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江苏省邗江中学高二数学寒假综合练习


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江苏省邗江中学高二数学寒假综合练习
一.填空 1.若复数 z ? ? m 2 ? 5m ? 6 ? ? ? m ? 3? i 是实数,则实数 m ? 2.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 3 ? 0 ”的否定是 . .

3.对任意实数 a, b, c ,给出下列命题:①“ a ? b ”是“ ac

? bc ”的充要条件; ②“ a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件;③“ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ” 的充分条件; ④ “ a ? 5” 是 “ a ? 3” 的必要条件。 其中真命题的个数是 4.椭圆 个.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F,点 P 在椭圆上,且 ?OPF (O 为坐标 a 2 b2

原点)为等边三角形,则椭圆的离心率 e ? _______ 5.设集合 A ? {x | ?3 ? x ? 2}, B ? {x | 2k ?1 ? x ? 2k ? 1} ,且 A ? B ,则实数 k 的取 值范围是 .

6.已知四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3OA ,点 P 为 ?BCD 内(含边 界)的动点,设 OP ? ? OC ? ? OD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的最大值等于 .

7. 我市某企业在 2009 年元月份为战胜国际背景下的金融危机, 积极响应国 务院提出的产业振兴计划, 对每周的自动化生产项目中进行程序优化 . 在 程序设计中,需要采用一个七进制计数器,所谓七进制即“逢七进一” ,如 3 2 1 1203(7) 表示七进制数,将它转换成十进制形式,是 1? 7 ? 2 ? 7 ? 0 ? 7 ? 3 ? 70 = 444 , 那 么 将 七 进 制 数 666 6
12

(7 )

转 换 成 十 进 制 形 式


2 2


x y ? ? 1 的焦点为 F1,F2 ,有下列研究问题及结论: 25 9 x2 y2 ? ? 1 ( k ? 9) 与椭圆 C 的焦点相同; 25 ? k 9 ? k

8.椭圆 C: ① 曲线

② 一条抛物线的焦点是椭圆 C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程 为 x ? ?6 y ;
2

③ 若点 P 为椭圆上一点,且满足 PF1 PF2 ? 0 ,则 PF1 ? PF2 ? 8. 则以上研究结论正确的序号依次是
2 2



9.如果双曲线

x y ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 7,那么点 P 到另一个 36 100

焦点 F2 的距离是



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10 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的 点 P(m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物线方程为________________ 。
x2 y 2 ? 1 的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, 11.双曲线 ? m n

则 mn 的值为


x2 y2 ? ? 1 相交于 A 、 B 两点,则| AB |= 10 5

12 .已知直线 y ? 3x ? 1 与椭圆 _______.

13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA-PB=k,则动点 P 的轨迹是双 曲线; ②方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ③双曲线 x ?
25
2
2 y2 ? 1 与椭圆 x ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 35 9

④以过抛物线的焦点的一条弦 AB 为直径作圆, 则该圆与抛物线的准线相切. 其中真命题为 14. 如图所示,F 为双曲线 C: 二、解答题 15.双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,且经过点P(0,2)与( 5,2 2 ) , 求双曲线的标准方程式、渐近线方程与准线方程。 (写出所以真命题的序号).
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 9 16

P ? P2 F ? P 7 ?i ? i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,则 PF 1 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是

16. (本题满分 14 分) 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

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17. (本题满分 16 分)如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠 墙的三角形露天活动室,已知已有两 面墙的夹角为 60°(即 ?C ? 60? ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面 墙的长均大于 6 米) ,为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可能大, 记 ?ABC ? ? , 问当 ? 为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积 最大?

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点, F 为椭圆的右 4 3 焦 点 , P 是 椭 圆 上 异 于 A 、 B 的 任 意 一 点 , 直 线 AP 、 BP 分 别 交 直 线 l : x ? m(m ? 2) 于 M 、 N 两点, l 交 x 轴于 C 点.

18. (本题满分 14分)已知 A 、 B 为椭圆

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(Ⅰ)当 PF // l 时,求直线 AM 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得以 MN 为直径的圆过点 F ,若存在,求出实数 m 的 值; ,若不存在,请说明理由;
y P A M

l
C N

O

F

B

x

19.已知 F1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,过 F2 做椭圆的弦 AB, a 2 b2

若 ?AF1B 的周长是 16,椭圆的离心率 e ? (1)求椭圆的标准方程;

3 . 2

(2)若 ?F 1 AF2 ? 90 ,求 ?F 1 AF 的面积 S;

(3)已知 P(2,1)是椭圆内一点,在椭圆上求一点 Q,使得 3PQ ? 2QF2 最小, 并求出最小值。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过 A(a,0) , 2 a b 2 4 5 B(0,-b) ,两点的直线到原点的距离是 . 5 ⑴求椭圆的方程 ; ⑵已知直线 y=kx+1(k ? 0)交椭圆于不同的两点 E、F,且 E、F 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值

20.已知椭圆

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江苏省邗江中学高二数学寒假综合练习答案

一.填空 1;3.2; ?x ? R, x2 ? x ? 3 ? 0 .3; 2.4; ③.9;19..10; x 2 ? ?8 y .11;

3 ?1 .5; ?1 ? k ?

1 4 .6; .7; 712 ? 1 .8; ① 2 3

3 8 17 12; .13; ②③④.14; 18 16 7

二、解答题 15.略 16. 【解】 : ?p :4 ? x? 6 , x ? 1 0 ,

x ? 2 , 或 ? ? A| x 1 0 ,x ??

2x ? ? 或

? ――――――――――4分

q : x2 ? 2x ?1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ?x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a? ―――9分
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。―――――――――――――14分 ?a ? 0 ?

17. 解:在 ?ABC 中,由正弦定理: 化简得: AC ? 4 3 ? sin ?

AC AB BC ········· 3 分 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3

BC ? 4 3 ? sin(? ? ) ····················· 6 分 3 1 ? 所以 S ?ABC ? AC ? BC ? sin 2 3 ? 1 3 ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? 12 3 sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) ········ 8 分 3 2 2 1 ? cos 2? 3 ? 6 3(sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ) ? 6 3( ? sin 2? ) 2 2 1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )] 2 6 ? 2? ) ············· 12 分 即 S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? 6 3
所以当 2? ?

?

?

6

?

?

2

, 即? ?

?

3

时, (S?ABC )max = 9 3 ············· 14 分

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答:当 ? ? 60 时,所建造的三角形露天活动室的面积最大。 ········· 15 分
?

另解: S ?ABC ?

1 ? AC ? BC ? sin 2 3

? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) 3

?

? ?6 3[cos(2? ? ) ? cos ] 3 3

?

?

? 2? ? ?6 3 cos(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? ) (下同) 3 3

19. 【解】 : (1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) S? F1 AF2 ? 4 16 4

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(3) 当 Q(3,1)时, PQ ? 2QF2 有最小值,最小值为 8 ? 2 3 20. 【解】 :⑴∵ A(a,0), B(0,?b) ∴过 AB 的直线方程为

x y ? ?1 a ?b
∴ 5a 2 b 2 ? 16(a 2 ? b 2 ) 又∵



1 1 1 ? 2 2 a b

?

5 1 1 4 5 ? 2 ? 2 即 16 a b 5

c 3 ? a 2
∴ 4c ? 3a ? 4(a ? b )
2 2 2 2

即 4b ? a
2

2

∴ 20b ? 16 ? 5b
4

2

即 b ?4
2

∴ a ? 16 ∴ 椭 圆 方 程 为
2

x2 y2 ? ?1 16 4

? x2 y2 ?1 ? ? ⑵由 ? 16 ,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) 4 ? y ? kx ? 1 ?
8k ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 ∴? ? x x ? ? 12 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?

又∵E、F 都在以 B 圆心的圆上

∴|BE|=|BF|,即 8k ? 1
2

∴k ? ?

2 4


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