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函数的基本性质单元测试卷


函数的基本性质
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在 题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分)。 1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 (?

?,0) 上为增函数的是 ( )

x ?2 1? x C. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 3.函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 A. b ? ? 2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ? 2 4.如果偶函数在 [ a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有
A. y ? 1 B. y ? A.最大值 B.最小值 5.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 A.偶函数 B.奇函数 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. [3,8] A. k ? ?



) ) ) )

( C .没有最大值 D. 没有最小值 ( C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 ( ( D. b ? 0

6.函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么(

7.函数 f ( x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 B. [?7,?2] B. k ? ? C. [0,5] C. b ? 0 D. [?2,3] 8.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则

) )

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在区间 [?1,0] 上为递增,则( A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) ( ) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) 10.已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

1 2

1 2



二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 f ( x) ?
2

x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x) ?

.

12.函数 y ? ? x ? | x | ,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 . 13 .定义在 R 上的函数 s( x) (已知)可用 f ( x), g ( x) 的 = 和来表示,且 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,则 f ( x) = . 14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为;

.

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15.(12 分)已知 f ( x) ? ( x ? 2) 2 , x ? [?1,3] ,求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.

16.(12 分)判断下列函数的奇偶性 ①y?x ?
3

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③ y ? x ? x;
4

? x 2 ? 2( x ? 0) ? ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ?? x 2 ? 2( x ? 0) ?

17.(12 分)已知 f ( x) ? x

2005

? ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

第 2 页 共 5 页

18.(12 分))函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

19.(14 分)在经济学中,函数 f ( x) 的边际函数为 Mf ( x) ,定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置。生产 x 台的收入函数为 R( x) ? 3000x ? 20x 2 (单 位元),其成本函数为 C ( x) ? 500x ? 4000(单位元),利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) ; ②求出的利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) 是否具有相同的最大值; ③你认为本题中边际利润函数 Mp( x) 最大值的实际意义.

2 20.(14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,且 g ( x) ? f [ f ( x)] , G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问,是否

存在实数 ? ,使得 G ( x) 在 (??,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.

第 3 页 共 5 页

参考答案(4)
一、CBAAB DBAA D

1 1 s( x) ? s(? x) ; 14. 1 12. y ? x2 , x ? R ; [ ? ,0] 和 [ ,?? ) , ; 13. 4 2 2 2 三、15. 解: 函数 f ( x ? 1) ? [(x ? 1) ? 2]2 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2x ? 1 , x ? [?2,2] , 故函数的单调递减区间为 [?2,1] .
二、 11.y ? ? ? x ? 1 ; 16. 解①定义域 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称,且 f (? x) ? ? f ( x) ,奇函数. ②定义域为 { } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. ③定义域为 R,关于原点对称,且 f (? x) ? x 4 ? x ? x 4 ? x , f (? x) ? x 4 ? x ? ?( x 4 ? x) ,故其不 具有奇偶性. ④定义域为 R,关于原点对称, 当 x ? 0 时, f (? x) ? ?(? x) 2 ? 2 ? ?( x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; 当 x ? 0 时, f (? x) ? (? x) 2 ? 2 ? ?(? x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; 当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ;故该函数为奇函数. 17.解: 已知 f ( x) 中 x 2005 ? ax 3 ? b 为奇函数,即 g ( x) = x 2005 ? ax 3 ? b 中 g (? x) ? ? g ( x) ,也即
x x g (?2) ? ? g (2) , f (?2) ? g (?2) ? 8 ? ? g (2) ? 8 ? 10,得 g (2) ? ?18 , f (2) ? g (2) ? 8 ? ?26 .

1 2

18 .解:减函数令 a ? x1 ? x2 ? b ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即可得 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;同理有
g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即可得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ; 从而有 f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )

? f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )
? f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) * 显然 f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) ? 0 从而*式 * ? 0 ,

故函数 f ( x) g ( x) 为减函数. 19.解: p( x) ? R( x) ? C( x) ? ?20x 2 ? 2500x ? 4000 , x ?[1,100], x ? N .

Mp( x) ? p( x ? 1) ? p( x)
? [?20( x ? 1) 2 ? 2500 ( x ? 1) ? 4000 ] ? (?20x 2 ? 2500x ? 4000 ),

? 2480 ? 40 x x ? [1,100], x ? N ;
p( x) ? ?20( x ?

因为 Mp( x) ? 2480 ? 40 x 为减函数,当 x ? 1 时有最大值 2440。故不具有相等的最大值. 边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20.解: g ( x) ? f [ f ( x)] ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? 2x ? 2 .
2 2 2 4 2

125 2 ) ? 74125 , x ? [1,100 ], x ? N ,故当 x 2

? 62 或 63 时, p( x) max ? 74120(元)。

G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 ? ?x 2 ? ? ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? (2 ? ? )

G( x1 ) ? G( x2 ) ? [ x1 ? (2 ? ? ) x1 ? (2 ? ? )] ? [ x2 ? (2 ? ?) x2 ? (2 ? ?)]
4 2 4 2

? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )[x1 ? x2 ? (2 ? ? )]
2 2

有题设 当 x1 ? x2 ? ?1时,

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ? (2 ? ?) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? , 则 4 ? ? ? 0, ? ? 4 当 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 时,
2 2

第 4 页 共 5 页

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ? (2 ? ?) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? , 则 4 ? ? ? 0, ? ? 4 故 ? ? 4 .
2 2

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