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5.3数列求和


高二数学必修五 编号:SX—05—03

数列求和
一. 常见数列的前 n 项和 (1)1+2+3+ +n= (3)1+3+5+ +(2n-1)= (4) 1 +2 +3 + (5) 1 +2 +3 +
3 3 3 2 2 2

(2)2+4+6+

+2n=

+n 2 ? +n3 ?

例 1:已知数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? 3n ,求由其奇数项组成的数列的前 n 项和 Sn

二.一般数列的求和方法
题型一 分组求和法
3 9 25 65 n ? 2n ? 1 (1)Sn = + + + + + ; n 2 4 8 16 2 例 2: 1 1 1 (2) Sn ? ( x ? ) 2 ? ( x 2 ? 2 ) 2 ? ? ( x n ? n ) 2 x x x

1

变式训练 1:求和 Sn ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ?

1 2

1 1 ? )? 2 4

? (1 ?

1 1 ? ? 2 4

?

1 ) 2 n ?1

◆小结: 有些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差, 从而求得原数列的和, 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究,讲数列的通项合理的分解转化,特别注意在含有字母 的数列中对字母进行讨论。

题型二

裂项求和法

例 3:正项数列 {an } 满足 an 2 ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 (n ? 1)an

2

变式训练 2: 1.已知数列 {an } 的通项 a n ? log 2 的前 n 项和 Tn 。求① Sn ② Tn

n ?1 b , 其前 n 项和为 Sn ,bn ? S n ? S n?1 , 数列 {2 n } n?2

2 2.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ( Sn ? ) 。

1 2

① 求 Sn 的表达式;

②设 bn ?

Sn ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 2n ? 1

◆小结:常见的裂项公式有: ①

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 n ? n?k ? 1 ( n ? k ? n) k



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)







3

题型三 倒序相加求和法
例 4 设函数 f ( x) ?

1 2 2012 4x )? f( ) ??? f ( ) ,求 S ,若 S ? f ( 4 2013 2013 2013 4 ?2

题型四 错位相减求和法

4

例 5:求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

变式训练 3: (1) 设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 S n ? 2n 2 ? n ,数列 {bn } 满足 an ? 4 log2 bn ? 3 ① 求 an , bn ②求数列{ an bn }的前 n 项和

(2)

已知正项等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S 3 =12,且 2 a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列

5

① 求数列 {an } 的通项;

②设 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3n

(3)

设数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ?
2

? 3n ?1 an ?

n ,n ? N? 3

① 求数列 {an } 的通项; ② 设 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

(4) 设等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 S4 =4S2 , a2n ? 2an ? 1.

6

①求数列 {an } 的通项; ②若数列 {bn } 满足

b1 b2 + + a1 a2

+

bn 1 ? 1 ? n , n ? N ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an 2

题型五 并项求和法
n 例 6 求和: S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (? 1 ) (2n ? 1)



n 2 变式练习 4 已知数列 {an } 的通项为 an ? (? 1 ) n ,求

7

① 求数列 {an } 的前 10 项和 S10 ; ② 求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

例7

已知数列 {an } 的通项为 a n ? ?

?2n ? 1? n为奇数
n ?3 ? n为偶数

,求其前 n 项和 Sn .

8

变式练习 5

已知数列 {an } 的通项为 a n ? ?

?5n ? 1? n为奇数 ?
2 ? ?2 ? n为偶数 n

,求数列 {an } 的前 2m 项的和

9


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