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高二数学曲线方程


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圆锥曲线方程
●知识网络

●范题精讲 【例 1】 已知椭圆的两焦点为 F1(0,-1)、F2(0,1),直线 y=4 是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程; (2)设点 P 在椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求 tan∠F1PF2 的值. 解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力. (1)设椭圆方程为 =1(a>b>0). b2 a2 a2 由题设知 c=1, =4,∴a2=4,b2=a2-c2=3. c
x2 y2 + =1. 3 4 (2)由(1)知 a2=4,a=2. x2

+

y2

∴所求椭圆方程为

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=1,
5 3 ,|PF2|= . 2 2 又|F1F2|=2c=2,

∴|PF1|=

25 9 ? ?4 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 3 由余弦定理 cos∠F1PF2= = 4 4 = . 5 3 2 | PF1 || PF2 | 5 2? ? 2 2

∴tan∠F1PF2=

1 cos ? F1 PF2
2

?1 =

25 4 ?1 = . 9 3

y2 =1,过点 A(2,1)的直线 l 与已知双曲线交于 P1、P2 两点. 2 (1)求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程;

【例 2】 已知双曲线 x2-

(2)过点 B(1,1)能否作直线 l′,使 l′与已知双曲线交于两点 Q1、Q2,且 B 是线段 Q1Q2 的中点?请说明理由. (1)解法一:设点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点 P 的坐标为(x,y),则有 x12-
y1 y =1,x22- 2 =1,两式相减,得 2 2 2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2).
2

2

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当 x1≠x2,y≠0 时, 由 x1+x2=2x,y1+y2=2y, 得
2 x y1 ? y 2 = . x1 ? x 2 y



又由 P1、P2、P、A 四点共线, 得
y ? 1 y1 ? y 2 = . x ? 2 x1 ? x 2
2x y ?1 = , y x?2



由①②得

即 2x2-y2-4x+y=0. 当 x1=x2 时,x=2,y=0 满足此方程,故中点 P 的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0. 解法二:设点 P1、P2、中点 P 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y), 直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1,将 l 方程代入双曲线 x2- 得(2-k2)x2+2k(2k-1)x+2k2-3=0, 则 x1+x2=
2 k ( 2 k ? 1) k2 ? 2
k2 ? 2 4( 2 k ? 1) y1+y2=k(x1+x2)+2-4k= 2 . k ?2 y2 =1 中, 2

,x1x2=

3 ? 2k 2

,

x1 ? x2 k ( 2 k ? 1) ? ?x ? 2 ? k 2 ? 2 , ? ① 于是 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2( 2 k ? 1) . ② ? 2 k2 ? 2 ? 2x 当 y≠0 时,由①②得 k= .将其代入①,整理得 2x2-y2-4x+y=0.当 l 倾斜角为 90° y

时,P 点坐标为(2,0)仍满足此方程,故中点 P 的轨迹方程为 2x2-y2-4x+y=0. (2)解:假设满足题设条件的直线 l′存在,Q1、Q2 的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得 2(x3+x4)(x3-x4)=(y3+y4)(y3-y4). ∵x3+x4=2,y3+y4=2, ∴
y3 ? y 4 =2(x3≠x4), x3 ? x 4

即 l′的斜率为 2. ∴l′的直线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1.
? y ? 2 x ? 1, ? ∵方程组 ? 2 y 2 无解,与假设矛盾, ?1 ?x ? 2 ?

∴满足条件的直线 l′不存在. 【例 3】 如下图,已知△OFQ 的面积为 S,且 OF ? FQ =1,

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Q

O

? F

(1)若 S 的范围为

1 <S<2,求向量 OF 与 FQ 的夹角θ 的取值范围; 2 3 c,若以 O 为中心,F 为焦点的椭圆经过点 Q,当| OQ |取得最小 4

(2)设| OF |=c(c≥2),S=

值时,求此椭圆的方程. 分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用. 解:(1)∵ OF ? FQ =1,∴| OF |?| FQ |?cosθ =1. 又
1 | OF |?| FQ |?sin(180°-θ )=S, 2

∴tanθ =2S,S= 又 ∴

tan ? . 2

1 1 tan ? <S<2,∴ < <2,即 1<tanθ <4, 2 2 2

? <θ <arctan4. 4

(2)以 OF 所在的直线为 x 轴,以 OF 的过 O 点的垂线为 y 轴建立直角坐标系(如下图).
y Q

O

F

x

∴O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0). 设椭圆方程为 =1. b2 3 又 OF ? FQ =1,S= c, 4 ∴(c,0)?(x0-c,y0)=1.
a
2

x2

+

y2

① ②
1 . c

1 3 ?c?|y0|= c. 2 4

由①得 c(x0-c)=1 ? x0=c+ 由②得|y0|=
3 . 2

1 9 2 2 ∴| OQ |= x0 ? y 0 = (c ? ) 2 ? . c 4

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∵c≥2,
1 9 34 ∴当 c=2 时,| OQ |min= ( 2 ? ) 2 ? = , 2 4 2

此时 Q(

5 3 ,± ),F(2,0). 2 2

? 25 9 ? 4 4 ? 代入椭圆方程得 ? 2 ? 2 ? 1, a b ? 2 ? a ? b 2 ? 4. ? ∴a2=10,b2=6.

x2 y2 ? ?1. 10 6 评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.

∴椭圆方程为

●试题详解

高中同步测控优化训练(十一)
第八章 圆锥曲线方程(一)(A 卷)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.椭圆 2x2+3y2=6 的焦距是 A.2 C.2 5 解析:将 2x2+3y2=6 化为标准方程为 B.2( 3 - 2 ) D.2( 3 + 2 )
x2 y2 + =1, 3 2

∴a2=3,b2=2,c2=3-2=1, 焦距 2c=2?1=2. 答案:A 2.方程 4x2+Ry2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则 R 的取值范围是 A.R>0 B.0<R<2 C.0<R<4 D.2<R<4 解析:将方程变为
x2 y2 1 1 + =1,由已知可得 < ,∴0<R<4. 1 1 4 R 4 R
x2 y2 + =1,M 点到左准线的距离为 2.5,则它到右焦 25 16

答案:C 3.已知点 M 在椭圆上,椭圆方程为 点的距离为 A.7.5 C.2.5

B.12.5 D.8.5

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解析:∵a=5,b=4,∴c=3. 两准线间的距离为 2?
5 2 50 a2 =2? = . 3 c 3

M 到左准线的距离为 2.5,则 M 到右准线的距离为 设椭圆右焦点为 F, 则
| MF | c 3 = = ,∴|MF|=8.5. 85 a 5 6
x2 a2 y2 b2

50 85 -2.5= . 3 6

答案:D 4.若双曲线 A.2
4 3 解析:由 2b=a+c 得 4b2=a2+2ac+c2,



=1 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是 B.3 D.
5 3

C.

即 3c2-2ac-5a2=0,∴3e2-2e-5=0.∴e= 答案:D 5.双曲线 之差为

5 . 3

x2 y2 - =1 的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,且直线 PF1、PF2 倾斜角 9 16

? ,则△PF1F2 的面积为 3
B.32 3 D.42

A.16 3 C.32 解析:由题意可知|PF1|-|PF2|=6,∠F1PF2=

? ,|F1F2|=10. 3 由余弦定理,得|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|?|PF2|, ∴|PF1|?|PF2|=64. 1 ? ∴S= ?64sin =16 3 ,选 A. 2 3 答案:A
6.以椭圆 A. C.
x2 y2 + =1 的焦点为焦点,离心率 e=2 的双曲线方程是 25 9

x2 y2 - =1 6 12

B.

x2 y2 - =1 6 14

x2 y2 x2 y2 - =1 D. - =1 4 14 4 12 解析:a2=25,b2=9,则 c2=16,c=4,椭圆焦点坐标为(4,0)、(-4,0).

双曲线的焦点仍为(4,0)、(-4,0),由于 e=2,c=4, ∴a=2,b2=c2-a2=12. ∴双曲线方程为
x2 y2 - =1. 4 12

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答案:D
a b、m 为边的三角形是 x2
2

7.已知双曲线



y2 b
2

=1 和椭圆

x2 m
2

+

y2 b2

=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数, 那么以 a、

A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:双曲线
x2 a2

B.直角三角形 D.等腰三角形 -
y2 b2

=1 的离心率 e1=

a2 ? b2 c = , a a

椭圆的离心率 e2=

m2 ? b2 . m

∵e1 与 e2 互为倒数,∴e1e2=1, 即
a2 ? b2 m2 ? b2 ? =1,整理得 a2+b2=m2. m a

∴以 a、b、m 为边的三角形是直角三角形. 答案:B 8.方程 3( x ? 1) 2 ? 3( y ? 1) 2 =|x+y-2|表示的曲线是 A.椭圆 C.抛物线 B.双曲线 D.不能确定
6 . 2

解析:数形结合法.动点 P(x,y)到定点(-1,-1)和定直线 x+y-2=0 距离之比为 答案:B

x2 y2 x2 y2 + =1(m>n>0)和双曲线 2 - 2 =1(a>b>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是两 m n a b 条曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|的值是

9.若椭圆

A.m-a C.m2-a2 解析:|PF1|+|PF2|=2 m ,|PF1|-|PF2|=2 a , ∴|PF1|= m +
a ,|PF2|= m - a .

B.

1 (m-a) 2

D. m - a

∴|PF1|?|PF2|=m-a. 答案:A
a2 b2 ∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为

10.已知 F1、F2 为椭圆

x2

+

y2

=1(a>b>0)的焦点,M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 x 轴,且

A.

1 2

B.

2 2

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3 3 分析:本题考查如何求椭圆的离心率.

C.

D.

3 2
x2 a2 y2 b2 b2 a2

解:∵MF1⊥x 轴,∴M 点的横坐标为 xM=-c.把 xM 代入椭圆方程 如下图所示.
y M x

+

=1 中,得 yM=

,

F1

O

F2

在 Rt△MF1F2 中,tan∠F1MF2=

F1 F2 2c = = 3, MF1 b 2

a2

即 2ac= 3 b2.∴ 3 a2-2ac- 3 c2=0. 每一项都除以 a2,得 3 -2e- 3 e2=0, 解得 e1= 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.若椭圆的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),椭圆的弦 AB 过点 F1,且△ABF2 的周长 为 20,那么该椭圆的方程为__________. 解析:△ABF2 的周长:|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=2a+2a=4a=20, ∴a=5.又∵c=4,∴b=3. ∴椭圆的方程为 答案:
x2 y2 + =1. 25 9

3 或 e2=- 3 (舍). 3

x2 y2 + =1 25 9 12.已知 P 是椭圆上的一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,

则椭圆的离心率是__________. 解析:因为 e=
c 2c 2c = = , | PF1 | ? | PF2 | a 2a
3 sin 60 ? = . sin 90 ? ? sin 30 ? 3

于是在△PF1F2 中,由正弦定理知 e= 答案:
3 3

13.经过点 M(10,

8 1 ),渐近线方程为 y=± x 的双曲线方程为__________. 3 3

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分析:本题考查依据条件求双曲线的方程. 解:设双曲线的方程为(x-3y)(x+3y)=m(m∈R,且 m≠0), 因双曲线过点 M(10,
8 8 8 ),所以有(10-3? )(10+3? )=m,得 m=36. 3 3 3
x2 y2 - =1. 36 4

所以双曲线方程为 x2-9y2=36,即 答案:
x2 y2 - =1 36 4

x2 y2 + =1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 ? k k ?1 ①曲线 C 不可能是圆;

14.方程

②若 1<k<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中正确的命题是__________.
5 5 时表示圆,否定命题①,显然 k= ∈(1,4), 2 2 ∴否定命题②;若曲线 C 为双曲线,则有(4-k)(k-1)<0,即 4<k 或 k<1,故命题③正确; 5 . 2

解析:当 4-k=k-1,即 k=

若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-k>k-1>0,解得 1<k<

5 ,说明命题④正确. 2

答案:③④ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 8 分)设椭圆的中心为坐标原点, 它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连 成 60°的角,两准线间的距离等于 8 3 ,求椭圆方程.
y B O A F x

解:依题意,设所求椭圆方程为

=1, a2 b2 ∵椭圆右焦点 F(c,0)与短轴两端点 A、B 连成 60°的角, 如图,则∠AFB=60°,△AFB 为等边三角形, 于是有 a=2b. 又由两准线间的距离等于 8 3 ,得 联立①②两方程,解得 a=6,b=3. 故所求椭圆方程为
x2 y2 + =1. 36 9
2a 2 a2 ? b2

x2

+

y2

① ②

=8 3 .

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16.(本小题满分 10 分)已知椭圆 求此弦所在的直线方程.
y 2 4 A x1, 1) ( y P O 2 B( 2 y2 x x, )

x2 y2 + =1,过点 P(2,1)引一条弦,使它在这点被平分, 16 4

解:如图,设弦与椭圆的两交点坐标为 A(x1,y1)、B(x2,y2).又 P(2,1),
? ? x1 ? 4 y1 ? 16 , ∴? 2 2 ? x 2 ? 4 y 2 ? 16 . ?
2 2

① ②

①-②得(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0, ∴
1 2? y1 ? y 2 x ? x2 =- 1 =- =- =kAB. x1 ? x 2 4( y1 ? y 2 ) 2 4 ? 2 ?1
1 (x-2). 2

∴lAB 的方程为 y-1=-

17.(本小题满分 12 分)求以椭圆

5? x2 y2 + =1 的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为 64 16 6

的双曲线方程. 分析:已知渐近线方程为 bx±ay=0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为 2 2 b x -a2y2=λ (λ ≠0),根据其他条件,确定λ 的正负. 解:椭圆的顶点坐标为(±8,0)、(0,±4). ∵双曲线渐近线方程为 x± 3 y=0, 则可设双曲线方程为 x2-3y2=k(k≠0), 即
y2 x2 - =1. k k 3
x2 y2 k =64,得 k=48,双曲线方程为 - =1; 48 16 3 y2 x2 k -k=16,得 k=-12,双曲线方程为 - =1. 4 12 3

若以(±8,0)为焦点,则 k+ 若以(0,±4)为焦点,则-

x2 y2 - 2 =1(b∈N*)的两个焦点为 F1、F2,P 为双 4 b 曲线上一点,|OP|<5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列,求此双曲线方程.

18.(本小题满分 12 分)如下图,双曲线

y P F1 O F2 x

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解:∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列, ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c. 又|PF1|-|PF2|=2a=4, ∴|PF1|=2c+2,|PF2|=2c-2. 根据中线定理有|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), ∴(2c+2)2+(2c-2)2<2(52+c2). ∴8c2+8<50+2c2. ∴c2<7, 即 4+b2<7.∴b2<3.又 b∈N*,∴b=1.
x2 -y2=1. 4 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 B(-2,0)、C(2,0),AD⊥BC 于点 D,△ABC 的垂心

∴所求双曲线方程为

为 H,且 AH =

1 HD . 3
y A H x

B

O

D

C

(1)求点 H(x,y)的轨迹 G 的方程; (2)已知 P(-1,0)、Q(1,0),M 是曲线 G 上的一点,那么 吗?若能,求出 M 点的坐标;若不能,请说明理由. (1)解:∵H 点坐标为(x,y),则 D 点坐标为(x,0), 由定比分点坐标公式可知,A 点的坐标为(x, ∴ BH =(x+2,y), CA =(x-2, 由 BH⊥CA 知 x2-4+ ∴G 的方程为
4 y). 3 4 y). 3
1

,

1

,

1

能成等差数列

| MP | | PQ | | MQ |

4 2 x2 y2 y =0,即 + =1, 4 3 3

x2 y2 + =1(y≠0). 4 3 (2)解法一:显然 P、Q 恰好为 G 的两个焦点,

∴| MP |+| MQ |=4,| PQ |=2. 若
1
1 1

,

,

成等差数列,则

1 | MP |

+

1 | MQ |

=

2 | PQ |

=1.

| MP | | PQ | | MQ |

∴| MP |?| MQ |=| MP |+| MQ |=4.

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? ?| MP | ? | MQ |? 4, 由? 可得| MP |=| MQ |=2, ?| MP | ? | MQ |? 4, ?

∴M 点为

x2 y2 + =1 的短轴端点. 4 3
3 )或(0,- 3 )时,
1

∴当 M 点的坐标为(0,

,

1

,

1

成等差数列.

| MP | | PQ | | MQ |

解法二:设 M 点的坐标为(x,y), 显然 P、Q 恰好为
x2 y2 + =1 的两个焦点, 4 3

∴| MP |+| MQ |=4,| PQ |=2. ∵
1
1 1

,

,

成等差数列,

| MP | | PQ | | MQ |



1 | MP |

+

1 | MQ |

=

2 | PQ |

=1.

由椭圆第二定义可得| MP |=a+ex,| MQ |=a-ex, ∴
1 1 + =1.解得 x=0. 1 1 ( x ? 4) (4 ? x) 2 2
3 )或(0,- 3 ).
1
1 1

∴M 点的坐标为(0, ∴当 M 点的坐标为(0,

3 )或(0,- 3 )时,

,

,

成等差数列.

| MP | | PQ | | MQ |


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