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方程的根与函数的零点(上课版)


下列方程的根及其相应的函数图像,你有

什么发现?
(1) x - 2x - 3 = 0 与函数 y = x - 2x - 3
2 y = x - 2x +1 (2) x - 2x + 1 = 0 与函数
2
2

2

2 y = x - 2x + 3 (3) x - 2x +

3 = 0 与函数
2

方程的根与函数的零点

创设情境,初步探索,设问激疑

问题1:求下列方程的根
(1)

x ? 2x ? 3 ? 0
2

(2) (3)

x ? 2x ?1 ? 0
2
2

x ? 2x ? 3 ? 0

方程的根与函数的零点

创设情境,初步探索,设问激疑

问题2:作出下列函数的图象
(1) (2) (3)

f ( x) ? x ? 2x ? 3
2

f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

f ( x) ? x ? 2x ? 3
2

y=0

方程 函数 函数图象

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 y . .
2 1
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1
.y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3 y . 5 . .4 . 3 . 2
1
-1

.
1

.

0

(简图)

-1 -2

1

2

.

3

x
-1

1

.

0

.

.
2

-3 -4

.

x

0

1

2

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

方程的根与函数的零点

从特殊到一般

对于二次函数y=ax2+bx+c(a> 0)与一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0) ,其判别式?=b2-4ac. 判别式△ △>0 △=0 有两个相等的 实数根x1 = x2 △<0 没有实数根

方程ax2+bx+c=0 两个不相等 思考:当a<0时呢? (a>0)的根 的实数根x1 、x2

y=0 函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的简图 函数图象与 x 轴的交点

y
x1 0 x2

y x
0 x1

y

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

方程的根与函数的零点

总结归纳,知识拓展

结论:
一元二次方程的根是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标! 这种关系可以推广一般情形吗? 对于任意方程f(x)=0与对应函数y=f(x),上述 结论是否成立呢?

方程的根与函数的零点

总结归纳,知识拓展

方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同

x0是方程f ?x? ? 0的实数根

f ( x0 ) ? 0
函数y ? f ?x ? 的图象与x轴 有交点(x0 ,0)

方程的根与函数的零点

形成概念,梳理提升

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点.
零点是点 还是数?

结论

代数法(解 方程)

方程 f (x)=0 有实数根x=x0

函数y=f (x)的图像 与x轴有交点(x0,0)
图像法

函数y=f (x)有零点x0

1、如何判断一个函数的零点? 2、任意函数都有零点吗?

观察1
观察二次函数 f(x) = x - 2x - 3 的图像 有 有/无)零点; 1. 在区间 [?2,1] 上______( f(-2)· f(1)_____0 < (<或>). 2. 在区间[2,4]上_____ 有 (有/无) 零点; < f(2)? f(4)_____0(< 或 >)
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

2

问2:你有什么发现?

观察2 下面函数
y = f(x) 的图象

有 有/无)零点; 1 在区间 [a, b] 上______( ) < (<或>). f (a )· f (b_____0 有 有/无)零点; 2 在区间 [b, c] 上______( < (<或>). f (b)· f (c)_____0

有 有/无)零点; 3在区间 [ a, d ]上______(
f (a )· f ( d ) _____0 < (<或>).

一般地,我们有: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是的图像是连 续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,

那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方 程f(x)=0的根.

定理理解:判断正误
(1) f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 错 (2) 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,则f(a)· f(b)<0。 错

错 (3) f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。 y y y
2

a

a
-5

0

0 b

x a
-2

0

x1

b x

0

b

x

函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。 -4 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点。 -6

函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 在下列哪个区间 上有零点( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 变式: 函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 有多少个零点?

方法一:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数?
解:此函数定义域为(0,+∞)
x
f(x)

…1 2

3

4

5
5.6094

6
7.7918

7
9.9459
8

8

9

… -4 -1.3069 1.0986 3.3863

12.0794 14.1972

6

你能证明 它的单调 性吗?
-5

4

2

2 3
-2

5

10

-4

方法二:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数?

函 数y ? f ( x )的 零 点 个 数 等 于 方 程 l n x ? 2 x ? 6 ? 0的 根 个 数
则ln x ? ?2 x ? 6
y 2 1
0

该方程 的解个数等 于数 函 y ? l n x与y ? ?2 x ? 6 的交点个数,如图

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

小结
函数的零点定义

代数法
图像法
函数零点方程根, 形数本是同根生。 函数零点端点判, 图象连续不能忘。

等价关系
零点的求法 函数零点存在性原理 数学思想方法
数 形 结 合 思 想

转 化 思 想

方 程 函 数 思 想

求函数零点或零点个数的方法:
(1)定义法:解方程 f(x)=0, 得出函数的零点。

(2)图象法:画出y= f(x)的图象,其图象
与x轴交点的横坐标(转化成两个函数 图像的交点。。

(3)定理法:函数零点存在性定理。


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