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内蒙古赤峰市2014


内蒙古赤峰市 2014-2015 学年高二数学下学期第一次月考试题 理 (无答案)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分考生作答时,将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效.全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1.设集合 A={x|y=lg(3﹣2x)},集合 B={y|y= A. B.[0, },则 A∩B=( )

3 3 ) C.[0, ]. D. (﹣∞,1] 2 2
( C.-2-i ( ) D.-2+i )

2.i 为虚数单位, z ? A.2-i 3.下列说法不正确的是

5i , 则 z 的共轭复数为 1 ? 2i
B.2+i

A.命题”若 x ? 0且y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ” 的否命题是假命题 B.命题“ ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2

C.“ ? ?

?
2

”是“ y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件

? D. ? ? 0 时,幂函数 y ? x 在 (0, ??) 上单调递减

4.某种种子发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 A.100 B.200 C.300 D.400 ( )

5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据收集到 ^ 的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程y=0.67x+54.9.表中一个数据模糊不清,请你推 断出该数据的值为( ) 零件数 x(个) 加工时间 y(min) A.68 B.62 C.75 10 62 D.81 20 30 75 40 81 50 89

6. 某班有 50 名学生,一次数学考试的成绩 ? 服从正态分布 N (105,102 ) ,已知
P(95 ? ? ? 105) ? 0.32 ,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为(



A.10

B.9

C.8

D.7 )

7. 如右图所示的程序框图的输出值 y ? (1,2] ,

则输入值 x 的范围是 (

1

A. ? ??,3? C. ? ? log 2 3, ?1? ? ?1,3?

B. ? ?1,log 2 3? D. ? ? log 2 3,0 ? ? ?1,3?

8.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是 A. 3 B. 2 C. D.





9. 两人约定在 20∶00 到 21∶00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去,如果两人 出发是各自独立的,在 20∶00 至 21∶00 各时刻相见的可能性是相等的,则两人在约定时间内相见 的概率是 A. ( B. )

1 9

4 9

C.

7 9
2

D.

8 9


10.已知直线 y=﹣x+b 是曲线 f(x)=x ﹣3lnx 的一条切线,则 b 的值为 ( A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

11.已知 F2、F1 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在 a 2 b2


以 F1 为圆心,| OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A.3 B. 3 C.2 D. 2 ,则方程

12.已知函数 f ( x) ? ?

?| lg x | ?1 ? x
2

x?0 x?0

2

f (2 x2 ? x) ? a(a ? 0) 的根的个数不可能为
A.3 B.4 C.5



) D.6

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13.若 ( x 2 ? ) n 展开式中的所有二项式系数和为 512,则展开式中的常数项为

1 x

.

? ? ? ? 14 已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为 _______
15.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1,1), C (1, ?1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图 所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 16.给出下列五个命题: ①将 A、B、C 三种个体按 3﹕1﹕2 的比例分层抽样调查,如果抽取的 A 个体为 9 个,则样本容量为 30; ②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据为 5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲; ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1-2x,则 x 每增加 1 个单位,y 平均减 少 2 个单位; ⑤ 统 计 的 10 个 样 本 数 据 为 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134 , 则 样 本 数 据 落 在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4.其中正确的结论有 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17(本小题满分 10 分) 地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现,紧急避险常识越来越引起人们的重视.某 校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况,从高一年级和高二年级各选取 100 名同学进行紧急避 险常识知识竞赛.图 (1) 和图 (2) 分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按 [40,50) , [50,60),[60,70),[70,80]分组,得到的频率分布直方图.

_______

_______

. (写出所有正确结论的序号)

( Ⅰ)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;

3

(Ⅱ)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识 的了解有差异”? 成绩小于 60 分人数 高一 高二 合计 成绩不小于 60 分人数 合计

n?ad-bc? 2 附:K = .临界值表: ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635

2

18.(本小题满分 12 分) 从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试,每位同学通过测试的概率 为 0.7,试求: (Ⅰ)选出的三位同学中至少有一名女同学的概率; (Ⅱ)第一次选中女同学的条件下第三次选中男同学的概率; (Ⅲ)选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率;

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , PA ? 的中点,作 EF ? PC 交 PC 于 F . (Ⅰ)求证: PC ? 平面 AEF ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的大小.
P

AB ,点 E 是 PD

E

F

D

A

C

B

20(本题 满分 12 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每

4

次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算 ).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率 1 1 1 1 分别为 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 4 2 2 4 (Ⅰ)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望. 21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) , 已知椭圆 M : 2 ? 左右顶点分别为 A ,B . 经过点 F 的 a 3
直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ( e 为无理数, e ? 2.718 ) (Ⅰ)求函数 f ( x) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程;

1 ,求函数 f ( x) 在 ? a, 2a ? 上的最小值; 2e (Ⅲ)若 k 为正整数,且 f ( x) ? ? k ? 1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.
(Ⅱ)设实数 a ?

5

高二下学期第一次月考数学试题答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 序号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 D 10 A 11 C 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、 84 14、6 15、

2 3

16、②④⑤

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17 [解析] (1)高一年级学生竞赛平均成绩为 (45×30+55×40+65×20+75×10)÷100=56(分), 高二年级 学生竞赛平均成绩为 (45×15+55×35+65×35+75×15)÷100=60(分). (2)2×2 列联表如下: 成绩小于 60 分人数 高一 高二 合计
2

成绩不小于 60 分人数 30 50 80

合计 100 100 200

70 50 120
2

200×?50×30-50×70? ∴K = ≈8.333>6.635, 100×100×120×80 ∴有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”.

18 解: (Ⅰ)至少有一名女同学的概率为 1 ?

C 63
3 C 10

? 1?

1 5 ? . 6 6
1 2 c1 2 4 c 6 c8 = 1 2 c 4 A9 3

(Ⅱ)第一次选中女同学的条件下第三次选中男同学的概率为
2 (Ⅲ)同学甲被选中的概率为 C9 ? 3 , 3 10 C10

则同学甲被选中且通过测试的概率为 0.3×0.7=0.21 19 解: (Ⅰ) ∵ PA ? 底面 ABCD ,CD ? 平面 ABCD ∴ PA ? CD ∵ CD ? AD , PA ? AD ? A ∴ CD ? 平面 PAD ∵ AE ? 平面 PAD ,∴ CD ? AE

6

∵ E 是 PD 的中点, PA ? AD ∴ AE ? PD ∵ PD ? CD ? D ∴ AE ? 平面 PCD 而 PC ? 平面 PCD ,∴ AE ? PC 又 EF ? PC , AE ? EF ? E PC ? 平面 AEF (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB ? 1

??? ? ???? ???? ??? ? AP ? (0, 0,1), AC ? (1,1, 0), DC ? (0,1, 0), PD ? (1, 0, 0) ? (0, 0,1) ? (1, 0, ?1) 则

?? ??? ? ?? ???? ?? m ? ( x , y , z ) AP ? m ? 0, AC ? m ? 0 , APC 1 1 1 设平面 的法向量是 ,则 ?? z ? 0 x ? y ? 0 m 1 1 1 所以 , ,即 ? (1, ?1, 0) ? ???? ? ??? ? ? n ? ( x , y , z ) DC ? n ? 0, PD ?n ? 0 DPC 2 2 2 设平面 的法向量是 ,则
? y ? 0 x ? z ? 0 n 2 所以 2 , 2 ,即 ? (1, 0,1) ?? ? ?? ? m?n 1 1 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 2? 2 2 m?n

,即面角 A ? PC ? D 的大小为 60? .

1 1 20 解 (1)由题意得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 , ,记甲、乙两人所 4 4 1 1 1 1 1 1 5 付的租车费用相同为事件 A,则 P(A)= × + × + × = . 4 2 2 4 4 4 16 5 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 (2)ξ 可能取值有 0,2,4,6,8.P(ξ =0)= × = ,P(ξ =2)= × + × = , P(ξ =4)= × 4 2 8 4 4 2 2 16 2 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 3 + × + × = ,P(ξ =6)= × + × = , 4 2 4 4 16 2 4 4 4 16 1 1 1 P(ξ =8)= × = . 4 4 16 ∴甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16

E?

7
1 5 5 3 1 =0× +2× +4× +6× +8× = 2 8 16 16 16 16
7

21 解: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
?

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45 ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立得到

? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4 ? y ? x ?1 2 ? ,消掉 y ,得到 7 x ? 8 x ? 8 ? 0

8 8 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 7 7 所以

所以

| CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D(?1, ), C(?1, ? ) ,

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4 2 2 2 2 ? y ? k ( x ? 1) 和椭圆方程联立得到 ? ,消掉 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0

显然 ? ? 0 ,方程有根,且

x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
?
因为 k ? 0 ,上式

12 | k | 3 ? 4k 2
3 2 时等号成立)

12 3 ?4|k | |k |

?

12 12 ? ? 3 3 2 12 2 ?4 | k | |k |

, (

k??

所以 | S1 ? S2 | 的最大值 为 3

? ? 22 解:⑴∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f (e) ? 2 ?函数y ? f ( x)在点(e,f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e, 即y ? 2 x ? e

8

? ? (2)∵ f ( x) ? ln x ? 1 令f ( x) ? 0

得x ?

1 e

? 1? 当x ? ? 0, ? ? e ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;

?1 ? x ? ? , ?? ? ?e ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 当
1 a ? 时, f ( x)在[a, 2a]单调递增,[ f ( x)]min ? f (a) ? a ln a, e 当



1 1 1 1 ?1? ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? 2e e e e ?e?

(3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,

x ln x ? x ?k 即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立, 即 x ? 1 对任意 x ? 1 恒成立

g ( x) ?


x ln x ? x x ? ln x ? 2 ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2
x ?1 ? 0 ? h( x ) x 在 (1, ??) 上单调递增。

h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ?


∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴所以 h( x) 存在唯一零点 当 当

x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。

x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增;
x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

∴ g ( x) 在

[ g ( x)]min ? g ( x0 ) ?
∴ 由题意

k ? [ g ( x)]min ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3

9


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