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8-4高中数学核动力


第八章 平面解析几何

课 前 自 主 学 案

第4节

直线与圆、圆与圆的位置关系

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1.(2012·安徽高考)若直线x-y+1-0与圆(x-a)2 +y2 =2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[-3,-1] C.[ -3,1] 【解析】 1=0的距离为d, B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+

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|a+1| 则 d≤r= 2 即 ≤ 2, 2 |a+1|≤2,解得-3≤a≤1.故选 C.
【答案】 C
菜 单

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2.(2012· 重庆高考)设 A,B 为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 的两个交点,则|AB|=(
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) B. 2 D.2

A.1 C. 3
【解析】

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直线y=x过圆x2+y2=1的圆心C(0,0),则AB

为圆的直径,所以|AB|=2,选D. 【答案】 D
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3.(2012·陕西高考)已知圆C:x2 +y2 -4x=0,l过点
P(3,0)的直线,则(
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) B.l与C相切 D. 以上三个选项均有可能
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A.l与C相交 C.l与C相离 【解析】

圆的方程可化为(x-2)2 +y2 =4,易知圆心

为(2,0)半径为2,圆心到点P的距离为1,所以点P在圆内.所 以直线与圆相交.故选A.
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【答案】 A





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4.(2012·北京高考)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得弦
长为________.
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l 【解析】 半弦长 ,圆心到直线的距离 d,以及圆半径 2 l r 构成了一个直角三角形.因为 r=2,夹角 45° ,因此 =d 2 = 2,所以 l=2 2.

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【答案】 2 2

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5.(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2 +y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐
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标是________.

【解析】

法一:如图: 由题意可知∠APB=60° ,由

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切线性质可知∠OPB=30° 在直角三角形 OBP 中, , OP=2OB =2, 又点 P 在直线 x+y-2 2=0 上, 所以不妨设点 P(x,2 2
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-x),则 OP= x2+?2 2-x?2=2,即 x2+(2 2-x)2=4,整 理得 x2-2 2x+2=0,即(x- 2)2=0,所以 x= 2,即点 P 的坐标为( 2, 2).

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法二:如图:由题意可知∠APB=60°,由切线性质可 知∠OPB=30°,在直角三角形OBP中,OP=2OB=2.

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|-2 2| 因圆心到直线的距离为 d= =2,所以 OP 垂直于 2
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直线 x+y-2

?x+y-2 ? 2=0, ? 由 ?y=x, ?

2=0,

?x= ? 解得? ?y= ?

2, 即 2.

点 P 的坐标为( 2, 2).

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【答案】 ( 2, 2)
菜 单

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1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的
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半径为r)

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1.在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么?
提示:应首先判断这点与圆的位置关系,若点在圆上则 该点为切点,切线只有一条,若点在圆外,切线应有两条.

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2 . 圆 与 圆 的 位 置 关 系 (⊙O1 、 ⊙ O2 半 径 r1 、 r2 , d =
|O1O2|)
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2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准
确判定两圆的位置关系? 提示:不能,当两圆方程组成的方程组有一解时,两圆 有外切和内切两种可能情况,当方程组无解时,两圆有相离 和内含两种可能情况.

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若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为( A.[-3,3] 3 3 C.- , 3 3 )

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B.(- 3, 3) 3 3 D.- , 3 3

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【思路点拨】

设出直线l的点斜式方程,构造圆心到

直线距离与半径的关系的不等式,从而求解.

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【尝试解答】 设直线 l 的方程为:y=k(x-4),即 kx |2k-4k| 1 3 3 2 -y-4k=0 则: 2 ≤1.解得:k ≤3,即- 3 ≤k≤ 3 . 1+k

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【答案】 C

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已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-
2m-24=0(m∈R).
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(1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上; (2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.

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【思路点拨】 (1)把圆的方程化为标准方程,找出圆心 坐标, 可知圆心在同一直线 l 上; (2)转化为圆心到 l 的距离 d 与半径 r 的关系;(3)求出弦长 2 r2-d2,是常数.
菜 单

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【尝试解答】 (1)圆的方程可化为 (x-3m)2+[y-(m-1)]2=25,
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?x=3m, ? 设圆心为(x,y),则? ?y=m-1, ?

消去 m 得 l:x-3y-3=0, 则圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上.
(2)设与 l 平行的直线是:x-3y+b=0,

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当-5 10-3<b<5 10-3 时,直线与圆相交; b=± 10-3 时,直线与圆相切; 5 b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时,直线与圆相离.
菜 单

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(3)证明:对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1: |3+b| x-3y+b=0,由于圆心到直线 l1 的距离 d= (与 m 10 无关). 弦长=2 r2-d2且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦 长相等.
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【归纳提升】 判断直线与圆的位置关系的两种方法: ?>0?相交, ? 判别式 (1)代数法:Δ=b2-4ac?=0?相切, ――→ ?<0?相离. ?
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(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关
系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离. 注意:两种方法优先考虑使用几何法.

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(2011· 全国大纲高考)设两圆 C1、C2 都和两坐标
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轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( A.4 C.8 B.4 2 D.8 2

)

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【尝试解答】

依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径

为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由
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圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0,则 该方程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 102-4×17=8.故选 C. 【答案】 C
菜 单

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圆O1 :x2 +y2 -2x=0和圆O2 :x2+y2 -
4y=0的位置关系是(
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) B.相交 D.内切
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A.相离 C.外切

【尝试解答】 圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径为 r1=1, 圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半径 r2=2,故两圆的圆心距|O1O2| = 5,而 r2-r1=1,r1+r2=3,则有 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,
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故两圆相交.故选 B.
【答案】 B





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已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2
-10x-12y+m=0.
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(1)m取何值时两圆外切; (2)m取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的 长. 【思路点拨】 用圆心距与两半径的和差之间的关系判

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定两圆的位置关系. 【尝试解答】 两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,

(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径 分别为 11和 61-m.
菜 单

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(1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11;
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(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距 离 5,故只有 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11. 6-3 3 4 ∵kMN= = ,∴两圆公切线的斜率一定是- . 3 5-1 4 4 设切线方程为 y=- x+b, 3

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4 | ×1+3-b| 3 13 5 则有 = 11,∴b= ± 11. 3 3 42 ? ? +1 3
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13 5 容易验证当 b= + 11时,直线与后一圆相交, 3 3
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4 13 5 故所求公切线方程为 y=- x+ - 11, 3 3 3 即 4x+3y+5 11-13=0. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,

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即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2 ?
?|4+3×3-23|? ?2 11?2-? =2 ? 42+32 ? ? ?

7.

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【归纳提升】 1.判断两圆的位置关系常用几何法,即 用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代 数法.
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2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两 圆的方程作差消去x2,y2项即可得到.
3.两圆公切线的条数 (1)两圆内含时,公切线条数为0; (2)两圆内切时,公切线条数为1;

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(3)两圆相交时,公切线条数为2;
(4)两圆外切时,公切线条数为3; (5)两圆相离时,公切线条数为4.

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因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系,
反过来知道两圆公切线的条数,也可以判断出两圆的位置关 系.

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若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的
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公共弦的长为 2 3,则 a=________.
【思路点拨】 得. 两圆方程相减得公共弦所在的直线方

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程,再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解

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两圆的方程相减,得公共弦所在的直 1 2 2 2 2 线方程为(x +y +2ay-6)-(x +y )=0-4?y= ,又 a>0, a

【尝试解答】

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结合图象,再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的 1 直角三角形,可知 = 22-? 3?2=1?a=1. a
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【答案】 1

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已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y- 2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB

2

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的长为 2 3,求 a 的值.

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【尝试解答】 (1)圆心C(1,2),半径为r=2,
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.
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由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此
时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0.

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|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴直线方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0.
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综上所述,过 M 点的圆的切线方程为
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x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| (2)由题意有 =2, 2 a +1 4 解得 a=0 或 a= . 3 |a+2| (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 2 , a +1 |a+2| 2 2 32 3 ∴ 2 + =4,解得 a=- . 2 4 a +1

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【归纳提升】
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1.求圆的切线方程,一般设为点斜式方
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程.首先判断点是否在圆上:如果过圆上一点,则有且只有 一条切线;如果过圆外一点,则有且只有两条切线;若利用 点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条,则需结合图形 把斜率不存在的那条切线补上. 2. 求解与圆的弦长有关的计算问题, 常利用圆的半径 R,

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l2 弦长 l,弦心距 d 之间的关系:R2=d2+ ,一般不用代数法 4 求解.

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●考情全揭密●
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从近两年的高考试题来看,直线与圆的位置关系、弦 长、圆与圆的位置关系等是高考的热点,三种题型都有可能 出现,难度属中等偏高;客观题主要考查直线与圆的位置关 系,弦长等问题;主观题考查较为全面,除考查直线与圆的 位置关系、弦长等问题外,还考查基本运算、等价转化、数 形结合思想等. 预测2014年高考对该部分仍将考查直线与圆相交、相切 的问题.重点在于与圆有关的量的计算,如半径、面积、弦 长的计算.

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●命题新动向●
数形结合解决有关圆的问题
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数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问
题简单化、抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质,这是数学的规律性与灵活性的 有机结合.解析几何本身就是数与形的完美结合. 圆 的 相 关 问 题 中 , 许多表达式都具有 一定的几何意

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义.挖掘题目中隐含的几何意义,然后采用数形结合的思想
方法进行推理,可以直观地解决一些最值问题.

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(2012·天津高考)设m,n∈R,若直线
l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆
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x2 +y2 =4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面 积的最小值为________.

1 【规范解答】 直线与两坐标轴的交点坐标为 A ,0, m 1 B0, ,直线与圆相交所得的弦长为 2,圆心到直线的距离 d n 满足 d2=r2-12=4-1=3,所以 d= 3,即圆心到直线的距 |-1| 离 d= 2 2= 3, m +n 1 2 2 所以 m +n = . 3
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11 1 1 三角形的面积为 S= ·= , 2m n 2|mn|
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1 1 又 S= ≥ =3, 2|mn| m2+n2 6 当且仅当|m|=|n|= 时取等号,即最小值为 3. 6

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【答案】 3
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●针对训练●
(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程
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为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使
得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大 值是________. 【解析】 ∵圆C的方程可化为:(x-4)2+y2=1, ∴圆C的圆心为(4,0),半径为1.

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∵由题意,直线y=kx-2上至少存在一点A(x0 ,kx0 -
2),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点; ∴存在x0∈R,使得|AC|≤1+1成立,即|AC|min≤2.
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|4k-2| ∵|AC|min 即为点 C 到直线 y=kx-2 的距离 2 , k +1 |4k-2| 4 ∴ 2 ≤2,解得 0≤k≤ . 3 k +1 4 ∴k 的最大值是 . 3
【答案】 4 3

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