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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高 二期末考试

数 学 试 卷(理科)
命题人:武汉中学 严少林 审题人:武汉四中 李文溢
全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题

给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1? i ? 1.复数 等于( ) 1? i i
A. i B. 0 C.-i
(第 3 题图)

D.1+i

2 2. 设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x , 则函数 f ( x)

单调递增区间为 (D) (?1,0) ) A .

(A) (0,??)

(B) (?1,0) 和 (2,??) (C) (2,??)

3.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,若 B. 2 m C. ? m

?

?

0

2? f ( x)dx ? m ,则 ? 0 f ( x)dx 等于(

m

D.0

4.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双 2 a b
) B.

曲线的渐近线方程为( A.

y??

3 x 2
1 x

y ? ? 3x

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2


5.曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (
2

A. e

2

B. 2e

2

C. 4e )

2

D.

9 2 e 2

6.下列命题错误的是 (

2 2 A、命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x ? x ? m ? 0 无实数根,

则m ? 0”
2 B、“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 2 2 C、对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0

D、若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 7.棱长均为 3 三棱锥 S ? ABC ,若空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) 则 SP 的最小值

1

为( A、 6

) B、

6 3

C、

3 6

D、 1

8.已知函数 y ? ( x ? 1) f ?( x) 的图象如图所示,其中 f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函数,则 y ? f ( x) 的大致图 象是( )

y

- 1

O

1

x

9.如图,过双曲线上左支一点 A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点, 其中一条与双曲线交于点 B,若三角形 ABF2 是等腰直角三角形,则双曲 线的离心率为 ( )

A. 5 ? 2 2 C. 4 ? 2 2

B. 5 ? 2 2 D. 4 ? 2 2

E,F 分别是 AB1 , 10.如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,
点,则以下结论中不成立 的是( ... A. EF 与 BB1 垂直 C. EF 与 CD 异面 11 . 已 知 函 数 )

D1 A1 B1

BC1 的 中

C1
F C

B. EF 与 BD 垂直 D. EF 与 AC 1 1 异面

E D
A B

y ? f ( x) 对 任 意 的 x ? R 满 足
x ) 是函数 f ( x) 的导函数) ,则下列不等式成立的是( ? ( (其中 ) l nf '( 2 0
B. 2 f (1) ? f (2) C. 4 f (?2) ? f (0) D. 2 f (0) ? f (1) )

2x f x ' ( ? x)f x 2
A. 2 f (?2) ? f (?1)

2

x 12 . 定 义 方 程 f ( x) ? f '( x) 的 实 数 根 0 叫 做 函 数 f ( x ) 的 “ 新 驻 点 ” , 若 函 数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), 1),? ?( (x x) )? ?x x33 ? ?1 1的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系为(
A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?



第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 4 ? 3i 13.复数 的虚部为 . 1 ? 2i 1 1 1 1 1 ? (n 为正偶数) 14.用数学归纳法证明某命题时,左式为 1 ? ? ? ? .?? ? ,从“n=2k”到 2 3 4 n ?1 n
“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 15.设 F 1 , F2 为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左右焦点,点 P 在双曲线的左支上,且


| PF 2 |2 的最小值为 8a ,则 | PF1 |

双曲线的离心率的取值范围是 16.已知 x ? ? 0, ??? ,不等式 x ? 等于 .

1 4 27 a ? 2 , x ? 2 ? 3 , x ? 3 ? 4 ,?,可推广为 x ? n ? n ? 1 ,则 a x x x x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : ?x ? ? 1,2?, x ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,若“ p 且 q ”为真命题,
2

2

求实数 a 的取值范围. 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .
2

18. (本题满分 12 分)

(1)当 a ? ?2e 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

2 在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

19.(本题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB

S

与侧面

SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.
O

C

B

A

3

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右焦点为 F , 2 2 a b

过点 B(0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . (1)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; ( 2 )若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 N :

x2 y 2 1 ? ? 相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点,且满足 a 2 b2 3
2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点) ,当 PG ? PH ?
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 (a ? R ) . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 x ? [1, ??) 最小值; (2)若 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)求证: ln(n ? 1) ?

1 1 1 ? ? ? 3 5 7

?

1 * ( n?N ) . 2n ? 1

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做的第一个题目计分,解答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,半径 OB ? OP , AB 交 PO 于 点 C , (Ⅰ)求证: PA ? PC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 3, OP ? 5 ,求 BC 的长度.

A
O


C

P

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

B
x 轴的正半

? x ? 8cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, ? y ? 3sin t

4

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

7 . cos ? ? 2 sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的点,点 Q 的极坐标为 (4 2, 小值.

3? ) ,求 PQ 中点 M 到曲线 C2 上的点的距离的最 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a+b=1,对 ? a ,b∈(0,+∞) , (Ⅰ)求

1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b

1 4 + 的最小值; a b

(Ⅱ)求 x 的取值范围。

5

湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高 二期末考试

数 学 试 卷(理科)
一、选择题:BCDBA DABBD AC 二、填空题:
13.-1 14.

1 1 1 1 ? (写 也给分)15. (1, 3] n+1 n+ 2 2k ? 1 2k ? 2

16. n

n

三、解答题: 17.解析:由“ p 且 q ”为真命题,则 p , q 都是真命题.
p : x 2 ? a 在 ?1,2 ? 上恒成立,只需 a ? x2

? ?

min

? 1 ,所以命题 p : a ? 1 ;

q :设 f ?x? ? x2 ? 2ax ? 2 ? a ,存在 x0 ? R 使 f ?x0 ? ? 0 ,只需 ? ? 4a 2 ? 4?2 ? a ? ? 0 ,
2 即 a ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1或a ? ?2 ,所以命题 q : a ? 1或a ? ?2 .

由?

?a ? 1 得 a ? 1 或 a ? ?2 ?a ? 1或a ? ?2
2( x ? e )( x ? e ) , ???2 分 x

故实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?2 18. 【解析】 (1) 定义域(0,+?),f ' ( x) ?

(0, e 减 ) ,e ( +? , )增

???4 分 ???6 分

f极小( x)? f ( e? )
(2) g(x) ? 2 x ?
'

0

a 2 ? ???8 分 x x2 2 ' g( x) ? 0在 ?1,4 ? 上恒成立,a ? -2x 2 ,???10 分 x 2 63 h(x) ? -2x 2在 ?1,4 ?为减函数,a ? h min(x) ? h(4) ? ? ???12 分 x 2 19.解: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,
所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO .

6

又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .???????6 分 (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

AO 2 6 3 . SA ,故 sin ?AMO ? ? ? 2 AM 3 3
3 ??????12 分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空 间直角坐标系 O ? xyz .

设 B(1 , 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) .

1? 1? ? 1 1? ?1 ?1 SC 的中点 M ? ? , 0, ? , MO ? ? , 0, ? ?, MA ? ? , 1 , ? ?, SC ? (?1 , 0, ? 1) . 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2

∴MO ? SC ? 0, MA ? SC ? 0 .
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.??10 分

cos ? MO, MA ??

MO ? MA MO ? MA

?

3 , 3
3 .???12 分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

20.解: (1)由题意知: c ? 3 , e ?

c 2 2 2 2 ? ,又 a ? b ? c , a 2
2分

x2 y 2 a ? 6, b ? 3 ?1 解得: ? 椭圆 C 的方程为: ? 6 3

可得: B(0, 3) , F ( 3,0) ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

7

? 4 3 ? x0 2 y0 2 x0 ? ? x ? 0 ? ? ? 1 ? ? 0 ? 3 ?? 由? 6 ,或 ? 3 ? ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 ?y ? x ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?
4 3 3 即 A(0, ? 3) ,或 A( , ) 3 3
4分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的 圆,即 x ? y ? 3
2 2

5分

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时,k AF ? 1 ,kBF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是以线段 AB 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

为直径的圆,圆心坐标为 (

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3
6分

2 2 2 3 2 2 3 2 5 综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ? ) ? (y ? ) ?

3

3

3

(2)由题意可知直线 GH 的斜率存在. 设 GH : y ? k ( x ? 2) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )

? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? x2 得: ? y2 ? 1 ? ? 2
4 2 2 1 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ? ( ? )

2

8分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 5 2 5 2 5 2 ,? HG ? 即 1 ? k x1 ? x2 ? 3 3 3
10 分

PG ? PH ?
?k2 ?

1 ,结合( ? )得: 4

8

OG ? OH ? tOP ,?( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y)
x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? 从而 x ? ,y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t t (1 ? 2k 2 ) t t (1 ? 2k )
点 P 在椭圆上,?[
2 2 2 8k 2 ?4k ]2 ? 2[ ]2 ? 2 ,整理得: 16k ? t (1 ? 2k ) 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

2 即t ? 8?

8 2 6 2 6 ,??2 ? t ? ? ,或 ?t ?2 2 1 ? 2k 3 3

12 分

21.解: (1) f ( x ) ? ln x ?

2 ,定义域为 (0, ??) . x ?1

1 2 x2 ? 1 f '( x) ? ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

f ( x)min ? f (1) ? 1 .
(2)因为 f ( x) ?
'

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
'

因为若 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 h ( x) ? 0 有正数解. 即 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
2

当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口向下的抛物线, ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解;
2 2 2 ③当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口向上的抛物线,

即方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根.
2

因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有两正根.
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

9

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x2 ? 0
综合①②③知: a ? 或:

1 . 2

ax2 ? 2(a ?1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解

2 a( x ? 2 x? 1 )? 有 x x?的解 0



a?

x 有x ? 0的解 ( x ? 2 x ? 1)
2

a?

1 x 的最大值( x ? 0) ,? a ? 2 ( x ? 2 x ? 1)
2

(3) (法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x?

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
? 1 . 2n ? 1

1 1 ? ln(n ? 1) ? ? ? 3 5

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 ? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ? ? ? ln . k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . x ?1 x ?1 k?2 k?2 1 ? 令x? ,则有 ln , k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 ? 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立.

10

22.选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OA , ∵ OA ? OB , ∴ ?OAB ? ?OBA .??????????1 分 ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , ∴ ?OAP ? 90? . ∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .????????2 分 ∵ OB ? OP , ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .????????3 分 ∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA , ∴ ?PCA ? ?PAC . ∴ PA ? PC . ????????????5 分 (Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线,
2 ∴ PA ? PM PN ? (PO ? OM ) (PO ? ON ) .?????6 分

????????4 分

∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 ,
2 ∴ PA ? (5 ? 3) (5 ? 3) ? 16 .

∴ PA ? 4 .????????????8 分 ∴由(Ⅰ)知 PC ? PA ? 4 . ∴ OC ? 5 ? 4 ? 1 .

11

2 2 2 在 Rt ?OBC 中, BC ? OB ? OC ? 9 ? 1 ? 10

∴ BC ? 10 .??????????10 分

23.【解析】 (Ⅰ)由 ?

? x ? 8cos t x2 y 2 7 ? ? 1 ;由 ? ? ,消去参数得曲线 C 1 普通方程为 , cos ? ? 2 sin ? 64 9 ? y ? 3sin t
5分

得 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ,故曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

(Ⅱ)点 Q 的直角坐标为 (?4, 4) ,设 P(8cos t ,3sin t ) ,故 M (?2 ? 4 cos t , 2 ?

3 sin t ) , 2

C2 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C2 的距离 d ?
8 5 . 5

4 3 5 从而当 cos t ? ,sin t ? ? 时, | 4cos t ? 3sin t ? 13 | , 5 5 5

d 取得最小值

10 分

24. 解析: (Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,

1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ?9, 3分 a b a b a b b 4a 1 2 当且仅当 ? ,即 a ? , b ? 时, a b 3 3 1 4 5分 ? 取最小值 9. a b 1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b
∴ 所以 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 , 7分 解得 ?7 ? x ? ?1 ;

当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ?

1 1 时,不等式化为 ?3x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 解得 ? x ? 11 ; 2 2 ? 7 ? x ? 11 ∴ x 的取值范围为 . 10 分

湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高 二期末考试

数 学 试 卷(理科)

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一、选择题:BCDBA DABBD AC 二、填空题:
13.-1 14.

1 1 1 1 ? (写 也给分)15. (1, 3] n+1 n+ 2 2k ? 1 2k ? 2

16. n

n

三、解答题: 17.解析:由“ p 且 q ”为真命题,则 p , q 都是真命题.
p : x 2 ? a 在 ?1,2 ? 上恒成立,只 需 a ? x2

? ?

min

? 1 ,所以命题 p : a ? 1 ;

q :设 f ?x? ? x2 ? 2ax ? 2 ? a ,存 在 x0 ? R 使 f ?x0 ? ? 0 ,只需 ? ? 4a 2 ? 4?2 ? a ? ? 0 ,
2 即 a ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1或a ? ?2 ,所以命题 q : a ? 1或a ? ?2 .

由?

?a ? 1 得 a ? 1 或 a ? ?2 a ? 1 或 a ? ? 2 ?
2( x ? e )( x ? e ) , ???2 分 x

故实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?2 18. 【解析】 (1) 定义域(0,+?),f ' ( x) ?

(0, e 减 ) ,e ( +? , )增

???4 分 ???6 分

f极小( x)? f ( e? )
(2) g(x) ? 2 x ?
'

0

a 2 ? ???8 分 x x2 2 ' g( x) ? 0在 ?1,4 ? 上恒成立,a ? -2x 2 ,??? 10 分 x 2 63 h(x) ? -2x 2在 ?1,4 ?为减函数,a ? h min(x) ? h(4) ? ? ???12 分 x 2 19.解: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,
所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三 角形, SO ? AO . 又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .???????6 分 (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角.

13

由 AO ? BC,AO ? SO,SO 所以 AO ? OM ,又 AM ?

BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .

AO 2 6 3 . SA ,故 sin ?AMO ? ? ? 2 AM 3 3
3 ??????12 分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空 间直角坐标系 O ? xyz .

设 B(1 , 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) .

1? 1? ? 1 1? ?1 ?1 SC 的中点 M ? ? , 0, ? , MO ? ? , 0, ? ?, MA ? ? , 1 , ? ?, SC ? (?1 , 0, ? 1) . 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2

∴MO ? SC ? 0, MA ? SC ? 0 .
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.??10 分

cos ? MO, MA ??

MO ? MA MO ? MA

?

3 , 3
3 .???12 分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

20.解: (1)由题意知: c ? 3 , e ?

c 2 2 2 2 ? ,又 a ? b ? c , a 2
2 2

x y ? ?1 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: 6 3

2分

可得: B(0, 3) , F ( 3,0) ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

14

? 4 3 ? x0 2 y0 2 x0 ? ? x ? 0 ? ? ? 1 ? ? 0 ? 3 ?? 由? 6 ,或 ? 3 ? ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 ?y ? x ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?
4 3 3 即 A(0, ? 3) ,或 A( , ) 3 3
4分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的 圆,即 x ? y ? 3
2 2

5分

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时,k AF ? 1 ,kBF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是以线段 AB 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

为直径的圆,圆心坐标为 (

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3
6分

2 2 2 3 2 2 3 2 5 综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ? ) ? (y ? ) ?

3

3

3

(2)由题意可知直线 GH 的斜率存在. 设 GH : y ? k ( x ? 2) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )

? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? x2 得: ? y2 ? 1 ? ? 2
4 2 2 1 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ? ( ? )

2

8分

[来源:学科网 ZXXK]

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 5 2 5 2 5 2 ,? HG ? 即 1 ? k x1 ? x2 ? 3 3 3
10 分

PG ? PH ?
?k2 ?

1 ,结合( ? )得: 4

15

OG ? OH ? tOP ,?( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y)
x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? 从而 x ? ,y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t t (1 ? 2k 2 ) t t (1 ? 2k )
点 P 在椭圆上,?[
2 2 2 8k 2 ?4k ]2 ? 2[ ]2 ? 2 ,整理得: 16k ? t (1 ? 2k ) 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

2 即t ? 8?

8 2 6 2 6 ,??2 ? t ? ? ,或 ?t ?2 2 1 ? 2k 3 3

12 分

21 .解: (1) f ( x ) ? ln x ?

2 ,定义域为 (0, ??) . x ?1

1 2 x2 ? 1 f '( x) ? ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

f ( x)min ? f (1) ? 1 .
(2)因为 f ( x) ?
'

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
'

因为若 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 h ( x) ? 0 有正数解. 即 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
2

当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口向下的抛物线, ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解;
2 2 2 ③当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口向上的抛物线,

即方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根.
2

因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 两正根.
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

16

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x2 ? 0
综合①②③知: a ? 或:

1 . 2

ax2 ? 2(a ?1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解

2 a( x ? 2 x? 1 )? 有 x x?的解 0



a?

x 有x ? 0的解 ( x ? 2 x ? 1)
2

a?

1 x 的最大值( x ? 0) ,? a ? 2 ( x ? 2 x ? 1)
2

(3) (法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x?

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

[来源:学科网 ZXXK]

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
? 1 . 2n ? 1

1 1 ? ln(n ? 1) ? ? ? 3 5

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 ? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ? ? ? ln . k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . x ?1 x ?1 k?2 k?2 1 ? 令x? ,则有 ln , k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 ? 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立.

17

22.选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OA , ∵ OA ? OB , ∴ ?OAB ? ?OBA .??????????1 分 ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , ∴ ?OAP ? 90? . ∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .????????2 分 ∵ OB ? OP , ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .????????3 分 ∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA , ∴ ?PCA ? ?PAC . ∴ PA ? PC . ????????????5 分 (Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线,
2 ∴ PA ? PM PN ? (PO ? OM ) (PO ? ON ) .?????6 分

[来源:学科网 ZXXK]

????????4 分

∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 ,
2 ∴ PA ? (5 ? 3) (5 ? 3) ? 16 .

∴ PA ? 4 .????????????8 分 ∴由(Ⅰ )知 PC ? PA ? 4 . ∴ OC ? 5 ? 4 ? 1 .

18

2 2 2 在 Rt ?OBC 中, BC ? OB ? OC ? 9 ? 1 ? 10

∴ BC ? 10 .??????????10 分

23.【解析】 (Ⅰ)由 ?

? x ? 8cos t x2 y 2 7 ? ? 1 ;由 ? ? ,消去参数得曲线 C 1 普通方程为 , cos ? ? 2 sin ? 64 9 ? y ? 3sin t
5分

得 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ,故曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

(Ⅱ)点 Q 的直角坐标为 (?4, 4) ,设 P(8cos t ,3sin t ) ,故 M (?2 ? 4 cos t , 2 ?

3 sin t ) , 2

C2 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C2 的距离 d ?
8 5 . 5

4 3 5 从而当 cos t ? ,sin t ? ? 时, | 4cos t ? 3sin t ? 13 | , 5 5 5

d 取得最小值

10 分

24. 解析: (Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,

1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ?9, 3分 a b a b a b b 4a 1 2 当且仅当 ? ,即 a ? , b ? 时, a b 3 3 1 4 5分 ? 取最小值 9. a b 1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b
∴ 所以 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 , 7分
[来源:学科网]

[来源:Z。xx。k.Com]

当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ?

解得 ?7 ? x ? ?1 ;

1 1 时,不等式化为 ?3x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 解得 ? x ? 11 ; 2 2 ? 7 ? x ? 11 ∴ x 的取值范围为 . 10 分

19


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