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丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习(一) 理科


丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一)
高三数学(理科) 第一部分 (选择题 共 40 分)

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | x ? ?2或x ? 3? , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集 合 (CU A) ? B 等于( (A) ? x | ?2 ≤ x ? 4? (C) ?x | ?2 ? x ? ?1? ) (B) ?x | ?2 ? x ? 3? (D) ?x | ?2 ? x ? ?1或3 ? x ? 4?

(0, +? ) 2.在下列函数中,是偶函数,且在 内单调递增的是

(A) y ? 2|x|

(B) y ?

1 x2

(C) y ?| lg x |
频率 组距 0.06 0.05 0.04

(D) y ? cos x

3. 对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调 查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计 在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超 过 80km/h 的概率 (A) 75,0.25 (C)77.5,0.25 (B)80,0.35 (D)77.5,0.35

0.02 0.01 O 60 65 70 75 80 85 90 车速(km/h)

4. 若数列 ?a n ? 满足 an+ 1 = 2 an ( an 刮0, n N* ),且 a2 与 a4 的等差中项是 5 ,则

a1 + a2 + ?+ an 等于
(A) 2n (B) 2n - 1 (C) 2 n- 1 (D) 2 n- 1 - 1

5. 已知直线m,n和平面 ? ,若 n ⊥ ? ,则“ m ? ? ”是“ n ⊥ m ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共 6 个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有 (A) 72
1 / 12

(B)54

(C) 48

(D) 8

7.如图, 已知三棱锥 P - ABC 的底面是等腰直角三角形, 且∠ACB=90O, 侧面 PAB ⊥底面 ABC, AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是 (A) 2 3 ,2,2 (B)4,2, 2 2
主视图 侧视图

P
x

z

(C) 2 3 , 2 2 ,2 (D) 2 3 ,2, 2 2 8.

A C B

y y
俯视图

经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴 来表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政 府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时,需求量大于供应量,价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高于均衡价格 P0 时, 供应量大于需求量, 价格又会下降, 价格如此波动下去, 产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是

(A)
单价 供应曲线 需求曲线

(B)
单价 需求曲线 供应曲线

P2 P0 P1

P2 P0 P1
O 数量

O

数量

(C)
2 / 12

(D)

第二部分 (非选择题 共 110 分) 一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 y ? 3x ,那么双曲线的离 a 2 b2

心率为_________. 10. 如图,BC 为⊙O 的直径,且 BC=6,延长 CB 与⊙O 在点 D 处的切线交于点 A,若 AD=4, 则 AB=________.
A B D O C

C 的对边分别是 a , b, n s i A c ? o c s 11. 在 ?ABC 中角 A ,B , 若 3b c,
则 sin A ? ________.

Ac o s a? C



12. 在梯形 ABCD 中,AB // CD , AB ? 2CD , E 为 BC 中点, 若 AE ? xAB ? yAD , 则 x+y=_______.
? x ? 0, ? 13. 已知 x, y 满足 ? y ? x, (k 为常数) ,若 z ? x ? 2 y 最大值为 8,则 ? x ? y ? k. ?
k =________.

??? ?

??? ?

????

? ? x ? 1( x ? 1), 14.已知函数 f ( x ) ? ? 若 f ( x ) ? f ( x ? 1) ,则 x 的取值范围是______. x ( x ? 1). ? ?

3 / 12

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) =cos x(cos x ? 3sin x) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
π (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间. 2 16.(本小题共 13 分) 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人,为了迅速甄别是否有人感染病毒,对

这些人抽血,并将血样分成 4 组,每组血样混合在一起进行化验. (Ⅰ)若这些人中有 1 人感染了病毒. ①求恰好化验 2 次时,能够查出含有病毒血样组的概率; ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X,求 E(X). (Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒, 设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y),请指出(Ⅰ)②中 E(X)与 E(Y)的大小关系.(只写结 论,不需说明理由) 17.(本小题共 13 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 ? BAD=60° ,对角线 AC 与 BD 相交于 O;OF⊥平面 ABCD, BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证: EF//BC; (Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值.
D O A B C F E

18.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ( x ) ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 f ( x ) ? ax 2 ?
2 (a ? 0) 在区间 (0, ??) 上恒成立,求 a 的最小值. a

4 / 12

19.(本小题共 14 分) x2 y2 3 已知椭圆 G: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短半轴长为 1. a b 2 (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设椭圆 G 的短轴端点分别为 A, B ,点 P 是椭圆 G 上异于点 A, B 的一动 点, 直线 PA, PB 分别与直线 x ? 4 于 M , N 两点, 以线段 MN 为直径作圆 C . ① 当点 P 在 y 轴左侧时,求圆 C 半径的最小值; ② 问:是否存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切?若存在,指出 该定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 20.(本小题共 13 分)
? an ?a n ?1 已知数列 {an } 是无穷数列, a1 =a, a2 ? b ( a , b 是正整数) , an ?1 = ? ? a ? n ?1 ? ? an ( an ? 1) , an ?1

a ( n ? 1) an ?1

.

(Ⅰ)若 a1 ? 2, a2 =1 ,写出 a4 , a5 的值; (Ⅱ)已知数列 {an } 中 ak ?( 1 k ? N * ) ,求证:数列 {an } 中有无穷项为 1; ( Ⅲ ) 已 知 数 列 {an } 中 任 何 一 项 都 不 等 于 1 , 记

为,m x, n{ , ,3 } bn = m a 2ax , n }? ( m a1m 2 , ; .求证:数列 {bn } n 较大者) ? n 1{ a2 n ? 是单调递减数列.

5 / 12

丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数
题号 答案 1 C 2 A 3 D

学(理科)参考答案
4 B 5 A 6 C 7 A 8 D

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.
(0,1]

2

10.

2

11.

1 3

12.

5 4

13.

16 3

14.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程. 解:(Ⅰ) f ( x) = 3sin x cos x ? cos 2 x
f ( x) = 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ) 2 2

f ( x) =(

f ( x) = sin(2 x ?

?
6

)?

1 2

T?

2? 2? ? ?? |? | 2

f ( x) 的最小正周期为 ? .

----------------------------------7 分

(Ⅱ)当 2k? ?

? ? 所以 f ( x) 的递减区间为: [ , ] . ------------------------------------13 分 6 2 16. 解: (Ⅰ)①恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A.
6 / 12

3? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递减, 2 6 2 ? 2? ], k ? Z , 即 f ( x) 的递减区间为: [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 2? ? ? ]=[ , ? ] , k ? Z 由 [0, ] ? [k? ? , k? ? 6 2 2 6 3 ? 2x ? ? 2k? ?

?

?

P( A) ?

1 4 1 .-----4 分 4

恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为

②确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3.
P ( X ? 1) ? 1 1 1 , P ( X ? 2) ? , P ( X ? 3) ? . 4 4 2

则 X 的分布列为:

X P

1

2

3

1 4

1 4

1 2

1 1 1 9 所以:E(X)= 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? --------------------------------------------11 4 4 2 4

分 (Ⅱ) E ( X ) ? E (Y ) ------------------------------------------------------------------13 分 17. 解:(Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AD ∥ BC ,且 BC ? 面 ADEF , AD ? 面 ADEF 所以 BC ∥面 ADEF 且面 ADEF ? 面 BCEF ? EF 所以 EF ∥ BC . ----------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)因为 FO ? 面 ABCD 所以 FO ? AO , FO ? OB 又因为 OB ? AO 以 O 为坐标原点, OA , OB , OF 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间 直角坐标系,取 CD 的中点 M ,连 OM , EM . 易证 EM⊥平面 ABCD. 又因为 BC ? CE ? DE ? 2 EF ? 2 ,得出以下各点坐标:
B(0,1,0), C ( ? 3,0,0), D(0, ?1,0), F (0,0, 3), E( ? 3 1 , ? , 3) 2 2

???? ??? ? ??? ? 3 1 , , 3) ,向量 BC ? (? 3, ?1,0) ,向量 BF ? (0, ?1, 3) 向量 DE ? ( ? 2 2

?? ? 设面 BCFE 的法向量为: n0 ? ( x0 , y0 , z0 )

7 / 12

??? ? ? ? ?n0 ? BC ? 0 ? ? 3x0 ? y0 ? 0 得到 , ??? ? ? ? ? ? ?n0 ? BF ? 0 ? ? y0 ? 3z0 ? 0 ?? ? 令 y0 ? 3 时 n0 ? (?1, 3,1)

? ???? ?? 设 DF 与 n0 所成角为 ? ,直线 DE 与面 BCEF 所成角为 ? .
?? ? ??? ? | n0 ? DE | ? ??? ? = sin ? = | cos ? | = ?? | n0 | ? | DE |
3 1 ) ? ( ?1) ? ? 3 ? 3 ? 1 | 15 2 2 = 5 ? 3 2 1 2 ( ?1)2 ? ( 3) 2 ? (1) 2 ? ( ) ? ( ) ? ( 3) 2 2 2 | (?
15 .----------------------------------------13 5

直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 分 18.设函数 f ( x) ? x ln x .

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ( x ) ? x ? 1 ;
2 (a ? 0) 在区间 (0, ??) 上恒成立,求 a 的最小值. a 解: (Ⅰ)设切线的斜率为 k f ?( x) ? ln x ? 1 k ? f ?(1) ? ln1 ? 1 ? 1

(Ⅲ)若 f ( x ) ? ax 2 ?

因为 f (1) ? 1 ? ln1 ? 0 ,切点为 (1,0) . 切线方程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) , 化简得:y ? x ? 1 .----------------------------4 分 (Ⅱ)要证: f ( x ) ? x ? 1 只需证明: g ( x) ? x ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立,
g ?( x) ? ln x ? 1 ? 1 ? ln x

当 x ? (0,1) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? (1, ??) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增; 当 x ? 1 时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0

8 / 12

g ( x) ? x ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立


f( ? ? .--------------------------------------------------------------------------10 x分 )



2 (Ⅲ)要使: x ln x ? ax ?

2 在区间在 (0, ??) 恒成立, a 2 等价于: ln x ? ax ? 在 (0, ??) 恒成立, ax 2 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 等价于: h( x ) ? ln x ? ax ? ax 1 2 1 2 ?a 2 x 2 ? ax ? 2 ?a 2 ( x ? )( x ? ) 因为 h?( x ) ? ? a ? 2 = = a a x ax ax 2 ax 2 2 ①当 a ? 0 时, h (1) ? ln1 ? a ? ? 0 , a ? 0 不满足题意 a 2 1 ②当 a ? 0 时,令 h '( x ) ? 0 ,则 x ? ? 或 x ? (舍). a a 1 1 所以 x ? (0, ? ) 时 h?( x ) ? 0 , h( x ) 在 (0, ? ) 上单调递减; a a 1 1 x ? ( ? , ?? ) 时 h?( x ) ? 0 , h( x ) 在 ( ? , ?? ) 上单调递增; a a 1 1 1 当 x ? ? 时 h( x ) min ? h( ? ) ? ln( ? ) ? 1 ? 2 a a a 1 当 ln( ? ) ? 3 ? 0 时,满足题意 a 所以 ?e3 ? a ? 0 ,得到 a 的最小值为 ? e 3 -----------------------------------14分

19. 解: (Ⅰ)因为

x2 y2 3 ,短半轴长为 1. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

?b ? 1 ?a ? 2 ? 3 ? ?c , 得到 ?b ? 1 , 所以 ? ? 2 ?a ? 2 2 2 ?c ? 3 ? a ? b ? c ? 所 以 椭 圆









x2 + y 2 = 1 .-----------------------------------------------------------3 分 4
(Ⅱ)① 设 P( x0 , y0 ) , A(0,1), B(0, ?1) 所以直线 PA 的方程为: y ? 1 ?
y0 ? 1 x x0

9 / 12

令 x ? 4 , 得 到 yM ?
8 | MN ? | | ?2 x0

4( y0 ? 1 ) 4( y0 ? 1) ? 1 同 理 得 到 yN ? ?1 , 得 到 x0 x0

| 4 | ( ?2 ? x0 ? 0) x0

所以,圆 C 半径 r ?|1 ?

当 x0 ? ?2 时,圆 C 半径的最小值为 3. --------------------------------------9 分

② 当 P 在左端点时,圆 C 的方程为: ( x - 4) 2 + y 2 = 9 当 P 在右端点时,设 P(2,0) , A(0,1), B(0, ?1) 所以直线 PA 的方程为: y ? 1 ?
?1 x 2

令 x ? 4 ,得到 yM ? ?1 同理得到 yN ? 1 , 圆 C 的方程为: ( x - 4) 2 + y 2 = 1 , 易知与定圆 ( x - 2) 2 + y 2 = 1 相切, 半径 R = 1

4 ? 1 ? , ?2 ? x0 ? 0 ? 4 ? x0 由前一问知圆 C 的半径 r ?|1 ? |? ? x0 ? 4 ? 1,0 ? x0 ? 2 ? ? x0
因为 y M ?
4y 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1, y N ? ? 1 ,圆 C 的圆心坐标为 (4, 0 ) x0 x0 x0
2

? 4 x0 ? ? x , ?2 ? x0 ? 0 4 y 4 ? 0 16(1 ? ) 2 2 ?? 圆心距 d ? (4 ? 2) ? ( 0 ) = = 4 4? | x0 | ? 4 x0 x02 ,0 ? x0 ? 2 ? ? x0
当 - 2 ? x0

0 时, d = r - R = (1 -

4 4 )- 1= ,此时定圆与圆 C 内切; x0 x0

当 0 < x0 ? 2 时, d = r + R = (

4 4 - 1) + 1 = ,此时定圆与圆 C 外切; x0 x0

存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切,该定圆的圆心为 (2,0) 和半径
10 / 12

R ? 1.

(注: 存在另一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切,该定圆的圆心为 (6, 0) 和
R ?1 半 径 . 得 分 相 同 ------------------------------------------------------------------------------------14 分

)

20..解: (Ⅰ) a4 ? 2, a5 ? 1;-----------------------------------------------------2 分

1 k ? N * ) ,假设 ak ?1 ? m (Ⅱ) ak ?(
①当 m ? 1 时,依题意有 ak ?2 ? ak ?3 ? ?????? ? 1 ②当 m ? 1 时,依题意有 ak ?2 ? m , ak ?3 ? 1 ③当 m ? 1 时, 依题意有 ak ? 2 ?
1 1 1 1 ak ?6 ? 1 ak ? 3 ? 2 , ak ? 4 ? , ak ?5 ? , , m m m m

1 k ? N * ) ,在无穷数列 {an } 中,第 k 项后总存在数值为 由以上过程可知:若 ak ?(
1 的 项 , 以 此 类 推 , 数 列 {an } 中 有 无 穷 项 为 1.

--------------------------------------------------6 分 (Ⅲ)证明:由条件可知 an ? 1(n ? 1, 2,3,?) ,
(n ? 1, 2,3,?) . 因为 {an } 中任何一项不等于 1,所以 an ? an +1

①若 a2 n ?1 ? a2 n ,则 bn ? a2n ?1 . 因为 a2 n +1 = 若 若
a2 n ?1 a2 n

,所以 a2n ?1 ? a2n +1 .

a 2 n ?1 a ? 1 ,则 a2 n +2 ? 2 n ?21 ? a2 n ?1 ,于是 a2 n -1 ? a2 n +2 ; 2 a2 n a2 n a 2 n ?1 a a 2 a ? 1 ,则 a2 n +2 ? 2 n ? 2 n ? 2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ?1 ,于是 a2 n -1 ? a2 n +2 ; 2 a2 n ?1 a2 n ?1 a 2 n ?1 a2 n a2 n a 2 n ?1 ? 1 ,则 a2 n +2 ? 1 ,于题意不符; a2 n 2



所以 a2n ?1 ? max{a2n +1 , a2n +2 } ,即 bn ? bn ?1 . ②若 a2 n ?1 ? a2 n ,则 bn ? a2 n . 因为 a2 n +1 =
a2 n a2 n -1

,所以 a2 n ? a2 n +1 ;

11 / 12

因为 a2 n +2 =

a2 n a2 n +1

,所以 a2 n ? a2 n +2 ;

所以 a2 n ? max{a2 n +1 , a2 n +2 } ,即 bn ? bn ?1 . 综上所述,对于一切正整数 n ,总有 bn ? bn ?1 ,所以数列 {bn } 是单调递减数列. -------------------------------------------------------------------------------13 分

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