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数学:13.1《复数的概念》课件(沪教版高二下)


第四章 数系的扩充___复数

4.1 复数的概念

王新敞
奎屯

新疆

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教学目的: 1.了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

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3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、 虚部) 4.理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点:复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复 数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中 的地位和作用 教学难点:虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念 是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的. 在规定i的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 授课类型:新授课

一. 复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随
着生产和科学的发展,数的概念也不断的被扩大和

充实,从自然数集、整数集、有理数集到实数集的
每一次扩充,推动了生产的进一步发展,也使数的 理论逐步深化和发展,复数最初是由于解方程的需 要产生的,后来由于在科学技术中得到应用而进一 步发展。

我们知道,对于实系数一元二次方程
ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根。那 么我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题可以得到圆满的解决呢? 回答是肯定的。实际上最根本的问题就是 要解决?1的开平方问题,即怎样的一个数,它 的平方会等于-1。

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数
单位,并且规定:

(1)i2??1;
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四

则运算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换
率、结合率和分配率)仍然成立。

这样就解决了前面所提出的问题,即?1可以
开平方,且-1的平方根为?i.
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.

二.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集.
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b 分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实 数单位和虚数单位, 当b=0时,a+bi就是实数, 当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为 纯虚数。

这样实数集就是复数集的一个子集。
它们的关系如下:
? ? ?整数 有理数 ? ? ? ?分数 ?实数(b ? 0) ? 复数a ? bi ? ?无理数(无限不循环小数) ? ? ( a, b ? R ) ? ? 纯虚数( a ? 0) ? 虚数(b ? 0) ? ? ?非纯虚数( a ? 0) ?

三.复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi
?a ? c 和 c+di 相等规定为a+bi =c+di ? ? . ?b ? d

?a ? 0 ? 由这个定义得到 a+bi=0 ? ?b ? 0

.

两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。

例1.实数 m 取什么数值时,复数z=m +1+(m-1)i是:
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数? 解:复数z=m+1+(m-1)i 中,因为m∈R,所以 m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部, ∴ (1)m=1时,z是实数; (2)m≠1时,z是虚数;
?m ? 1 ? 0 (3)当 ? ?m ? 1 ? 0

时,即m=-1时,z是纯虚数;

例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
解:根据复数相等的意义,两个复数相等则实部等于实部 ,
虚部等于虚部,得方程组,

? 2x ?1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y )

5 解得 x= , y=4. 2

实数可以用数轴上的点来表示。

一一对应

实数 (数 ) 直线

数轴上的点 (形 ) 数轴

原点, 规定了正方向, 单位长度

o

1

x

(几何模型)

你能否找到用来表示复数的几何模型吗?

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a
概念辨析 一一对应

y

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

b

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

例题

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a
概念辨析
一一对应

y

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

b

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

例题

实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: 实数 a 在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a y
O A X

? a (a ? 0) | a | = | OA |? ? ?? a(a ? 0)

z =a +b i Z (a,b)

O

x

| z | = |OZ| ? a2 ? b2

能否把绝对值概念推广到复数范围呢?

例3 求下列复数的模:

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)复数的模能否比较大小? (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
图示

课题:复数的有关概念
课堂小结: 一. 数学知识: (1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模 二. 数学思想: (1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想

辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; (C) 在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是 实数; (D) 在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。

? ?3? m ? 2 ?m ? m ? 6 ? 0 得? 解:由? 2 m ? ? 2 或 m ? 1 m ? m ? 2 ? 0 ? ?
2

? m ? (?3,?2) ? (1,2)

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)
一种重要的数学思想:数形结合思想

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。 变式:证明对一切m,此复数所对应的点不可能位 于第四象限。

证明:若复数所对应的点位于第四象限, ?m 2 ? m ? 6 ? 0 m ? ?3或m ? 2 ? 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?1 ? m ? 1
不等式解集为空集

所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

y

满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x ? y ? 5
2 2

5

5 O x

–5

练习:P150 练习 作业:P150 3 4


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