当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高三数学(理)一轮复习讲义:选修4-2 矩阵与变换(苏教版)


选修 4-2 [最新考纲]

矩阵与变换

1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的关系. 2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概 念与矩阵表示. 3.理解变换的复合与矩阵的乘法;理解二阶矩阵的乘法和简单性质. 4.理解逆矩阵的意义,会求出简单二阶逆矩阵. 5.理解矩阵的特征值与特征向量,会求二阶矩阵的特征值与特征向量.

知 识 梳 理

1.矩阵的乘法规则 (1)行矩阵[a11 ?b11? ? a12]与列矩阵? ? ?的乘法规则: ?b21?

[a11

?b11? ? a12]? ? ?=[a11×b11+a12×b21]. ?b21?

?a11 a12? ?x0? ? ? ? ? (2)二阶矩阵? ?与列向量? ?的乘法规则: ?a21 a22? ?y0? ?a11 a12??x0? ?a11×x0+a12×y0? ? ?? ?=? ?. ? ?? ? ? ? ?a21 a22??y0? ?a21×x0+a22×y0? 设 A 是一个二阶矩阵,α、β 是平面上的任意两个向量,λ、λ1、λ2 是任意三个实 数,则 ①A(λα)=λAα;②A(α+β)=Aα+Aβ; ③A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下: ?a11 a12??b11 b12? ? ?? ?= ? ?? ? ?a21 a22??b21 b22?

?a11×b11+a12×b21 ? ? ?a21×b11+a22×b21

a11×b12+a12×b22? ? ? a21×b12+a22×b22?

性质:①一般情况下,AB≠BA,即矩阵的乘法不满足交换律;②矩阵的乘法满 足结合律,即(AB)C=A(BC);③矩阵的乘法不满足消去律. 2.矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念:对于二阶矩阵 A,B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆 的,B 称为 A 的逆矩阵.若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则逆矩阵是唯一的,通 常记 A 的逆矩阵为 A-1,A-1=B. ?a b? ?(detA=ad-bc≠0),它 (2)逆矩阵的求法:一般地,对于二阶可逆矩阵 A=? ?c d ? 的逆矩阵为 d ?ad- bc 1 ? = ? -c ? ad-bc -b ad-bc

A-

? ?. a ? ad-bc?

(3) 逆 矩 阵 与 二 元 一 次 方 程 组 : 如 果 关 于 变 量 x , y 的 二 元 一 次 方 程 组 ?ax+by=m, ?a b? ?x? ?a b?- ? ?可逆, ? 的系数矩阵 A=? 那么该方程组有唯一解? ?=? ?c d ? ?y? ?c d ? ?cx+dy=n
1?

m? ? ?, ?n ? d ?ad- bc 1 ? = ? -c ? ad-bc -b ad-bc

其中 A



? ?. a ? ad-bc?

3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使得 Aα=λα, 那么 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的一个属于特征值 λ 的一个特征向量. (2)特征多项式与特征方程 ?a b? ?x? ?x? ?的一个特征值,它的一个特征向量为 ξ=? ?,则 A? ? 设 λ 是二阶矩阵 A=? ?c d ? ?y? ?y?

?x? =λ? ?, ?y? ?ax+by=λx, ?x? 即? ?满足二元一次方程组? ?y? ?cx+dy=λy, ??λ-a?x-by=0 ?λ-a -b??x? ?0? ?? ?=? ?(*) 故? ?? ?-cx+?λ-d?y=0 ?-c λ-d ??y? ?0?

则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ?λ-a -b? ?λ-a -b? ?a b? ? ? = 0. 记 f(λ) = ? ? 为矩阵 A = ? ? 的特征多项式;方程 ?c d ? ?-c λ-d ? ?-c λ-d ? ?λ-a -b? ?a b? ? ?=0,即 f(λ)=0 称为矩阵 A=? ?的特征方程. ?c d ? ?-c λ-d ? (3)特征值与特征向量的计算 ?λ-a -b? 2 ?=λ -(a+d)λ 如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值, 则 λ 是特征方程 f(λ)=? ?-c λ-d ? +ad-bc=0 的一个根. 解这个关于 λ 的二元一次方程,得 λ=λ1、λ2,将 λ=λ1、λ2 分别代入方程组(*), 分别求出它们的一个非零解 ?x=x1, ?x=x2, ?x1? ?x2? ? ? 记 ξ1=? ?,ξ2=? ?. ?y1? ?y2? ?y=y1, ?y=y2, ?a b? ?x1? ?的特征值,ξ1=? ?,ξ2 则 Aξ1=λ1ξ1、Aξ2=λ2ξ2,因此 λ1、λ2 是矩阵 A=? ?c d ? ?y1? ?x2? =? ?为矩阵 A 的分别属于特征值 λ1、λ2 的一个特征向量. ?y2? 诊 断 自 测 ?1 1. ? ?0 0 ? ?5? ? ? ?=________. -1? ?7? ?1 ? ?0 0 ??5? ? 1×5+0×7 ? ? 5? ?? ?=? ?=? ?. -1??7? ?0×5+?-1?×7 ? ?-7?

解析

答案

? 5 ? ? ? ?-7?

?1 ?2 2.若 A= ?1 ?2
解析

1 1 ? ? 2? ? 2 ,B= 1? ?-1 ? 2 2? 1 1 ? ? 2?? 2 1?? 1 2??-2

1 -2 ? ?,则 AB=________. 1 ? 2 ?

?1 ?2 AB= ?1 ?2

1 -2? 1 2

? ? ?

1 1 ? 1? ?1 ?- ? × 2 2+2×? 2? ? = 1? ?1×1+1×? - ? ?2 2 2 ? ? 2? ?0 =? ?0 0? ?. 0? 答案 ?0 ? ?0 0? ? 0?

1 ? 1? 1 1? ×?- ?+ × 2 ? 2? 2 2?

1 ? 1? 1 1 ?- ? ? 2×? 2?+2×2?

?-1 3.设 A=? ? 0

0? ?0 ?,B=? 1? ?1

-1? ?,则 AB 的逆矩阵为________. 0? 1? ? 0? 0? ?0 ?=? 1? ?1 1? ?. 0?

?-1 解析 ∵A-1=? ? 0

0? ? 0 ?,B-1=? 1? ? -1 1? ?-1 ? ? 0? ? 0

? 0 ∴(AB)-1=B-1A-1=? ?-1 ?0 答案 ? ?1 1? ? 0?
2

?1 4.函数 y=x 在矩阵 M=? ?0 ? ?1 解析 ? ?0 ? 0? ? 1? 4?

0? ? 1?变换作用下的结果为________. 4?

? x? ?x? ? ? ?x′? ? ?=?1 ?=? ??x=x′,y=4y′, ?y? y y′ ?4 ? ? ?

1 1 代入 y=x2,得 y′=4x′2,即 y=4x2. 1 答案 y=4x2 ?1 5.若 A=? ?6 5? ?,则 A 的特征值为________. 2?

?λ-1 解析 A 的特征多项式 f(λ)=? ? -6

-5? ? λ-2?

=(λ-1)(λ-2)-30=λ2-3λ-28=(λ-7)(λ+4), ∴A 的特征值为 λ1=7,λ2=-4. 答案 7 和-4

考点一

矩阵与变换 a? ?所 1?

?2 【例 1】 (2014· 苏州市自主学习调查)已知 a,b 是实数,如果矩阵 M=? ?b 对应的变换将直线 x-y=1 变换成 x+2y=1,求 a,b 的值.

解 设点(x, y)是直线 x-y=1 上任意一点, 在矩阵 M 的作用下变成点(x′, y′), ?2 则? ?b a? ?x? ?x′? ? ? ? =? ? , 1? ?y? ?y′?

?x′=2x+ay, 所以? ?y′=bx+y. 因为点(x′,y′),在直线 x+2y=1 上,所以 ?2+2b=1, (2+2b)x+(a+2)y=1,即? ?a+2=-1, a=-3, ? ? 所以? 1 b=-2. ? ? 规律方法 理解变换的意义,掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键,利用待定 系数法,构建方程是解决此类题的关键. 【训练 1】已知变换 S 把平面上的点 A(3,0), B(2,1)分别变换为点 A′(0,3), B′(1, -1),试求变换 S 对应的矩阵 T. ?a 解 设 T=? ?b c? ?3? ?x′? ?a ?,则 T:? ?→? ?=? ?0? ?y′? ?b d? c? ? d? ?a=0, ?3? ?3a? ?0? ? ?=? ?=? ?,解得? ?0? ?3b? ?3? ?b=1;

?2? ?x′? ?a T:? ?→? ?=? ?1? ?y′? ?b

c ? ?2? ?2a+c ? ? 1? ? ? ?=? ?=? ?, d? ?1? ?2b+d? ?-1? 1 ? ?. -3?

?c=1, ?0 解得? 综上可知 T=? ?1 ?d=-3,

考点二 ?2 【例 2】 已知矩阵 M=? ?1

二阶逆矩阵与二元一次方程组 -3? ?所对应的线性变换把点 A(x, y)变成点 A′(13,5), -1?

试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标. ?2 解 依题意得由 M=? ?1 ?-1 故 M-1=? ?-1 ?2 从而由 ? ?1 3? ?. 2? 3? ?13? -1×13+3×5? ? 2? ?? ?=? ? = ? ? ,故 ? ? ? ?-1×13+2×5? ?-3? ? 2? ? 5 ? -3? ?,得|M|=1, -1?

13? ?-1 -3? ?x? ? ?x? ? ? ? ?? ?= ?得? ?=? ?y? -1? ?y? ? ?5? ?-1

?x=2, ? ∴A(2,-3)为所求. ?y=-3, 规律方法 求逆矩阵时,可用定义法解方程处理,也可以用公式法直接代入求 解.在求逆矩阵时要重视(AB)-1=B-1A-1 性质的应用. ?2 【训练 2】 已知矩阵 A=? ? ?1 (1)求矩阵 A 的逆矩阵; ?2x+3y-1=0, (2)利用逆矩阵知识解方程组? ?x+2y-3=0. 解 (1)法一 ?a 设逆矩阵为 A =? ? ?c
-1

3? ?, ? 2?

b? ?, ? d?

?2 则由? ? ?1

3??a ?? ?? 2?? c

b? ?1 ?=? ? ? d? ?0

0? ?,得 2b+3d=0, ? a+2c=0, 1? b+2d=1,

? ? ?

2a+3c=1,

?b=-3, 解得? c=-1, ?d=2,
a=2,

? 2 A =? ? ?-1
-1

-3? ?. ? 2 ?

?a 法二 由公式知若 A=? ? ?c

b? ?2 ?=? ? ? d? ?1

3? ?, ? 2?

?2x+3y-1=0, (2)已知方程组? ?x+2y-3=0, ?2x+3y=1, 可转化为? ?x+2y=3, ?2 即 AX=B,其中 A=? ? ?1 ? 2 得 A =? ? ?-1
-1

3? ?x? ?1? ?,X=? ?,B=? ?,且由(1), ? ? ? ? ? 2? ?y? ?3?

-3? ?. ? 2 ?

因此,由 AX=B,同时左乘 A-1,有 ? 2 A AX=A B=? ? ?-1
-1 -1

-3??1? ?-7? ?? ?=? ?. ?? ? ? ? 2 ??3? ? 5 ?

?x=-7, 即原方程组的解为? ?y=5. 考点三 求矩阵的特征值与特征向量 2? ?对应的线性变换把点 P(1,1)变成点 P′(3,3), ? 1?

?1 【例 3】 已知 a∈R, 矩阵 A=? ? ?a

求矩阵 A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量. ?1 解 由题意? ? ?a 2? ? ? 1? ?1? ? 3 ? ?3? ? ?=? ?=? ?, ? ? ? ? ? ? ?1? ?a+1? ?3?

得 a+1=3,即 a=2,矩阵 A 的特征多项式为

?λ-1 f(λ)=? ? ? -2

-2 ? ?=(λ-1)2-4=(λ+1)(λ-3), ? λ-1?

令 f(λ)=0,所以矩阵 A 的特征值为 λ1=-1,λ2=3. ①对于特征值 λ1=-1, ?x+y=0, ?x=1, 解相应的线性方程组? 得一个非零解? ?2x+2y=0 ?y=-1. ? 1 ? ? 因此,α=? ? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ1=-1 的一个特征向量; ?-1? ?2x-2y=0, ②对于特征值 λ2=3,解相应的线性方程组? ?-2x+2y=0 ?x=1, 得一个非零解? ?y=1. ?1? ? 因此,β=? ? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ2=3 的一个特征向量. ?1? ?a 规律方法 已知 A=? ? ?c b? ?,求特征值和特征向量,其步骤为: ? d?

-b ? ??λ-a? ? ?=(λ-a)(λ-d)-bc=0,求出特征值 λ; (1)令 f(λ)=? ? ?λ-d?? ? -c ??λ-a?x-by=0, (2)列方程组? ?-cx+?λ-d?y=0; (3)赋值法求特征向量,一般取 x=1 或者 y=1,写出相应的向量. ? 3 【训练 3】 (2014· 扬州质检)已知矩阵 M=? ? ?-1 特征值的一个特征向量. ?λ-3 解 由矩阵 M 的特征多项式 f(λ)=? ? ? 1 1 ? ?= ? λ-3? -1? ?,求 M 的特征值及属于各 ? 3 ?

(λ-3)2-1=0,解得 λ1=2,λ2=4,即为矩阵 M 的特征值.

?x? 设矩阵 M 的特征向量为? ?, ?y? ?x? ?x? 当 λ1=2 时,由 M? ?=2? ?, ?y? ?y? ?-x+y=0, 可得? ?x-y=0. 可令 x=1,得 y=1, ?1? ∴α1=? ?是 M 的属于 λ1=2 的特征向量. ?1? ?x? ?x? 当 λ2=4 时,由 M? ?=4? ?, ?y? ?y? ?x+y=0, 可得? ?x+y=0, 取 x=1,得 y=-1, ? 1? ∴α2=? ?是 M 的属于 λ2=4 的特征向量. ?-1?

用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程 【典例】 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1, -1)与(0,-2). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程. [审题视点] (1)变换前后的坐标均已知, 因此可以设出矩阵, 用待定系数法求解.

(2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m,求原直线,可用坐标转移法. ?a b? ?a b?? 1 ? ?-1? ?,则? ?? ?=? ?, 解 (1)设 M=? ?c d ? ?c d ??-1? ?-1? ?a b??-2? ? 0? ? ? ? ? =? ? , ?c d ?? 1? ?-2?

?a-b=-1, ?-2a+b=0, 所以? 且? ?c-d=-1, ?-2c+d=-2,

?b=2, 解得? c=3, ?d=4,
a=1,

?1 所以 M=? ?3

2? ?. 4? 2??x? ?x+2y ? ?? ?=? ?且 m:x′-y′=4, 4??y? ?3x+4y?

?x′? ?1 (2)因为? ?=? ?y′? ?3

所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 即 x+y+2=0,∴直线 l 的方程是 x+y+2=0. [反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题, 题

目难度属中档题. (2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 . (3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误. 【自主体验】 (2014· 南京金陵中学月考)求曲线 2x2-2xy+1=0 在矩阵 MN 对 应 的 变 换 作 ?1 用下得到的曲线方程,其中 M=? ? ?0 0? ?,N= ? 2? ? 1 ? ? ?-1 0? ?. ? 1?

?1 解 MN=? ? ?0

0?? 1 ?? ?? 2??-1

0? ? 1 ?=? ? ? 1? ?-2

0? ?. ? 2?

设 P(x′,y′)是曲线 2x2-2xy+1=0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换 下变为点 P′(x,y), ?x? ? 1 ? ? 则? ? ?=? ?y? ?-2 0??x′? x′ ? ?? ?=? ? , ?? ? ?-2x′+2y′? ? 2??y′?

y 于是 x′=x,y′=x+2, 代入 2x′2-2x′y′+1=0,得 xy=1. 所以曲线 2x2-2xy+1=0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy=1.

一、填空题 ?x? ?x′? ?3x+4y? ?,则该变换矩阵为________. 1.已知变换 T:? ?→? ?=? ?y? ?y′? ?5x+6y? ?x′=3x+4y, ?3 解析 ? 可写成? ?5 ?y′=5x+6y, ?3 答案 ? ?5 ?3 2.计算? ?5 ?3 解析 ? ?5 4? ? 6? 7?? 2 ? ?? ?等于________. 8??-1? 7?? 2 ? ?3×2-7? ?-1? ?? ?=? ?=? ?. 8??-1? ?5×2-8? ? 2 ? 4??x? ?x′? ?? ?=? ?. 6??y? ?y′?

?-1? 答案 ? ? ? 2 ? ?5 3.矩阵? ?0 ?5 解析 ? ?0 0? ?的逆矩阵为________. 1? 0? ?5 ?=5,∴? ?0 1? ?1 ? 0? 0 ? ? 5 ?的逆矩阵为? ?. 1? ? 0 1?

?1 ? 0 ? ? 5 答案 ? ? ? 0 1?

?3 4.若矩阵 A=? ?b

a ? ?把直线 l:2x+y-7=0 变换成另一直线 l′:9x+y-91= 13?

0,则 a=________,b=________. 解析 取 l 上两点(0,7)和(3.5,0), ?3 则? ?b a ??0? ?7a? ?3 ?? ?=? ?,? 13??7? ?91? ?b a ??3.5? ?10.5? ? ? ? =? ?. 13?? 0 ? ?3.5b?

由已知(7a,91),(10.5,3.5b)在 l′上,代入得 a=0,b=-1. 答案 0 -1 -3? ?的特征值为________. -3?

?6 5.矩阵 M=? ?6

3? ?λ-6 ?=(λ-6)(λ+3)+18=0. 解析 f(λ)=? ?-6 λ+3? ∴λ=0 或 λ=3. 答案 0 或 3 ?1 6.已知矩阵 M=? ?3 2? ? 0? ?1? ?,α=? ?,β=? ?,则 M(2α+4β)=________. ?2? 4? ?-3? 2?? 2? ?-14? ?? ?=? ?. 4??-8? ?-26?

?2? ? 0 ? ? 2? ?1 ?=? ?,M(2α+4β)=? 解析 2α+4β=? ?+? ?4? ?-12? ?-8? ?3 ?-14? ? 答案 ? ?-26? ?1 7.曲线 C1:x +2y =1 在矩阵 M=? ? ?0
2 2

2? ?的作用下变换为曲线 C ,则 C 的方 2 2 ? 1?

程为________. 解析 设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 x2+2y2=1 上与 P 对应的点, ?1 则? ? ?0 2?? x′ ? ? x ? x=x′+2y′, ?x′=x-2y, ?? ?=? ?,即? ? ? ? ?? ? ? ? ?y=y′ ?y′=y. 1?? y′? ? y?

因为 P′是曲线 C1 上的点, 所以 C2 的方程为(x-2y)2+y2=1. 答案 (x-2y)2+y2=1

?2 -1? ?4 -1? ?,B=? ? ,则满足 AX = B 的二阶矩阵 X 为 8 .已知矩阵 A = ? ?-4 3? ?-3 1? ________. 解析 由题意,得 A-1= ∴X=A-1B=. ?9 ? -1 ? ? 2 答案 ? ? -1? ? 5 ?1? ? 9.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是? ? ?,则 ?1? 矩阵 A 为________. ?a 解析 设 A=? ? ?c ?a 由? ? ?c b? ?a b??1? ?2? a=2, ?,由? ?? ?=? ?,得? ? ? ? ?? ? ? ? ?c=3. d? ?c d??0? ?3? AX=B,

b??1? ?1? ?3? a+b=3, ?b=1, ?? ?=3? ?=? ?,得? ? ? 所以 ?? ? ? ? ? ? c + d = 3. ? ?d=0. d??1? ?1? ?3? 1? ?. ? 0? 1? ? ? 0?

?2 所以 A=? ? ?3 ?2 答案 ? ? ?3

二、解答题 10.(2012· 江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=错误!,求矩阵 A 的特征值. 解 因为 AA-1=E,所以 A=(A-1)-1. 因为 A 1=错误!,所以 A=(A 1) 1=错误!,
- - -

于是矩阵 A 的特征多项式为 ?λ-2 f(λ)=? ? ? -2 -3 ? ?=λ2-3λ-4. ? λ-1?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

? 1 11. 已知矩阵 A=? ?-1

a? ?2? ?, A 的一个特征值 λ=2, 其对应的特征向量是 α1=? ?. ?1? b?

?7? (1)求矩阵 A;(2)若向量 β=? ?,计算 A5β 的值. ?4? ? 1 解 (1)A=? ? -1 2? ?. 4?

?λ-1 -2? 2 ?=λ -5λ+6=0,得 λ1=2,λ2=3, (2)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? ? 1 λ-4? ?2? ?1? 当 λ1=2 时,α1=? ?,当 λ2=3 时,得 α2=? ?. ?1? ?1? ?2m+n=7, 由 β=mα1+nα2,得? 解得 m=3,n=1. ?m+n=4, 2 1 ?435? 5 5? ? 5? ? ?. ∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ5 1α1)+λ2α2=3×2 ? ?+3 ? ?=? ?1? ?1? ?339? ?a 12.(2012· 福建卷)设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? ?b 用下得到的曲线为 x2+y2=1. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 A2 的逆矩阵. 解 (1)设曲线 2x2+2xy+y2=1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的 像是 P′(x′,y′). ?x′? ?a 由? ?=? ?y′? ?b 0??x? ? ax ? ?x′=ax, ?? ?=? ?,得? 1??y? ?bx+y? ?y′=bx+y. 0? ?(a>0)对应的变换作 1?

又点 P′(x′,y′)在 x2+y2=1 上,所以 x′2+y′2=1, 即 a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,
2 2 ?a +b =2, ?a=1, ?a=-1, 依题意得? 解得? 或? ?2b=2, ?b=1 ?b=1.

?a=1, 因为 a>0,所以? ?b=1. ?1 (2)由(1)知,A=? ?1 0? ?1 0??1 ?,A2=? ?? ?1 1??1 1? 0? ?1 ?=? 1? ?2 0? ?. 1?

?1 所以|A2|=1,(A2)-1=? ?-2

0? ?. 1?


相关文章:
2015选修4-2+矩阵与变换
2015选修4-2+矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲] 1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的关系. 2.了解旋转...
教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换
教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换 选修4-2—矩阵与变换 选修 4-2 数学知识点...
选修4-2+矩阵与变换
选修4-2+矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考复习 /选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲] 1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的...
...数学第一轮复习细致讲解练:选修4-2 矩阵与变换
【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学一轮复习细致讲解练:选修4-2 矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲]...
选修4-2+矩阵与变换
选修4-2+矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲] 1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的关系. 2.了解旋转变换...
《选修4-2矩阵与变换》教案
选修4-2矩阵与变换》教案_高三数学_数学_高中...人教A 版《选修 4-2 矩阵与变换》教案第一讲一...
选修4-2矩阵与变换习题
选修4-2矩阵与变换习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中理科选修4-2矩阵与变换习题第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一...
【创新设计】2011届高三数学一轮复习 矩阵与变换随堂训...
【创新设计】2011届高三数学一轮复习 矩阵与变换随堂训练 理 苏教版 选修4-2 创新设计】2011届高三数学一轮复习随堂训练 苏教版创新设计】2011届高三数学一轮复习...
2017年春季学期新苏教版高中数学选修4-2:2.2.1恒等变换...
2017年春季学期新苏教版高中数学选修4-2:2.2.1恒等变换 2.2.2伸压变换学案_数学_高中教育_教育专区。选修 4-2 矩阵与变换 编写人: 2.2.1 恒等变换 ...
...期末数学试题分类汇编--选修4-2矩阵与变换
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--选修4-2矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。自己珍藏的高考数学资料,与需要的人分享 ...
更多相关标签: