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解三角形复习和小结


小结与复习

知识构架
直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系

锐 角 三 角 函 数

解 直 角 三 角 形

实 际 问 题

范例
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2, 1 sinA= ,求cosA和tanA的值。 3 B 锐角三角函数的定义 A C

重点知识
锐角三角函数的定义:
?A的对边 a ? sin A ? 斜边 c

?A的邻边 b ? cos A ? 斜边 c
?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

巩固
1 1、已知tanA= ,且∠A为锐角,则 2 sinA=_______

1 2、已知sinA= 3,且∠A为锐角,则 Sin(900-A)=_______

重点知识
特殊角的三角函数值:
锐角α 三角函数

30o
1 2 3 2 3 3

45o
2 2 2 2

60o
3 2 1 2

增减性

sinα cosα tanα

递增 递减 递增

1

3

巩固 3、计算:
(1) sin 30 ? cos 45 ? tan 60
2 ? ? ?

( 2)

1 2 ? ? 2 ? 3 tan 30 ? 2 (sin 45 ? 1) 2 ?1

特殊角的三角函数值可以 “熟记”或“推导”。

巩固
4、锐角A满足2sin(A-15)o= 3 ,求∠A 的度数。 特殊角与三角函数值的互相转化

巩固

5、锐角不大于45度,求cosA的最大值。

巩固
4、若关于x的一元二次方程:

2 x ? ( 4 sin ? ) x ? 1 ? 0 (0 ? ? ? 90 )
2
?

有两个相等的实数根,求θ的值。

范例 例2、在△ABC中,sinB=cos(90o-C) 1 = ,那么△ABC是( ) 2 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 三角函数关系

重点知识
三角函数关系: (1)互余两角三角函数关系: 若∠A + ∠B=90o ,那么
sin A ? cos B cos A ? sin B tan A ? tan B ? 1

(2)同角三角函数关系:
sin A ? cos A ? 1
2 2

sin A tan A ? cos A

巩固
5、 Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA 2 = ,则cosB的值为( ) 2 2 1 A. B. 2 2
3 C. 2

D. 1

巩固
6、 如果sin2α+sin230o =1,那么锐角 α的值是( ) A. 15o B. 30o C. 45o D. 60o

范例 例3、如图,为测楼房BC的高,在距楼 房30米的A处测得楼顶的仰角为α ,则 楼高BC为( )米 B 30 A. 30 tan ? B. tan ? 30 A α C C. 30 sin ? D. sin ?
解直角三角形

重点知识
解直角三角形: (1)已知“一边和一角” (2)已知“两边”

巩固
7、在△ABC中,∠C=90°,AB=15, 1 sinA= ,则BC等于( ) 3 A. 45 B. 5 C.
1 5 1 D. 45

巩固
8、在△ABC中,∠C=90°,AC=6, 1 BC= ,则∠B等于( ) 3 A. 30 C. 60
?

B. 45 D. 90

?

?

?

范例
例4、如图,在等腰直角△ABC中, ∠C=90°,AC=6,D是AC上一点, 1 如果tan∠DBA= ,求AD的长。 5 C D A B

概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念

(1)仰角和俯角
(2)坡度
i=

视线 铅 垂 线 仰角 水平线

h l

=tan

α

俯角


α为坡角
视线
h α

A

(3)方位角
西

30°

l
B

O 45°




例1:山坡上种树,要求株距(相临两树间的水平
距离)是5.5米,测的斜坡倾斜角是30? ,求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米(精确到0.1米)
B 30? 解: 在Rt△ABC中 A

C

5.5米



cosA=AC/AB AB=AC/cosA

≈6.4(米) 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.4米。

例2 : 如图所示,B、C是河对岸的两点,A是对岸 岸边一点,测量∠ABC=45°,∠ACB=30°, BC=60米,则 点A到BC的距离是 21.96 米。(精确到0.01米)

图7-3-3
450 300

D

例3. 如图所示,某地下车库的入口处有斜坡AB,其坡 度i=1∶1.5,且AB= 13 m.
C

图7-3-4

例4、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B 港,然后再沿北偏西300方向10km方向至C港,求 (1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km); (2)确定C港在A港什么方向. M N C 答(1) 14.1km 10 (2) 北偏东15° B
10

A

例 5.如图,海岛A四周20海里周围内为暗礁区,一艘货轮由 东向西航行,在B处见岛A在北偏西60?,航行24海里到C,见 岛A在北偏西30?,货轮继续向西航行,有无触礁的危险? 解:过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
∵ ∠NBA= 60?, ∠N1BA= 30?, ∴ ∠ABC=30?, ∠ACD= 60?, N1 A N

在Rt△ADC中, CD=AD?tan30=
在Rt△ADB中, BD=AD?tan60?= ∵ BD-CD=BC,BC=24 ∴

3 x 3

3x

∴ X=12 3 ≈12×1.732 =20.784 > 20

3 3x ? x ? 24 3

D

C

B

答:货轮无触礁危险。

1、本节例题学习以后,我们可以得到解直角三角 形的两种基本图形:
A A

B

D

C

B

C

D

2.(1) 把实际问题转化成数学问题,这个转化为两 个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形, 画出正确的平面或截面示意图,二是将已知条件 转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是 直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形.

小结
直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系

锐 角 三 角 函 数

解 直 角 三 角 形

实 际 问 题


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