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广东省佛山市2008年普通高中高三教学质量检测(一)数学试题(理科)


试卷类型:A

年普通高中高三教学质量检测( 广东省佛山市 2008 年普通高中高三教学质量检测(一)

数 学 试 题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 表格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 ( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. ) 2 . 1. i (1 + i ) = ( ) . A. 1 + i A. {x | 0 < x < 1} B. ?1 + i
2

C. ?2 C. {x | x < 1}

D. 2 ) . D. ? ).

2.已知 I 为实数集, M = {x | x ? 2 x < 0}, N = {x | y = x ? 1} ,则 M I (?I N ) = ( . B. {x | 0 < x < 2} 3. “ a = 2 ” 是“函数 f ( x) = x ? a 在区间 [2, +∞ ) 上为增函数”的( .

A.充分条件不必要 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 . 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ). A. 7.68 B. 16.32 C. 17.32 D. 8.68

A _

B A _ _

B _

第 4 题图

5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, . 且侧棱 AA1 ⊥ 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形, 该三棱柱的左视图面积为( A. 4 B. 2 3 ). C. 2 2 D.

A1 __

B1 __

A1 __

正视图

B1 __

3
第 4 题图 俯视图

uuuu uuur r 使 OM ON 取得最大值的点 N 的个数是( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 7.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密), . 接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文

? x ? 4 y + 3 ≤ 0, ? 6.设 O 为坐标原点,点 M 坐标为 (2,1) ,若点 N ( x, y ) 满足不等式组: ? 2 x + y ? 12 ≤ 0, 则 . ? x ≥ 1, ?
开始 输入 a,b,c,d

1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16 . 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,
则解密得到的明文为( ). A. 4, 6,1, 7 C. 6, 4,1, 7 8. 定义运算 ? : a ? b = ? . B. 7, 6,1, 4 D. 1, 6, 4, 7

m ← a + 2b n ← 2b + c p ← 2c + 3d q ← 4d
输出 m,n,p,q 结束 第 7 题图

?a, a ≤ b .设 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,若 ? b, a > b
).

f ( x) = sin x, g ( x) = cos x , x ∈ R ,则 F ( x) 的值域为(
A. [ ?1,1]

? 2 ? B. ? ? ,1? ? 2 ?

? 2? C. ? ?1, ? 2 ? ?

? 2? D. ? ?1, ? ? 2 ? ?

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,其中 9—12 题是必做题,13—15 题是选做题.每小题 5 分, 满分 30 分) x2 9.已知双曲线 ? y 2 = 1 ,则其渐近线方程为_________,离心率为________. . 4 2 6 10. ( x ? ) 展开式中,常数项是__________. . x 11 . 设数 列 {an } 为 公比 q > 1 的 等比 数列, 若 a4 , a5 是方 程 4 x 2 ? 8 x + 3 = 0 的两根 ,则

a6 + a7 = _________.
12.已知函数 f ( x ) = .

4 ? 1 的定义域是 [a, b] ( a, b 为整数) ,值域是 [0,1] ,则满足条件 | x | +2

的整数数对 (a, b) 共有_________个.

▲ 选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选只计算前两题的得分. 13. (几何证明选讲)如图, AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的中垂线,已知 AB=6,CD= 2 5 ,则线段 AC 的长度为 .

C B

? x = 2 cos θ ( θ 为参数) ,则圆 C 的普通方程为__________,以原点 第 13 题图 ? ? y = 2 + 2 sin θ O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为_________. 1 则 ,f ( x ) < 2 的取值范围为 15. (不等式选讲) 已知 f ( x) = x + x ? 1 , f ( ) = 2
A

14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) ) 在 直 角 坐 标 系 中 圆 C 的 参 数 方 程 为

D



解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 16. 本题满分 12 分) (本题满分 . ( y 如图 A 、B 是单位圆 O 上的点,C 是圆与 x 轴正半轴的交点, 3 4 A( , ) 5 5 3 4 B A 点的坐标为 ( , ) ,三角形 AOB 为正三角形. C 5 5 x O (Ⅰ)求 sin ∠COA ; (Ⅱ)求 | BC | 2 的值.
第 16 题图
P

17. 本题满分 12 分) . (本题满分 ( 如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体, P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 . AB = 2 , BC = 3 , 点

D A B

C

P ∈ 平面CC1 D1 D 且 PD = PC = 2 . (Ⅰ)证明: PD ⊥ 平面PBC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1 = a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D .
18.(本小题满分 14 分) .

D1 A1 第 17 题图 B1

C1

抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x = ?2 的距离都 与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 19. 本小题满分 14 分) (本小题满分 . ( 佛山某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每

生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    x ≤ 400 0≤ ? f ( x) = ? 625 ,每件产品的售价 g (x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256,    x > 400 ? ? 5 0≤ ?? x + 750,    x ≤ 400 g ( x) = ? 8 . ?500,      x > 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 20. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 设直线 l : y = g ( x),曲线S : y = F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:①直 线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点;②对任意 x∈R 都有 g ( x ) ≥ F ( x ) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” . (Ⅰ)已知函数 f ( x) = x ? 2sin x .求证: y = x + 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” . (Ⅱ)观察下图:
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x-1

y y=2x -2sinx y=2x-2 y=2x
x

O

O

x

y=2x+2
根据上图,试推测曲线 S : y = mx ? n sin x ( n > 0) 的“上夹线”的方程,并给出证明. 21. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 1 1 数列 {an } 满足 a1 = , an +1 = . 2 2 ? an (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,证明 Sn < n ? ln(

n+2 ). 2

年普通高中高三教学质量检测( 广东省佛山市 2008 年普通高中高三教学质量检测(一)

数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 选择题( 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C

二、填空题(每题 5 分,共 30 分,两空的前一空 3 分,后一空 2 分) 填空题( 两空的前一空

1 9. y = ± x , . 2
13. 30

2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 小题, 16. 本题满分 12 分) . (本题满分 ( 如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆与 x 轴正半轴的交 3 4 点, A 点的坐标为 ( , ) ,三角形 AOB 为正三角形. 5 5 (Ⅰ)求 sin ∠COA ;
(Ⅱ)求 | BC | 的值.
2

π 14. x 2 + ( y ? 2)2 = 4 , (2, ) .

5 2

10.60 .

11. 18 .

12.5 . 15. 1 , ?

1 3 <x< 2 2

y
B O

3 4 A( , ) 5 5 C

x

3 4 解:(Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 5 5 3 4 x= , y = , r =1 5 5 y 4 所以 sin ∠COA = = r 5

……2 分 ……4 分

(Ⅱ) 因 为 三 角 形 AOB 为 正 三 角 形 , 所 以 ∠AOB = 60o , sin ∠COA =

4 , 5

cos ∠COA =

3 , 5

……5 分

所以 cos ∠COB = cos(∠COB + 60o ) = cos ∠COB cos 60o ? sin ∠COB sin 60o
= 3 1 4 3 3? 4 3 ? ? ? = 5 2 5 2 10 ……8 分

所以 | BC |2 =| OC |2 + | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ∠BOC

=1+1? 2×

3?4 3 7+ 4 3 = 10 5

……12 分

17、 本题满分 12 分) 、 (本题满分 ( 如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体,
P

P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 . AB = 2 , BC = 3 , 点
D

C B

P ∈ 平面CC1 D1 D 且 PD = PC = 2 .
(Ⅰ)证明: PD ⊥ 平面PBC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1 = a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D .

A

D1 A1 B1

C1

(Ⅰ)证明:因为 PD = PC = 2 , CD = AB = 2 ,所以 ?PCD 为等腰直角三角形,所以

PD ⊥ PC .

……1 分

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体,所以 BC ⊥ 面CC1 D1 D ,而 P ∈ 平面CC1 D1 D , 所 以

PD ? 面CC1 D1 D
……3 分







BC ⊥ PD .

E

因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC , 由线面垂直的判定定理,可得 PD ⊥ 平面PBC .…4 分 (Ⅱ)解: P 点在平面 CC1 D1 D 作 PE ⊥ CD 于 E , 过 连接

AE .……5 分
因为 面ABCD ⊥ 面PCD ,所以 PE ⊥ 面ABCD ,所以

∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角.……6 分
因为 PE = 1 , AE = 10 ,所以 tan ∠PAE =

PE 1 10 = = . AE 10 10
10 . 10

……7 分

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (Ⅲ)解:当 a = 2 时, PC // 平面AB1 D .

……8 分 ……9 分

当 a = 2 时,四边形 CC1 D1 D 是一个正方形,所以 ∠C1 DC = 450 ,而 ∠PDC = 450 ,所以

∠PDC1 = 90 0 ,所以 C1 D ⊥ PD .
而 PC ⊥ PD , C1 D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC // C1 D . 而 C1 D ? 面AB1C1 D , 所 以 PC // 面AB1C1 D , 所 以

……10 分 ……11 分

PC // 平面AB1 D .

……12 分

z

P

方法二、方法二:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,设棱 长 AA1 = a , 则 有 D (0,0, a ) , P (0,1, a + 1) , B (3,2, a) ,
A

D B

C

C (0,2, a ) .

……2 分
A1

uuu r uuu r uuu r 于是 PD = (0, ?1, ?1) , PB = (3,1, ?1) , PC = (0,1, ?1) ,
uuu uuu r r uuu uuu r r 所以 PD ? PB = 0 , PD ? PC = 0 .……3 分
x

D1 B1

C1

y

所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC ,由线面垂直的判定定理,可得

PD ⊥ 平面PBC .

……4 分

uuu r uu r (Ⅱ) A(3,0, a ) ,所以 PA = (3, ?1, ?1) ,而平面 ABCD 的一个法向量为 n1 = (0,0,1) .…5 分 uuu uu r r 所以 cos < PD, n1 >= 11 ?1 =? . 11 11 × 1
……6 分

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为

11 . 11 10 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 . 10

……7 分 ……8 分

( Ⅲ ) B1 = (3,2,0) , 所 以 DA = (3,0,0) , AB1 = (0,2,? a) . 设 平 面 AB1 D 的 法 向 量 为

? DA ? n2 = 3 x = 0 ? n2 = ( x, y , z ) , 则 有 ? , 令 z = 2 , 可 得 平 面 AB1 D 的 一 个 法 向 量 为 ? AB1 ? n2 = 2 y ? az = 0 ? n2 = (0, a,2) .
……10 分

若要使得 PC // 平面AB1 D ,则要 PC ⊥ n2 ,即 PC ? n2 = a ? 2 = 0 ,解得 a = 2 .…11 分 所以当 a = 2 时, PC // 平面AB1 D . ……12 分

18.(本小题满分 14 分) ( 抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x = ?2 的距离都 与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 解: (1)因为抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = ?2 所以 p = 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 4) , (k ≠ ±1) -----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d = -------7 分

2k ? 1

4 = 1 ,解得 k = 0或 , 3 1+ k
2

-------------------------------8 分

当 k = 0 时,显然不合 AB 中点为 E ( 4,1) 的条件,矛盾! 当k = 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 = 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 = 0 ,解得点 A 坐标为 (13,13) , ? y=x ?4 x ? 3 y ? 13 = 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y = ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E ( 4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l .

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分

方法 2:由 ?

? y ? 1 = k ( x ? 4) ? 4 k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 A 坐标为 ? , ?, ? k ?1 k ?1 ? ?y=x

------7 分

由?

? y ? 1 = k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ?, 1+ k ? ? 1+ k ? y = ?x
4k ? 1 4k ? 1 + = 8 ,解得 k = 4 , k ?1 k +1

------------8 分

因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 = 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ----13 分 所以不存在满足条件的直线 l . -------------------------------------14 分 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) , 因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a ) , 又点 B 在直线 y = ? x 上,所以 a = 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 = 0 , -----------------------------10 分 -------------8 分

----------------------------9 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l . ----------------------------------------14 分 19. 本小题满分 14 分) (本小题满分 . ( 佛山某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每 生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    x ≤ 400 0≤ ? f ( x) = ? 625 ,每件产品的售价 g (x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256,    x > 400 ?

? 5 0≤ ?? x + 750,    x ≤ 400 g ( x) = ? 8 . ?500,      x > 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 解:(Ⅰ)总成本为 c( x) = 14000 + 210 x . 所以日销售利润 Q( x) = f ( x) g ( x) ? c( x) ……1 分

1 3 6 2 ? 0≤ ?? 1000 x + 5 x ? 210 x ? 14000,    x ≤ 400 =? . ?? 210 x + 114000,         x > 400 ?
(Ⅱ)①当 0 ≤ x ≤ 400 时, Q / ( x) = ?

……6 分

3 2 12 x + x ? 210 . 1000 5

……7 分 ……8 分

令 Q / ( x) = 0 ,解得 x = 100 或 x = 700 .

在区间 [100,400] 上单调递增, 所以 Q(x) 在 x = 400 于是 Q(x) 在区间 [0,100] 上单调递减, 时取到最大值,且最大值为 30000; ②当 x > 400 时, Q( x) = ?210 x + 114000 < 30000 . ……10 分 ……12 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. 20. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 设直线 l : y = g ( x),曲线S : y = F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:①直 线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点;②对任意 x∈R 都有 g ( x ) ≥ F ( x ) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” . (Ⅰ)已知函数 f ( x) = x ? 2sin x .求证: y = x + 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” . (Ⅱ)观察下图: ……14 分

y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x-1

y y=2x -2sinx y=2x-2 y=2x
x

O

O

x

y=2x+2
根据上图,试推测曲线 S : y = mx ? n sin x ( n > 0) 的“上夹线”的方程,并给出证明. 解 (Ⅰ)由 f ' ( x) = 1 ? 2 cos x = 1 得 cos x = 0 , 当x=? 此时 -----------1 分

π
2

时, cos x = 0 ,

y1 = x + 2 = ?

π
2

+ 2 , y2 = x ? 2 sin x = ? π + 2 ,
2

-----------2 分 -----------3 分

? π π ? y1 = y 2 ,所以 ? ? ,? + 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ? 2 2 ? 3π 当x= 时, cos x = 0 , 2 3π 3π 此时 y1 = x + 2 = + 2 , y2 = x ? 2 sin x = + 2, 2 2 ? 3π 3π ? y1 = y 2 ,所以 ? , + 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ? 2 2 ?

-----------4 分 -----------5 分

所以直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; 对任意 x∈R, g ( x ) ? F ( x ) = ( x + 2) ? ( x ? 2 sin x ) = 2 + 2 sin x ≥ 0 , 所以 g ( x ) ≥ F ( x ) ---------------------------------------------------------------------6 分 ----------7 分 ------9 分 因此直线 l : y = x + 2 是曲线 S : y = ax + b sin x 的“上夹线” . (Ⅱ)推测: y = mx ? n sin x(n > 0) 的“上夹线”的方程为 y = mx + n ①先检验直线 y = mx + n 与曲线 y = mx ? n sin x 相切,且至少有两个切点: 设: F ( x) = mx ? n sin x

Q F ' ( x) = m ? n cos x ,

\ 令 F ' ( x) = m ? n cos x = m ,得: x = 2kπ ±
当 x = 2kπ ?

π
2

(k ? Z)

------10 分

π
2

时, F (2kπ ?

π

) = m(2kπ ? ) + n 2 2

π

故:过曲线 F ( x) = mx ? n sin x 上的点( 2kπ ? y-[ m(2kπ ?

π
2

, m(2kπ ?

π
2

) + n )的切线方程为:

π
2

) + n ]= m [ x -( 2kπ ?

π
2

)],化简得: y = mx + n . -----12 分

即直线 y = mx + n 与曲线 y = mx ? n sin x 相切且有无数个切点. 不妨设 g ( x) = mx + n ②下面检验 g(x) ? F(x)

Q g(x)-F(x)= n(1 + sin x) ≥ 0(n > 0)

\ 直线 y = mx + n 是曲线 y = F ( x) = mx ? n sin x 的“上夹线”.
21. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 1 1 数列 {an } 满足 a1 = , an +1 = . 2 2 ? an (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,证明 Sn < n ? ln( 解:(Ⅰ)方法一: a n+1 ? 1 = 所以

-----14 分

a ?1 1 , ?1= n 2 ? an 2 ? an

n+2 ). 2

2 ? an 1 1 . = = ?1 + an +1 ? 1 an ? 1 an ? 1

……3 分

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

……4 分

所以

n 1 . = ? n ? 1 ,所以 a n = an ? 1 n +1 2 3 4 n , a3 = , a 4 = ,猜测 a n = . 3 4 5 n +1

……6 分

方法二: a 2 =

……2 分

下用数学归纳法进行证明. ①当 n = 1 时,由题目已知可知 a1 =

1 ,命题成立; 2 k ②假设当 n = k ( k ≥ 1, k ∈ N )时成立,即 ak = ,那么 k +1

……3 分

当 n = k + 1 , ak +1 =

1 1 k +1 = = , 2 ? ak 2 ? k k+2 k +1
……5 分

也就是说,当 n = k + 1 时命题也成立.

综上所述,数列 {an } 的通项公式为 a n = (Ⅱ) 设 F ( x ) = ln( x + 1) ? x ( x > 0) 则 F ′( x) =

n . n +1

……6 分

1 ?x ?1 = < 0( x > 0) x +1 x +1

……8 分

函数 F ( x ) 为 (0, +∞ ) 上的减函数,所以 F ( x ) < F (0) = 0 ,即 ln( x + 1) < x ( x > 0) 从而 ln(1 +

1 1 1 1 )< ,1 ? < 1 ? ln(1 + ), n +1 n +1 n +1 n +1

……10 分 ……11 分 ……13 分 ……14 分

an = 1 ?

1 < 1 ? ln(n + 2) + ln(n + 1), n +1

S n < (1 ? ln 3 + ln 2) + (1 ? ln 4 + ln 3) + K + [1 ? ln(n + 2) + ln(n + 1)] S n < n ? ln( n+2 ) 2


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