 O F2

解:由已知及正弦定理得,

MF1 sin ?

?

MF2 sin 2?

?

F1 F2 sin 3?

?

MF1 ? MF2 sin ? ? sin 2?

?

F1 F2 sin 3?



?e ?

F1 F2 MF1 ? MF 2

?

sin 3? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? 3 ? 4 sin 2 ? ? ? ? 2 cos ? ? 1 sin ? ? sin 2? sin ? ?1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 cos ?

故选 D。 [例 10]已知 P 为双曲线右支上一点,F1,F2 是其左右两焦点,且 ?PF 1 F2 曲线的离心率为________________。 解:由已知及正弦定理得,

? 15? , ?PF2 F1 ? 75? ,则双

PF1 sin 75?

?

PF2 sin 15?

?

F1 F2 sin 90?



y P o F2 x

?

PF1 ? PF2 sin 75? ? sin 15?

?

F1 F2 sin 90?

F sin 90? 1 e? ? ? ? 2 ,1 PF1 ? PF2 sin 75? ? sin 15? 2 cos 45? sin 30?

F1 F2

?

双曲线的离心率为

2。

5.特殊值法:当离心率是一个变量时,想到取特殊值再用排除法求解。 上面的例 9 也可以这样解:取

? ? 30?, 则2? ? 60?,? ?F1 MF2 ? 90? , 在 ?MF1 F2 中 , 设
, 从 而

MF1 ? 1, 则 F1 F2 ? 2, MF 2 ? 3

e?

F1 F2 MF1 ? MF 2

?

2 3 ?1

? 3 ?1 , 而 当

? ? 30?时, 1 ? 2 s i? n ? 0,1 ? s i2? n ? 1?

3 1 故可排除 (A) (B) (C) 选 (D) 。 ,1 ? c o 2?s ? , 2 2


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