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2013届高考数学一轮复习精品学案:第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题 2


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
三.要点精讲
1. 曲 线 方 程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明

1 、 “ 建 ” :建立坐标 系;“设”:设动点坐 标。

建立适当的直角坐标 系,用 (x,y) 表示曲线上

任意一点 M 的坐标。

(1) 所研究的问题已给出坐标系, 即可直接 设点。 (2) 没有给出坐标系, 首先要选取适当的坐 标系。

2、现(限): 由限制条

写出适合条件 P 的点 M

这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析 题意,使写出的条件简明正确。 常常用到一些公式。

件,列出几何等式。 的集合 P={M|P(M)} 3、“代”:代换 用坐标法表示条件 P(M), 列出方程 f(x,y)=0 4、“化”:化简 化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。 5、证明 证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。

要注意同解变形。

化简的过程若是方程的同解变形,可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上(即要注意方程 变量的取值范围)。

这 五 个 步 骤 (不 包 括 证 明 )可 浓 缩 为 五 字 “口 诀 ”: 建 设 现 (限 )代 化 ” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本 方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另 一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参 数 法 :根 据 题 中 给 定 的 轨 迹 条 件 ,用 一 个 参 数 来 分 别 动 点 的 坐 标 ,间 接 地 把 坐 标 x,y 联 系 起 来 , 得 到 用 参 数 表 示 的 方 程 。如 果 消 去 参 数 , 就 可 以 得
1

到轨迹的普通方程。 2. 圆 锥 曲 线 综 合 问 题 ( 1) 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 、 范 围 问 题 通 常 有 两 类 :一 类 是 有 关 长 度 和 面 积 的 最 值 问 题 ;一 类 是 圆 锥 曲 线 中 有 关 的 几 何 元 素 的 最 值 问 题 。这 些 问 题 往 往 通 过 定 义 ,结 合 几 何 知 识 ,建 立 目 标 函 数 ,利 用 函 数 的 性 质 或 不 等 式 知 识 ,以 及 观 形 、设 参 、转 化 、替 换 等 途 径 来 解 决 。解 题 时 要 注 意 函 数 思 想 的 运 用 ,要 注 意 观 察 、分 析 图 形 的 特 征 ,将 形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法:

设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦 长|AB|为:

若 弦 A B 过 圆 锥 曲 线 的 焦 点 F , 则 可 用 焦 半 径 求 弦 长 , | A B | =| AF | +| B F | . 在 解 析 几 何 中 求 最 值 ,关 键 是 建 立 所 求 量 关 于 自 变 量 的 函 数 关 系 ,再 利 用 代 数 方 法 求 出 相 应 的 最 值 .注 意 点 是 要 考 虑 曲 线 上 点 坐 标 ( x ,y ) 的 取 值 范 围 。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题

它 涉 及 到 线 段 相 等 、角 相 等 、直 线 平 行 、垂 直 的 证 明 方 法 ,以 及 定 点 、定 值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型, 随着高考改革的深入, 同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理选择曲线模型, 然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:

2

实际问题

建立坐标系 转化成数学问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

( 4) 知 识 交 汇 题 圆 锥 曲 线 经 常 和 数 列 、三 角 、平 面 向 量 、不 等 式 、推 理 知 识 结 合 到 一 块 出 现部分有较强区分度的综合题。

四.典例解析
题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

x2 ? y 2 ? 1有 动 点 P , F1 , F2 是 曲 线 的 两 个 焦 点 ,求 ?PF1 F2 的 重 ( 2 )双 曲 线 9
心 M 的轨迹方程。 例 2.设 P 为双曲线 M 的轨迹方程是

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 4


题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题

x2 y2 例 3 .( 1 )设 AB 是过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 a b
F1 ( ? c, 0) ,则△ F1AB 的面积最大为(
A. bc (2)已知双曲线 B. ab ) C. ac D. b
2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲 a 2 b2


线的右支上,且 | PF1 | ? 4| PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大值是( A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 2

3

(3)已知 A(3,2)、B(-4,0),P 是椭圆 最大值为( A. 10 C. 10 ? 5 ) B. 10 ? 5 D. 10 ? 2 5

x2 y2 ? ? 1 上一点,则|PA|+|PB|的 25 9

x2 2 例 4. (1)设 P 是椭圆 2 ? y ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点, a
求 PQ 的最大值。 (2) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D(2, 0) ,设点 A ?1, ? . ①求该椭圆的标准方程; ②若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹 方程; ③过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。 (3)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时,求直 线 l 的方程。 题型 3:证明问题和对称问题

? 1? ? 2?

例 5.(1)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与 a2 b

过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且 椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程;
4

(Ⅱ)设 F 1 、 F 2 分别为椭圆的左、 右焦点, M 为线段 AF 1 的中点, 求证: ∠ATM=∠AF 1 T。

(2)设 A, B 分别为椭圆 距,且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ)、求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦 a 2 b2

(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相 交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 (3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 ①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; ②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
?? ? ?? ?

x2 y 2 例 6.(1)椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 a b
4 14 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 (2)已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为 焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。 题型 4:知识交汇题 例 7.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 O

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上 的 两 个 动 点 , O 是 坐 标 原 点 , 向 量
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

5

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值。 5

五.思维总结
3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与 圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量。 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使 一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质, 可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知量, 简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状态,利 用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极 坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思 想方法,复习也应给予足够的重视。

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