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空间向量与立体几何.板块七.用空间向量解立方体问题.学生版


板块七.用空间向量解立方体 问题

典例分析
【例1】 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A.
2 3 B. 3 3 C.
2 3


D. 6 3

【例2】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 如图 E 、F 分别是 BB1 ,CD 的中点, ⑴求证:D1 F ⊥ 平面 ADE ;⑵求异面直线 EF , 1C 的所成角. B

【例3】 如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,点 E 是正方形 BCC1 B1 的中心,点
F 、 G 分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点 E 、 G 在平面 DCC1 D1

内的正投影. ⑴证明:直线 FG1 ⊥ 平面 FEE1 ; ⑵求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值.
D1 F C1

A1

B1 E

G

D

C

A

B

【例4】 如图, 棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 、F 分别为棱 AB 、BC 上的动点, . 且 AE = BF = x ( 0 ≤ x ≤ a ) ⑴求证: A1 F ⊥ C1 E ; ⑵当 ?BEF 的面积取得最大值时,求二面角 B1 ? EF ? B 的大小.

1

D1 A1 B1

C1

D F A E B

C

【例5】 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , 分别是 D1 D , 的中点, G 在棱 F BD
1 CD 上,且 CG = CD , H 为 C1G 的中点, 4

⑴求证: EF ⊥ B1C ; ⑵求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值; ⑶求 FH 的长.
D1 A1 E D F A B1 H C1

G B

C

【例6】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , 分别为 A1 B1 , 1 D1 的中点, F A
G , 分别为 BC , 1 D1 的中点, H B

⑴求证: AC ⊥ BD1 , AC ⊥ DH ; ⑵求证: GH ∥ 平面 EFDB ; ⑶求异面直线 GH 与 DF 所成角的余弦值; ⑷求直线 GH 与平面 ABCD 所成角的余弦值; ⑸求二面角 E ? BD ? A 的余弦值.
D1 F A1 E H B1 C1

D G A B

C

2

【例7】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中点. ⑴证明: AD ⊥ D1 F ; ⑵求 AE 与 D1 F 所成的角; ⑶证明:面 AED ⊥ 面 A1 D1 F .
D1 A1 B1 E D A F B C C1

【例8】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图 E 、 F 分别是 BB1 , CD 的中点,
B ⑴求证: D1 F ⊥ 平面 ADE ;⑵求异面直线 EF , 1C 的所成角.

【例9】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A′B ′C ′D ′ 中, AP = BQ = b ( 0 < b < 1) ,截面
PQEF ∥ A′D ,截面 PQGH ∥ AD ′ .

⑴证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ⑵证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; ⑶若 D′E 与平面 PQEF 所成的角为 45° ,求 D′E 与平面 PQGH 所成角的正弦值.
D' H A' P D F A 图1 B B' Q C E G C'

【例10】 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , E 、 F 分 别 是 棱 BC , CC1 上 的 点 ,
CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 = 1: 2 : 4

⑴ 求异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值; ⑵ 证明 AF ⊥ 平面
A1 ED

⑶ 求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值.

3

A1 B1 C1

D1

F A B E C D

【例11】 如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长 AB = 2 ,侧棱 BB1 的长为 4 , 过点 B 作 B1C 的的垂线交侧棱 CC1 于点 E ,交 B1C 于点 F . ⑴求证: A1C ⊥ 平面 BED ;⑵求 A1 B 与平面 BDE 所成的角的正弦值.
D1 A1 B1 C1

E F D A B C

【例12】 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,O 是 AC 与 BD 的交点, E 是 B1 B 上一点,且
B1 E = 1 . 2

⑴求证: B1 D ⊥ 平面 D1 AC ; ⑵求异面直线 D1O 与 A1 D 所成角 的余弦值; ⑶求直线 D1O 与平面 AEC 所成角的正弦值.
D1 C1

A1

B1 E

D O A B

C

4


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