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与直线相关的最值问题归类解析


2 0 1 3年第 2 期 

数 学 教 育 研 究 

?  5 7  ?  

与 直线 相 关 的最值 问题 归类 解析 
刘少平  许 书 军   ( 湖北省 仙桃第 八中学 4 3 3 0 0 0 )  
与 直 线相 关 的 最值 问 题 融 合 了 代 数 、 三角 函数 、 平  面

几何等知识和数 形结 合 的思想 方法 , 是 考 查 学 生 综  合 能力 的好 素 材 , 在 各 级 各 类 考 试 中时 常 出 现 , 相 当 一  部 分 同学 失分 现象 严 重 , 现 将 此 类 问题 归 类 解 析 , 以期  对同学们有所帮助.   脯

1 3  x ' y   '   +4 一
 

。  

l  

一一了 

解得{   :  
由 两 点 式 可 得 直 线 AB   的   方程为 2 z + 一9 —0 , 设 AB   与 

1 距离之 和型 的最值 
例1   已 知 两 点 A( 2 , 3 ) ,   B ( 4 , 1 ) , 在 直 线 L:  +2 y 一2  

,  /  

\  / ,   DJ  



B 
己  

j  

= 0上 求 一 点 P, 使 l   P A   l + 
J 尸 B   J 最小.   解 : 可 判 断 A、 B在直线 L   的同侧 , 如图 1 , 设 A点关 于 L   的对 称 点 A  的 坐 标 为 ( z   ,  。 )  

L交 于 P 点 , 易 求 得 P 的 坐 标  为( 2 , 5 ) , 在 L上 任 取一 点 P   ,   由平 几 知识 得 l   P   A   I ~l   P   B   I —   I P ' A   l —l P   B   l ≤ 1 A B   I —I   P Al  


务 
图 4  

图 1  

I P Bl , 故点 P ( 2 , 5 ) 为 所 求 点.   点 评 :若 两 定 点 A、 B 在 直 



 

繁  。  

线 L的同侧时( AB 连 线 与 L 不 平 行 ) , 连 结 A、 B 两 点  所在直线 , 交 直 线 L 于 点 P, 如图 4 , 在 L上 任 取 一 点  P   , 则有 l I P   B   f —f   P   A  f   f ≤l   ABf —f   PBf —f   P A   l , 当   P   与 P 两点重合时 , 等号成立 , 最大值为 1 AB1 .  

解 得 {  

I X l 一 一  
l  一~了 

3 距 离乘 积型 的最 值 问题 
例 3 过 点 P( 2 , 1 ) 作 直 线 L分 别 交 z轴 、 Y轴 的  正半轴于 A、 B两 点  ( 1 )若 l P A1 .1 P B1 取最小值 时, 求 直 线 L的 方 程  ( 2 )若 l O A1 .1 O B1 取最小值时 , 求 直线 L的 方 程  分 析 :由 已知 条 件 , 设 出直线 方程 的适 当形式 , 用 

由 两 点 式 求 得 直 线A   B 的 方 程为   古( z 一 4 ) +  

1 , 直 线 A   B 与 L 的 交 点 可 求 得 为 P ( 罢 , 一 蠢 ) , 在 L   基本不等式求最 值 , 并 寻 找 最 值 成 立 的 条 件 是 解 题 的 
关键.  

( 罢 , 一 丢 ) 为 所 求 点 .  
点 评 :若 两 定 点 A、 B 在 直  线 L的异侧 , 由 两 点 之 间 线 段 最  短 及 三 角 形 中 任 意 两 边 之 和 都  大于第三边可知 , 点 P 为 AB 连  线与 L的交点 ; 点 P到 两 定 点 距  离之 和 的最 小 值 为 1   AB   l 的 长 
/ / L  
r 

解 :( 1 )设 直 线 L 的方 程 为 y一 1 一是 ( z一 2 ) (   < 

o ) 令y = 0 得点A ( 2 - T 1 , o ) , 令z = 0 得 点B ( 0 , 1 —  
2 k)  
曰  0  】  

图 2  

l   P A   l ? l   P B   1 = √ ( 古 + 1 ) ( 4 4 - 4 k 2 ) 一   √ 8 + 4   k 。 + 古 ) ≥ 4 , 当 且 仅 当 k = - 1 时 取 等 号 ,  
? ? ?

度, 如图 2 , I   P   A   1 +l   P   B   I ≥  l AB1 一I P Al +l P Bl , 当 且 仅 当 A、 B、 P 三 点 共 线 时 等  号成立.  

所 以直 线 L 的 方程 为  ~ 1 一 一( z 一2 ) , 即- z + 一 
3— 0  

( 2 ) 设 直线L的方程为一 T d . 4 - 4 - 一 1 ( 口 >o , 6 >o )  


2 距离 之差 型的最 值 
例2   已 知 点 A( 4 , 1 ) , B   ( O , 4 ) 和 直 线 L: 3 x — y一 1 —0 ,   试 在 L 上 找 一 点 P, 使I   P A   1 一  I P BI 最大 , 试 求 P 点 的 坐标 .   解 :如 图 3 , 设 B 关 于 L 的 
对称点 B   (  ,  ) , 则有:  

] 

 ̄/ L  




‘PE L  .三 4 -_ 1 — 1'. .a b =2 b -a 4 ≥ 2、 ,  


当且 仅 当 Ⅱ 一2 6即 n 一4 , 6 —2时 取 等 号 . ’ .n 6 ≥8  

由题设 l O Al ?l O Bl —a b , . ‘ . 直线 L的方程为÷ 
0  /  

+  = 1 , 即 X4 -2 y- -4 =0  
图 3  

|  

点 评 :( 1 )中条 件 能体 现一 种 明 确 的 函数 关 系 , 先  建 立 一 个 关 于 k的 函数 , 再求函数的最值.  
( 2 ) 中l O Al 、 I O Bl 恰好是直线在坐标 轴上的截距 ,  

? 

5 8  ?  

数 学 教 育 研 究 

2 0 1 3年 第 2期 

故 用截 距 式 求解 .  



( 6一 £ )   一 4 t = 0,  

4 截 距之 和型 的最值 
例 4 过 点 P( 1 , 4 ) 作 直 线 与 两 坐 标 轴 正 半 轴 相  交, 当直 线 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 最 小 时 , 求 此 直 线 
的方程。   分析 : 写 出直 线 在 两 轴 上 的截 距 之 和 的表 达 式 , 利 

解 方 程 组 {   6 一 t ) v 一 4   一 。 得 点 Q 的 坐 标 为  


. . .  

,  

> 

.  

,  

 ̄ l l t A O Q M 的 面 积 s 一 ÷ t ?   =   一 2 ?  


用 不 等 式 或 函数 性 质 求 最 值 .  
■   u  

2 (  

) + 
v  

+2 0  

僻: 设直线方程为三 +孚 一1 ( n >o , 6 >o )  
?   直 线 过 点 P( 1 , 4 ) ,   .一 1十
_ 了 -—

? .

’£ 一 5> 0,. ? . S= 2( £一 5)+ 
+2 0 =4 0  

+ 2 O≥ 2  



1  

2 ( t -5 )?  

. n + 6 一 ( n + 6 ) ( 丢 +  ) 一 5 +  +  ≥ 5 + 2  

当且 仅 当 2 ( t 一5 ) 一  

时等号 成立 , 此时 £ 一1 0  

√  ?   b = 9  
 ̄  壹 4 a 一  b且  1十  4 —1 ( n >O6 >O ) , 即 n 一3 , 6 —  


6时 , a +b 达到最小值 9   点评 : 本题若不用“ 1 , , 代换 , 也 可 由一 1 十T 4 — 1得 

且 s ≥4 O , 所 以当 t —l O , AO Q M 的 面 积 的 最 小 值 为  4 0 , 此进直线方程为 z + 一1 0 :0   点评: 先 设 出点 M 的 坐 标 是 关 键 , 如 果 设 斜 率 要  考 虑斜 率不 存 在 的情 形 , 再 由交 点 坐 标 的范 围确 定 t 的  范围 , 列出面积后用配方法求最值.  

7 斜 率型 的最 值 问题 

n 一 南 ‘ 6 > 4 )  
. . .n +6 —6 +  一( 6 —4 ) +  +5 ≥9 ( 即 n一 

例7   已知 数 X、 j , 满足 2 x +y =8 , 当2 ≤工 ≤ 3时 ,   求  的最 大 值 -  ̄l d , 值.   解 :如 图 6 , 由 已 知 得 点  P( x, y ) 在 线 段 AB 上 运 动 , 其  中 A、 B 两点坐标 为 A( 2 , 4 ) , B   ( 3 , 2 ) , 由上 的 几 何 意 义 是 直 线 
Z  

3 , 6 —6等 号 成 立 ) 来求解直线方 程 , 当 然 也 可 引 入斜 率  作参数 , 建 立 目标 函数 求 最 值 .  

S 周 长型 的最 值 
例 5   已知 点 M ( 3 , 5 ) , 在 

B 
.  

直 线 L: z 一2   3 ' +2 —0和  轴 上  各 找一 点 P和 Q, 使 △ MP Q 周 
长 最 小 

O P 的斜 率 ,   K0 A =2 , K∞ 一  

要, i g l   y 的最小值为  , 最大  
J 

D 

】  

分 析 :如 图 5 , 作 点 M 关 
于 直 线 L 的 对 称 点 M  , 再 作 点 

图5  

值为 2 .   点 评 :通 过 探 究 式 上 的 几 

图 6  

M 关 于  轴 的对 称 点 M  , 连 结 M1   Mz , 与 L 及  轴 交  于 P、 Q两点 , 由轴 对 称 及 平 面几 何 的 知识 , 可 知 这 样 得  到 △M P Q的周长最小.  

何意义 , 将问题转化为直线斜 率的变化 范 围, 利 用 数 形 
结合法求斜率范 围 , 从 而 求 得 Y 的最 大值 和 最 小 值 .  

解 :由点 M ( 3 , 5 ) 及 直 线 L, 可 求 得 点 M 关 于 L 的  对 称 点 M  ( 5 , 1 ) , 同 样 易 求 得 点 M 关 于  轴 的 对 称 点  Mz ( 一3 , 5 ) , 据 M  、 M2 两点可得直线 Mt   M 的方 程 为  z+ 2 y一 7 :0 , 令 z一 0 , 得 Ml   M2与 Y 轴 交 点 Q  

8 平 行线 间距 离的最 值 问题 
例 8 两 条 互 相 平 行 的 直 线 分 别 过 点 A( 6 , 2 ) 和B   ( 一3 , 一1 ) 并 且各 自绕 着 A、 B旋 转 , 如 果 两 平 行 线 间 的  距 离 为 d, 求( 1 )d的变 化 范 围 ; ( 2 )当 d取 最 大 值 时 两 
直线 的方 程 .  

( 。 , 号 ) , 解 方 程 组 {   x + - 2   y 一 +   2   -   得 交 点 P ( _ 耋 - , 号 )  
故点 P( 昔, ÷) 、 Q ( 0 , ÷) 即为所求.  
点评 : 平 面内, 两点连 线 中以线段 最短 , 这 一 基 本 

分析 :由两 平 行 线 间 距 离 公 式 写 出 d与  之 间 的  函数 关 系 式 , 不 难 求 出 d的 范 围.   解: ( 1 )① 当两 条 直线 的 斜率 不存 在 时 , 即两 直线  分别 为 z =6和 z 一一3 , 则 它们 之 间 的距 离 为 9 .   ② 当两条 直 线 的 斜 率存 在 时 , 设 这 两 条 直 线 方  程为 :  
l l :j , 一2 = k( z一 6 ), Z 2 :  + 1 一k ( x+ 3 )  

定理是解决此类 问题 的理 论基 础 , 应 用 此 定 理 的 重 点  是 将 封 闭 问题 转 化 为 开 放 的线 段 问题 .  

6 面 积 型 最 值 问 题 
例 6 已知 定 点 P( 6 , 4 ) 与定 直线 l   : y一4 x, 过P   点的直线 L与 z  交 于 第 一 象 限 的 Q 点 , 与 z轴 的 正半 

即 l :   z—y一6  + 2 =0, l 2 : 志 z—y+3 k一 1 —0  
二  一 


轴交于点 M , 求使AO Q M 面 积最 小 的 直线 L 的 方 程 .   解: 设 点 M 的 坐标 是 ( £ , O ) , 则 直 线 L的 方 程 为 4 z  

即( 8 1 一d z )  z 一 

 ̄ /   +1  

 ̄ /  0 +1  

2 0 1 3 年第 2 期 
5 4 k +9 一d 0 =0 ,  ∈ R 且 d≠ 9 , d> 0  


数 学 教 育 研 究 

?  5 9  ?  

P在 直 线 L 上 , L 与 水 平 地 面 的 





A一 5 4 。 一4 ( 8 1 ~d   ) ( 9 一d 。 ) ≥ 0, 即 0 < d≤ 3  

41 o , 且d ≠9  

夹角为 a , t a n a 一÷ , 试 问, 此 人 
距 水 平地 面 多 高 时 , 观 看 塔 的 视  角/B P C最 大 ( 不计 此人 身 高 ) ?   分 析 :建 立 平 面 直 角 坐 标  系, 利用 直 线倾 斜角 列关 系 式 ,   再用基本不等式求解.  
C 

综合①②可知 d的变化范围为( o , 3 V ̄ - G 3  
( 2 )由 ( 1 ) 知 d最 大 值 为 3   4 7 6 , 此 时 k一 
一 一  

2( 8 1一 d )  

故 两 直线 方 程 分 别 为 3 z+Y 一2 0 — 0和 3 z+ + 
1 0— 0  

点评 : ( 1 )本 题 直 接 设 出两 平 行 直 线 的 方 程 , 利 用  距 离 公 式 列 出 d与 k之 间 的 关 系式 , 但 在 求 d 的 范 围  时把 该 关 系式 看 做 关 于 k的 方 程 , 根据 k ∈ R, 方 程 都 有  解, 利用 △ ≥0 , 求 出 d 的范 围 , 从运算 量到解 题方 法 ,   难 度 都 比较 大 . ( 2 )本 题 若 从 几 何 背 景 考 虑 , 易 知 分 别  过 A, B 的 一 切 平 行 线 的距 离 不 超 过 A , B 两 点 问 的 距  离l A B1 , 当且 仅 当两 平 行 直 线 与 直 线 AB垂 直 时 , 两 平 

解 :如 图 8所 示 , 建 立 直 角  坐 标 系, 则 A( 2 0 0 , 0 ) , B( 0 ,  
2 2 0 ) , C( o, 3 0 0 )  

图 7  
, 

直 线 L 的方 程 为 :  一 t a n a ( x  


C 
曰 
D  a  

2 0 0 ) , 即  =  

, 设 点 P 的 

坐标 为 ( z,  ) , 则 P 点 坐 标 为 

D 

】  

(   ,  



) ( z  ̄ 2 0 0 )  
图8  



行 线 间距 离 等 于 l A Bl , 故d … 一 J( 6 +3 )   +( 2 +1 )  


由经 过 两 点 的 直 线 的 斜 率 公 
-  

3   而, 此时 , k ×  

= 一1即  一 -3 , 可见 , 借 助 几 

  一

2 0 0
— —



30 0  

何 背 景发 挥 形 象思 维 优 势 , 常可得到简捷解法.  

k p c =
,  

—  —— 一

 

z一 8 0 0  

9 距离 的平方 和最值 问题 
例 9 已知 三点 P( 1 , 2 ) , Q( 2 , 1 ) , R( 3 , 2 ) , 过 原 点 
, 

- 2 2 o  
PB 一 —   — — 一
:  

作一条直线 , 使 得 P、 Q、 R 到 此 直 线 的 距 离 的 平 方 和 最  小, 求此直线方程.   解 :当直 线 的斜 率 k存 在 时 , 设 此直线 的方程为 Y  
= kx。  

x- -  6 40




过 P作 P D   J _   轴 于 

D, 则 t a n   BP C =t a n (   DP C 一/D PB )  

!  
I z   0 一 

旦   二!  

墨   : 
.1 6O× 6 4O
Z 1-一

kP B— k p c  

1 +t a n   DPC ?t a n   DPB 

1 + P B?  尸 c  


则  一   等+  
1 4 k 。 一2 O 是 +9  
一 一

+  

64 x  2 2 8 x   1 6 0   6 4 0   +  × 

匦   6 4

( z >2 0 0 )  
… …  

一   OO 

— 

F广~ 

要使 t a n   BP C达到 最 小 , 只 需 z+ — 1 6 0 X — 6 4 0 — 

即( d一 1 4 ) k  + 2 0 k + d一 9— 0  

由1 f △ = 4 0 0 — 4 ( d 一 1 4 ) ( d 一 9 ) ≥ 0  


d一 1 4 ≠ o  

2 8 8达 到 最 大 , 由 均 值 不 等 式 有  + 

一2 8 8 ≥ 

. . .  二 要   ≤d ≤垫 ± 要   且d ≠1 4 , 故当女  
:  

2、 / , 丽 而

一2 8 8 , 当且 仅 当  :  

时 上式 取 

{  时 , d m i . - 2 下 3 - 5  
当 k不 存 在 时 , L 为 Y轴 , 此 时 三 点 到 L 的距 离 的  


等号 , 故当 z 一3 2 0时 , t a n  B P C最大 , 这 时 点 P 的 坐  标 为  一 — 3 2 — 0 -  2 0 0— 6 O


由实 际 问题 知 O %  ̄B P C% 

平方 和为 1 4 , 且1 4 >垄二 


所 以所 求 直 线 为  一  

号, 所 以 t a n   B P c 最 大 时 ,  B P c 最 大 , 故 当 此 人 距  
水平地面 6 o 米 高 时 观看 铁 塔 视 角   BP C最 大 .   点评 : 角 的最 大转 化 为求 正 切 的 三 角 函数 值 最 大 ,  
后 用基 本 不 等 式 求 解 .  

1 + ̄ / 1 7  
—  



点评 :已 知 直 线 过 原 点 可设 直 线 的 点 斜 式 方 程 , 设  直线 的点 斜 式 方 程 一 定 要 注 意 讨 论 直 线 的 斜 率 是 否 存  在, 根据直线方程 , 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 建 立 函数 

1 l 两 点 间距离最 值 
例 1 l   在 平 面 直 角 坐 标 系 
中, 已知 矩 形 A B C D 的长 为 2 ,  
D  —————1c 

模型, 然后通过函数的最值问题来 求解 , 注 意 函 数 求 最 
值的方法.  

1 O 视 角 最 值 问题  
例 1 O 某 人 在 一 山坡 P处 观看 对 面 山顶 上 的 一座 

铁塔 , 如 图 7所 示 , 塔 高 BC:8 0   m, 塔 所在 山高 O B一 
2 2 0   I T I , O A=2 0 0   m, 图 中 所 示 的 山 坡 可 视 为 直 线 L, 点 

宽为 1 , AB、 AD 边 分 别 在 z 轴 、     )   B  Y轴 的 正 半 轴 上 , A 点 与 坐 标 原  D 点重 合 , 如 图 9所 示 将 矩 形 折  叠, 使 A 点 落 在 线 段 DC 上 .   图9   ( 1 )若 折 痕 所 在 直 线 的斜 率  为  , 试 求 折 痕 所 在 直 线 的方 程 ; ( 2 )求 折 痕 长 的 最 

? 

6 O ?  

数 学 教 育 研 究 

2 0 1 3年 第 2期 

大值 .   分析 : 本题考查直线方 程 、 点 的轴对称 、 两 点 间距  离, 如何求极值 , 要 注 意 折痕 是矩 形 内 的 折 痕 .  

② 当一1 ≤  < 一2 +√ 3 时,   如图 l l , y= l   eN   I   z 一 \ k +


1 )  

D 

、 

G 

C 

解: ( 1 )① 当 k = 0时 , 此 时 A点 与 D 点重 合 , 折 

+ ( 一   ) 。 一  
,  


Ⅳ 

痕所在直线方程为  一÷ 
② 当志 ≠ O时 , 将 矩 形 折 叠 后 A 点 落 在 DC 上 的 点  记 为 G( a , 1 ) , 所以 A 与 G 关于折 痕所在 直线对 称 , 有 

D  )  
(   +1 )   ?( 2 k 0 一1 )  
— — —   — 一 ’  

P、 B  】  

图 1 1  

令  , :o , 解得 k = -  , 此 时  的 极 大 值 为  ③ 当一 2 ≤  < 一 1时 , 如 图  1 2 ,   直  线  交 DC   于 
、 D 
、 

K m? 志 =一1  ÷ ? 最 一一1  口 一一是 , 故 G点坐标为G  
( -k , 1 ) , 从 而折 痕所 在直 线 与 O G 的交点 坐标 ( 线 段 

O G 的 中 点 ) 为M ( 一   k ,   1 ) , 折 痕 所 在 直 线 方 程 为  

—  

G 

一 志 ( z + 寺 ) 即   一 是 z +   k z 十   1 , 由 ① ② 得 折 痕  N   ( 去 一 寺 ,   )  
( 2 )当 k 一 0时 , 折痕的长为 2   当志 ≠0时 , 折 痕 所 在 直 线 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 为 

r  
D  )   P、 B  

所在直线方程为  —k x +   +÷ 

N ( o ,   ) , P ( -   , o ) ,  
。  O ≤n ≤2 ,  .一2 ≤  <O , 当 A 与 C重 合时 ,  一  


2 解 

≤ 1得 一 1 ≤女 <o  


解 :一  k 2 +  l ≤ 2得
≤一2 + 

2 ≤女  

, 

D G 
~ 、
~  

C 
~ 、 
~  

① 当 一2 +  ≤ k < O时 ,   如 图 1 0 ,直 线 交 B C 于 

^7  

P   2 , 2 k - } -   )  


D  )  

B  】  

i  P  N I 。一 2 。+  

[  

z   十 , k T 2 + 1 ) ]   一  

图 1 O  

+4 k   ≤4 +4 ( 7 —4 √   ) 一3 2 —1 6  

I 上 璜 弟 5 6贝 J  

证 

明:

0 

为M, MF _ l _ MP 即 MP 为 切 线 .   引申: 当 点 P(  。 , Y 。 ) 满足 Y 5 >2 p x 。 以P F 为 直 径 

( I   生 2 , ’   2 ] J   ’ 0 1 到  
X o + -  ̄



;  
 一 。  

‘  

的圆 o  与 Y轴 相 交 于 M 、 N 显 然 有 MF上 MP, NF_ l _   PN 所 以 , P M 、 P N 即为过 . P( z o , y 。 ) 的切 线 .   因此 平 面上 任 意一 点 不 论 在 曲 线 上 还 是 曲 线 外 都 

可 以用 尺规 作 切 线 ; 在本堂课 中有效地 激发 了求知欲 ,   培养 了探 究 能 力 ; 享 受 了数 学 的 统 一 美 .  

I P F I — z 。 + 号  
r.  

所以 0 1 M :— [ P FI   —

图 1 5  

[ 责 任编校



蓓]  

所 以以 l P FI 为 直 径作 圆 0 1 与 Y轴 相 切 于 一点 设 


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