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3.2.1(二)对数及其运算教案


3.2.1 对数及其运算(二) 【学习要求】 1.加深对数的概念; 2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式; 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 【学法指导】 通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及 数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 填一填:知识要点、记下疑难点 1. 对数运算法则 :loga(MN) = logaM + logaN ,loga = logaM - logaN , logaMn= nlogaM . 2.logbN=叫做换底公式,loga m bn=logab,logab=(或 logab·logba=1 ). 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算, 指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算? 探究点一 积、商、幂的对数 问题 1 指数的运算法则有哪些? 答:am·an=am+n;am÷an=am-n;(am)n=amn;=a . 问题 2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗? 答:指数式与对数式的互化公式为:ab=N?logaN=b. 问题 3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗? (1)设 loga2=m,loga3=n,求 am+n; (2)设 logaM=m,logaN=n,试利用 m、n 表示 loga(MN). 解:(1)由 loga2=m,得 am=2,由 loga3=n,得 an=3, 所以 am·an=am+n=2×3=6,即 am+n=6. (2)由 logaM=m,得 am=M,由 logaN=n,得 an=N. 所以 am·an=am+n=M×N, 把指数式化为对数式得:loga(MN)=m+n. 小结: 在问题 3 中的第(2)题中,我们得到 loga(MN)=m+n,又由 logaM=m,logaN=n,进行 m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质 ,即:loga(MN)=logaM+logaN.因为同底数幂相乘,不论 有多少因数 ,都是把指数相加 ,所以这个性质可推广到若干个正因数的积 :loga(N1N2 ?Nk) = logaN1+logaN2+?+logaNk. 问题 4 同样地,由 am÷an=am-n 和(am)n=amn,也得到对数运算的其他性质:loga=logaM- logaN;logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,且 a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢? 答:令 M=am,N=an,则=am÷an=am-n, ∴m-n=loga.又由 M=am,N=an, ∴m=logaM,n=logaN, 即:logaM-logaN=m-n=loga; 当 n≠0 时,令 logaM=p,由对数定义可以得 M=ap, ∴Mn=(ap)n=anp,

∴logaMn=np,将 logaM=p 代入,即证得 logaMn=nlogaM. 当 n=0 时,显然成立.∴logaMn=nlogaM. 小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进 行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式 .对数运算性质可以用简易语言表达 : “积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”,“正数的 n 次方的对数=正数的对数的 n 倍”.有时用逆向运算性质:如 log105+log102=log1010=1. 例 1 用 logax,logay,logaz 表示下列各式: (1)loga; (2)loga(x3y5); (3)loga; (4)loga. 解:(1)loga=loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz; (2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay; (3)loga=loga-loga(yz)=logax -(logay+logaz)=logax-logay-logaz; (4)loga=loga(x2)-loga=logax2+logay -logaz=2logax+logay-logaz. 小结:真数的取值范围是(0,+∞),log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)不成立,log10(-10)2= 2log10(-10)也不成立.要特别注意 loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN. 跟踪训练 1 计算: (1)lg; (2)log2(47×25); (3)lg 4+lg 25; (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5. 解:(1)lg=lg 102=lg 10=; (2)log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19; (3)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2; (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5=(lg 2)2+(1+lg 2)(1-lg 2)=(lg 2)2+1-(lg 2)2=1. 探究点二 换底公式与自然对数 导引在实际应用中,常常碰到底数不为 10 的对数,如何求这类对数呢?如何求 log35? 问题 1:假设=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23x,从而有 3x=5,进一步可得到什么结论? 答:把 3x=5 化为对数式为:log35=x, 又因 x=,所以得出 log35=的结论. 问题 2 如果 a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0,那么与哪个对数相等?如何证明这个结论? 答:结论为=logab. 证明如下: 令=x?logcb=xlogca?logcb=logcax?b=ax?x=logab?=logab. 小结:(1)logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)叫做换底公式. (2)由换底公式可得两个结论:①loga bn=logab; ②logab=(或 logab·logba=1). 问题 3:什么叫做自然对数?自然对数如何表示? 答:以 e=2.718 28?为底的对数叫做自然对数.记作 ln N. 例 2 已知 log23=a,log37=b,用 a,b 表示 log4256. 解:因为 log23=a,则=log32, 又∵log37=b,∴log4256===. 小结:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰 当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以 10 为底数 进行换底. 跟踪训练 2 求 log89·log2732 的值. 解:log89·log2732=×=×=×=. 例 3 计算下列各式的值: (1)lg -lg +lg ; (2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.

解:(1)方法一原式=(lg 25-lg 72)-lg 2+lg(72×5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5 =(lg 2+lg 5)=. 方法二:原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(×)=. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 小结:这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则 将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的对数的和、 差、 积、 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、 商、 幂,然后化简求值. 跟踪训练 3 (1)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 lg ; (2)已知 lg x=2lg a+3lg b-5lg c,求 x. 解: (1)lg = lg 45=lg =[lg 9+lg 10-lg 2]=[2lg 3+1-lg 2] =lg 3+-lg 2=0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6; (2)由已知得:lg x=lg a2+lg b3-lg c5=lg , ∴x=. 练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义) ( ) A.logax·logay=loga(x+y) B.(logax)n=nlogax C.=loga D.=logax-logay 解析:因=logax=logax =loga,所以选 C. 2.log3+lg 25+lg 4+7+(-9.8)0=__________. 解析:原式=log333+lg(25×4)+2+1=+2+3=. 3.求证:(1)logxylogyz=logxz;(2)loga bn=logab. 证明:(1)因为 logxylogyz=logxy=logxz, 所以 logxylogyz=logxz. (2)loga bn===logab. 课堂小结: 1.对数的运算法则:如果 a>0,a≠1,M>0,N>0 有: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)loga=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM (n∈R) 2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式: logab=(a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,b>0).


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