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一条函数对称性的证明题


求证:定义在 R 上的奇函数()能表示为一个周期函数与一个一次函数之和的 充要条件是()的图像有对称中心(, ),且 ≠ 0 证明: 设 = + + ,则可由()是奇函数可知: ? = ? ? + = ? ? ? ,可得 ? + = ?2(1) 即 = + 是奇函数。 1)必要性 由 = ()是周期函数知, = + 也是周期函数,设周期为 T。 + 2 = ( ? 2 ),将(1)式代入得 + 2 = ?2 ? (? ? 2 ) (2) (2)式表明 = + 关于(2 , 0)对称。 而函数y = = ?
2 2

+

2

= 1 + 2 ,其中1 = ?

2

, 2 =

2

。很显然(证 )对称。

略)函数1 关于( , 0)对称,则可知 = + + 1 + 2 关于( ,
2

2

2)充分性 构造 = + + (/) 由 ()是奇函数可知式(1) ,即 = + 是奇函数。 由 () 由 对 称 中 心 (, ) 可 知 , ? + ? = ? + ? ,即 ? + + + = 2 (3)


(3)式左边 = ? + + +

? + + + + +



+ =

? + + + + 2 + 2 = 右边 = 2故 ? + + + = ?2(4),即 + 关于(, 0)对称的。 由(1)知( + ) = ?2 ? (? ? ),代入(4)知(? + ) ? 2 ? (? ? ) = ?2 ,即(? + ) = (? ? )。因此, ()是周期函数,周期 = 2 。


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