当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(一)课时作业 新人教A版必修5


§2.5

等比数列的前 n 项和(一)

课时目标 1.掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法. 2.会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题. 1.等比数列前 n 项和公式:

a1?1-q ? a1-anq ? ? = ?q≠1? 1-q (1)公式:Sn=? 1-q ? ?na1 ?q=1?

n

.

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1-q )=A(q -1).其中 1-q

a1

n

n

a1 A= . q-1
3.推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等 比数列对应项积的前 n 项和.

一、选择题 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于( A.11 B.5 C.-8 D.-11 答案 D 4 解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q =0, 5 S5 a1?1+2 ? ∴q=-2,则 = =-11. S2 a1?1-22? 2.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A.-3 C.-31 答案 D B.5 D.33

S5 S2

)

S10 等于( S5

)

a1?1-q6? 1-q S6 解析 由题意知公比 q≠1, = S3 a1?1-q3? 1-q 3 =1+q =9, a1?1-q10? 1-q S10 5 ∴q=2, = =1+q S5 a1?1-q5? 1-q
=1+2 =33. 3.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于( A.2 B.4
5

S4 a2

)

1

C.

15 2 答案

17 D. 2 C 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4= +a2+a2q+a2q ,

解析 方法一

a2 q

2

(

S4 1 15 2 得 = +1+q+q = . a2 q 2 a1?1-q4? 方法二 S4= ,a2=a1q, 1-q 4 S4 1-q 15 ∴ = = . a2 ?1-q?q 2 4.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 ) 15 31 A. B. 2 4 33 17 C. D. 4 2 答案 B 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, 2 ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a3=1,即 a3=1. 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7, q q
即 6q -q-1=0. 1 1 故 q= 或 q=- (舍去), 2 3 1 ∴a1= 2=4.
2

q

1 4?1- 5? 2 1 31 ∴S5= =8(1- 5)= . 1 2 4 1- 2 n 5.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3 +k,则实数 k 的值 为( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 C 解析 当 n=1 时,a1=S1=3+k, n n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3 +k)-(3 +k) n n-1 n-1 =3 -3 =2·3 . 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=3+k=2, ∴k=-1. 6.在等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和 为( ) A.514 B.513 C.512 D.510 答案 D 解析 由 a1+a4=18 和 a2+a3=12,
? ?a1+a1q =18 得方程组? 2 ?a1q+a1q =12 ?
3

? ?a1=2 ,解得? ?q=2 ?

a1=16 ? ? 或? 1 q= ? ? 2

.

2

2?2 -1? 9 ∵q 为整数,∴q=2,a1=2,S8= =2 -2=510. 2-1 二、填空题 n-1 7.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3 +t,则 t=________. 1 答案 - 3 n 解析 显然 q≠1,此时应有 Sn=A(q -1), 1 1 n 又 Sn= ·3 +t,∴t=- . 3 3 8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 答案 3 a1?1-q6? 4·a1?1-q3? 3 3 解析 S6=4S3? = ? q =3(q =1 不合题意,舍去). 1-q 1-q 3 ∴a4=a1·q =1×3=3. 9. 若等比数列{an}中, a1=1, an=-512, 前 n 项和为 Sn=-341, 则 n 的值是________. 答案 10 a1-anq 1+512q 解析 Sn= ,∴-341= , 1-q 1-q n-1 n-1 ∴q=-2,又∵an=a1q ,∴-512=(-2) , ∴n=10. 10.如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则此数列的通项公式 an=________. n-1 答案 2 解析 当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1) ∴an=2an-1,∴{an}是等比数列, n-1 * ∴an=2 ,n∈N . 三、解答题 11.在等比数列{an}中,a1+an=66,a3an-2=128,Sn=126,求 n 和 q. ? ?a1an=128, 解 ∵a3an-2=a1an,∴a1an=128,解方程组? ?a1+an=66, ? 得? 或?
? ?a1=64, ?an=2, ? ?a1=2, ? ? ?an=64.

8

① ②

a1-anq 1 ,可得 q= , 1- q 2 n-1 由 an=a1q 可解得 n=6. a1-anq 将②代入 Sn= ,可得 q=2, 1- q
将①代入 Sn= 1 可解得 n=6.故 n=6,q= 或 2. 2 2 3 n 12.求和:Sn=x+2x +3x +?+nx (x≠0). 解 分 x=1 和 x≠1 两种情况. n?n+1? (1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= . 2 2 3 n (2)当 x≠1 时,Sn=x+2x +3x +?+nx , 2 3 4 n n+1 xSn=x +2x +3x +?+(n-1)x +nx , 由 an=a1q
n-1

3

∴(1-x)Sn=x+x +x +?+x -nx

2

3

n

n+1



x?1-xn? n+1 -nx . 1-x

x?1-xn? nxn+1 . 2 - ?1-x? 1-x 综上可得 Sn=
∴Sn=

n?n+1? ? ? 2 ?x?1-x ? nx ? ? ?1-x? -1-x
n
2

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

n+1

能力提升 13.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,Sn=54,S2n=60,求 S3n. 解 方法一 由题意 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 182 2 ∴6 =54(S3n-60),∴S3n= . 3 a1?1-qn? 方法二 由题意得 a≠1,∴Sn= =54 ① 1-q a1?1-q2n? S2n= =60 ② 1-q 10 n 由②÷①得 1+q = , 9 1 a1 9×54 n ∴q = ,∴ = , 9 1-q 8 a1?1-q3n? 9×54 1 182 ∴S3n= = (1- 3)= . 1-q 8 9 3 n+2 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an·log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n+2 解 (1)由题意,Sn=2 -4, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1, 3 当 n=1 时,a1=S1=2 -4=4,也适合上式, n+1 * ∴数列{an}的通项公式为 an=2 ,n∈N . n+1 (2)∵bn=anlog2an=(n+1)·2 , 2 3 4 n n+1 ∴Tn=2·2 +3·2 +4·2 +?+n·2 +(n+1)·2 , 3 4 5 n+1 n+2 2Tn=2·2 +3·2 +4·2 +?+n·2 +(n+1)·2 . ②-①得, Tn=-23-23-24-25-?-2n+1+(n+1)·2n+2 3 n-1 2 ?1-2 ? 3 n+2 =-2 - +(n+1)·2 1-2 3 3 n-1 n+2 =-2 -2 (2 -1)+(n+1)·2 n+2 3 n-1 =(n+1)·2 -2 ·2 n+2 n+2 n+2 =(n+1)·2 -2 =n·2 .

① ②

1.在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中 首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论,即 q≠1 和 q=1 时是不同 的公式形式,不可忽略 q=1 的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an·bn}的前 n 项和时,可采用错位相减的方法求和.
4


相关文章:
...2017春高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第2课...
(新课标)2017春高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和课时作业新人教A版必修5资料_数学_高中教育_教育专区。2017 春高中数学 第 2 章 数列 ...
...2.5 等比数列的前n项和课时作业14 新人教A版必修5
2015-2016学年高中数学 2.5 等比数列的前n项和课时作业14 新人教A版必修5_...答案:B 3.如果一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的 2 倍,...
...2.5 等比数列的前n项和课时作业13 新人教A版必修5
2015-2016学年高中数学 2.5 等比数列的前n项和课时作业13 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十三) 等比数列的前 n 项和 ) A 组 基础巩固 ...
...2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和高...
2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和高 效测评 新人教 A 版必修 5 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在等比数列{an}...
...2015学年高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(二)...
【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。§2.5 等比数列的前 n 项和() 课时目...
...2.5 等比数列的前n项和学案(一) 新人教A版必修5
(课堂设计)2014-2015高中数学 2.5 等比数列的前n项和学案(一) 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列的前 n 项和(一) 自主学习 知识梳理 1...
...年高中数学 第二章 2.5(一)等比数列的前n项和(一)基...
2013-2014学年高中数学 第二章 2.5(一)等比数列的前n项和(一)基础过关训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。§2.5 一、基础过关 等比数列的前 n 项...
2015高中数学2.5等比数列的前N项和教学设计新人教A版必...
2015高中数学2.5等比数列的前N项和教学设计新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。数列求通项教学设计一、目标分析 1.知识目标 使学生掌握等差、等比数列求通项...
2015-2016学年高中数学 2.5.1 等比数列的前n项和课时训...
2015-2016学年高中数学 2.5.1 等比数列的前n项和课时训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。课时训练 13 一、等比数列前 n 项和公式的应用 等比数列...
...必修五)课时作业第二章 §2.5 等比数列的前n项和(二...
【 学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)课时作业第二章 §2.5 等比数列的前n项和(二)_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教A版,必修五)课时作业 ...
更多相关标签: