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答案11-12(1)微积分A试卷A


徐州工程学院试卷

微积分 A 答案(A 卷)
一、填空题(共 5 小题,每题 2 分,共计 10 分) (1) ? ?2, ?1? ? ? ?1,3? (2) y ? x (3)-24 (4)0 (5) y ? x ? 1 (10)B 二、选择题(共 5 小题,每题 2 分,共计 10 分) (6)B (7)C (8)B (9)C 三、计算题(共 11 小题,每题 5 分,共计 55 分) 1、求下列极限 (11)解: lim(
x ??

1? x 2x 1 ) ? lim(1 ? ) 2 x x ?? x x
1 ? ? ? l i m ( 1 x ?) ? x ?? ? x ? ?
2

…… … … … … … …(2 分)

… … … … … … …(2 分) … … … … … … … … …(1 分) … … … … …(3 分) … … … … … …(2 分)

? e2
x2

x 2 (1 ? 1 ? x 2 ) ? lim (12)解: lim x ?0 ? x2 1 ? 1 ? x 2 x ?0

? lim? (1 ? 1 ? x2 ) ? ?2
x ?0



(13)解: lim x ? lim e ? ?
x x?0 x?0

ln x x

? lim ex ln x …… … … … … … …(2 分) ?
x?0
lim 1 x 1 x2

?e

ln x lim x?0? 1 x
lim ? x

?e

x?0?

?

… … … … … … … …(2 分) … … … … … … … …(1 分) … …(3 分)

? e x?0?

? e0 ? 1

2 2 (14)解:当 x ? 0 时, tan x ~ x, ln(1 ? x) ~ x,sin x ~ x

lim
x ?0

tan x ln(1 ? x) x? x ? lim 2 ? 1 2 x ?0 sin x x
n ?1

… …

… … … … …(2 分)

? x ? (15)解: y ? ? n ? ? ? 2x ?1 ?

? x ?? ? ? ? 2x ?1 ?

… … … … … … … … …(2 分)

? x ? ? n? ? ? 2x ?1 ?

n ?1

2x ?1 ? 2x (2 x ? 1) 2

… … … … … … … … …(2 分)

?

nx n ?1 (2 x ? 1) n ?1

… … … … … … … … …(1 分)

《微积分》试卷

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徐州工程学院试卷

(16)解: 方程两边取对数得: 1 ln y ? ?ln( x ? 1) ? ln( x ? 2) ? ln( x ? 3) ? ln( x ? 4) ? … …… … … …(2 分) 2 两边对 x 求导得:
1 1? 1 1 1 1 ? y? ? ? ? ? ? ? y 2 ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 ? y? ? 1 ? 1 1 1 1 ? y? ? ? ? ? 2 ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 ?
1 ( x ? 1)( x ? 2) ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ( x ? 3)( x ? 4) ? x ? 1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 ?



… … … … … …(2 分)

y? ?

… … …(1 分) … … … …(2 分) …(2 分)

(17)解: y? ? f ?(sin 2 x)(sin 2 x)? ? f ?(cos 2 x)(cos 2 x)?

? f ?(sin 2 x)2sin x(sin x)? ? f ?(cos 2 x)2cos x(cos x)? … ? f ?(sin 2 x)2sin x cos x ? f ?(cos 2 x)2cos x sin x
? sin 2 x ? f ?(sin 2 x) ? f ?(cos 2 x) ? ? ?

… … … … … …(1 分)

(18)

解:

dy ? t ? arc tan t ?? ? dx ? ln ?1 ? t 2 ?

?

?

… … … … … … … … …(2 分)

1 2 ? 1? t 2t 1? t2 1?
1? t 2 ?1 t ? ? 2t 2

… … … … … … … … …(2 分)

… … … … … … … … …(1 分)
2

(19)解: y? ? ( xe x )? ? e x ? 2 x 2e x
2 2 2 2 2

… … … … … … … … …(2 分)
2 2 2

y?? ? (e x ? 2 x 2e x )? ? 2 xe x ? 4 xe x ? 4 x3e x ? 2 xe x (3 ? 2 x 2 )
d2y dx 2 ? ? 2 xe x (3 ? 2 x 2 ) ? ? 10e … … ? ? x ?1
2

…(2 分)

… … … … …(1 分)

x ?1

(20)解:方程两边同时求导得:
y ? xy? ? 2? yy? cos(? y 2 ) ? 0

… … … … … … … …(2 分) … … … … … … … …(2 分)
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y? ?
《微积分》试卷

y 2? y cos(? y 2 ) ? x

徐州工程学院试卷

y?

x ?0 y ??1

?

y 2? y cos(? y 2 ) ? x

x ?0 y ??1

??

1 … … …… … … …(1 分) 2?

(21)解:? y? ?

1 x? 1 x ?a
2

2

(x+

? x 2 ? a 2)

?

x?

2x (1+ ) … … …(3 分) x2 ? a 2 x2 ? a
… … … … … … … … … …(2 分)

?

1 x2 ? a 1 dx

? dy ?

x ?a
2

… … … … … … … … … …(1 分)

四、证明题(共 1 小题,每题 8 分,共计 8 分) (22)证:令 f ( x) ? x n ,则 f ( x) ? x n 在 ?b, a ? 上满足 lagrange 中值定理的条件…(2 分) 所以 ?? ? ? b, a ? ,使得 f (a) ? f (b) ? f ?(? )(a ? b) 即 a n ? bn ? n? n ?1 (a ? b) 又? 0 ? b ? ? ? a
? 0 ? bn?1 ? ? n?1 ? a n?1 ? nbn?1 (a ? b) ? n? n?1 (a ? b) ? na n?1 (a ? b) … … … …(2 分)

?a ? ? ? b?

…… … … … … …(3 分)

即 nbn?1 (a ? b) ? a n ? bn ? na n ?1 (a ? b) … … … … … … … … …(1 分) 五、解答题(共 1 小题,每题 7 分,共计 7 分) (23)解:∵ f ? x ? 在点 x ? 1 处可导

? f ??(1) ? f ??(1)
a?2

… … … … … … … … … …(2 分) … … … … … … … … … …(1 分) … … … …(1 分)

又∵可导必连续? f ? x ? 在点 x ? 1 处连续 …
? lim f ( x) ? lim f ( x) ? ?
x ?1 x ?1

… … … … … … … … … …(2 分)

即a ?b ? 0 所以 a ? 2, b ? ?2 … … … … … … … … … …(1 分)

《微积分》试卷

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徐州工程学院试卷

六、解答题(共 1 小题,每题 10 分,共计 10 分) (24)解:∵ f ' ? x ? ? 12 x( x ? 1) 2
令f '( x) ? 0 令f ''( x) ? 0
f ?? ? x? ? 1 2 ( x 1 ) (? ( x ? R) ? x 3 1)

得 x ? 0 x ?1 得

x ? 1, x ?

1 3
1 (0, ) 3
1 3

… … … … … … …(2 分)
1 ( ,1) 3

x
f ?( x)
f ??( x) f ( x)

(??,0)

?
?
? ?

0 0

1

(1, ??)

?
?
? ?

0 0
38 17

?

12 1

?

0 0

?
?
? ?

? ?

2

… … … … … … …(6 分) ∴ f ( x)的递增区间(0,+?) 递减区间(? ?, , 0) 此时无极大值 极小值为 f (0) ? 1 … … … … … … …(1 分)

1 1 ∴函数的下凹区间是 ( ,1) ,函数的上凹区间是 (??, ), (1, ??) 3 3
? 1 38 ? 拐点为 ?1, 2 ? 和 ? , ? ? 3 17 ?

… … … … … … … … … …(1 分)

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