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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:06 平面向量(教师版) ]


平面向量 考查内容:平面向量的线性运算,基本定理,坐标表示,数量积。 补充内容:特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。
?1 1? 1、设向量 a ? (1,0) , b ? ? , ? ,则下列结论中正确的是( C ) ?2 2?

A、 a ? b

B、 a ? b ?

2 2

C、 a ? b 与 b 垂直

D、 a // b

2、平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a ? ?2,0? , b ? 1 ,则 a ? 2b ? ( B ) A、 3 B、 2 3 C、4 D、12

3、平面上 O , A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面积等于( C ) A、

a b ? ( a ? b) 2
1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

B、

a b ? ( a ? b) 2
1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

C、

D、

4、在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则
PA ? ( PB ? PC ) 等于( A )

A、 ?

4 9

B、 ?

4 3

C、

4 3

D、

4 9

5、 如图, 设 P, Q 为 ?ABC 内的两点, 且 AP ?

2 1 2 1 AB ? AC ,AQ ? AB ? AC , 3 4 5 5

则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为( B ) A、

1 5

B、

4 5

C、

1 4

D、

1 3

解析图:

解析:如图,设 AM ?

2 1 AB , AN ? AC ,则 AP ? AM ? AN ,由平行四边形法则 5 5

知 NP // AB ,所以

S S ?ABP AN 1 S 4 1 ? ? ,同理可得 ?ABQ ? ,故 ?ABP ? 。 S ?ABC S ?ABQ 5 S ?ABC 4 AC 5

6、已知 O, N , P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O, N , P 依次是 ?ABC 的( C ) A、重心 外心 垂心 C、外心 重心 垂心 B、重心 外心 内心 D、外心 重心 内心

7、已知 P 是 ?ABC 所在平面内任意一点,且 PA ? PB ? PC ? 3PG ,则 G 是 ?ABC 的( C ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

8、 已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点, 满足 OA ? OB ? OB ? OC = OC ? OA , 则点 O 是 ?ABC 的( D ) A、三个内角的角平分线的交点 C、三条中线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点 D、三条高的交点

9、已知 O 是平面内的一个点, A, B , C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足

? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定过 ?ABC 的( B ) ? AB AC ? ? ?
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

10、已知两点 M ? ?1,0 ? , N ?1,0 ? ,若直线 3 x ? 4 y ? m
PM ? PN ? 0 ,则实数 m 的取值范围是( D )

? 0 上存在点 P 满足

A、 (??, ?5] [5, ??)

B、 (??, 25] [25, ??)

C、 ? ?25, 25?

D、 ? ?5,5?

?3 3 3 ? 3 11、在 ?ABC 中, AB ? BC ? ? , ? ,其面积 S ? ,则向量 AB 与向量 BC 夹角 16 ?8 8 ?
的取值范围是( A )

?? ? ? A、 ? , ? ?6 4?

?? ? ? B、 ? , ? ?6 3?

?? ? ? C、 ? , ? ?4 3?

? ? 3? ? D、 ? , ? ?6 4 ?

? m ? 12、 设两个向量 a ? ? ? 2, ?2 ? cos2 ? , b ? ? m, ? sin ? ? , 其中 ? , m, ? ? R 。 若 a ? 2b , ? 2 ?

?

?



? 的取值范围是( A ) m
B、 [ 4,8] C、 ( ?? ,1] D、 [ ?1,6]

A、 [ ?6,1]

13、在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延 长线与 CD 交于点 F 。若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? 答案: 。 (用 a, b 表示)

2 1 a? b 3 3

14、设 A, B, C 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上三个不同的点, O 为坐标原点,已知 OA? OB ? 0 , 且存在 ? , ? ? R ,使得 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ?2 ? ? 2 ? 解析:将 OC ? ?OA ? ?OB 两边同时平方即可,得 ?2 ? ? 2 ? 1 。 15 、 (特殊化策略)在 ?ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线 l 分别交直线
AB, AC 于不同的两点 M , N ,若 AB ? m AM, AC ? n AN ,则 m ? n ?





答案:2。解析:本题采用特殊化策略,当点 M 与点 B 重合时,点 N 与点 C 也重 合,于是可以确定 m ? n ? 1,进而求解。
MN 经过点 E , 16、 (特殊化策略) 在 ?ABC 中, 点 E 是中线 AD 上一点, 与边 AB, AC

分别交于 M , N 。若 AB ? m AM, AC ? n AN ,且 m ? n ? 5 , AE ? ? AD , 则实数 ? ? 答案:
2 5



17、 (特殊化策略)已知 P, Q 分别是 ?OAB 边 OA, OB 上的点,且 PQ 过 ?OAB 的重 心 G ,若 OA ? ? , OB ? ? , OP ? m? , OQ ? n? (m, n ? R) ,则 答案:3 解析: 本题采用特殊化策略, 将 ?OAB 视为等边三角形, 由于点 G 为 ?OAB 的重心, 且 PQ 过点 G ,所以 m ? n ?
2 ,进而求解。 3 1 1 ? ? m n



18、 (特殊化策略)设点 P 为 ?ABC 的重心,若 AB ? 2, AC ? 4 ,则 AP ? BC ? 解析:本题可采用特殊化策略,设 Rt ?ABC , ?B ? 90? ,则答案为 4。



19、 (特殊化策略)设 ?ABC 的外接圆的圆心为点 O ,两边上的高的交点为 H ,且 点 O , H 满足 OH ? m(OA ? OB ? OC ) ,则实数 m ? 。

解析:本题可采用特殊化策略,当 ?ABC 为 Rt? 时,不妨设 C ? 90 ,则 O 是 AB 的 中点, H 是直角顶点 C ,有 OH ? OC ? OA ? OB ? OC ,∴ m ? 1。 20、 (特殊化策略)若点 O 是 ?ABC 的外心,点 O ' 是 ?ABC 三边中点 D, E, F 所构成 的 ?DEF 的外心,且 OO' ? m(OA ? OB ? OC) ,则 m ? 解析:可采用特殊化策略,设 ?ABC 为直角三角形,可得 m ? 21、 (特殊化策略)在平行四边形 ABCD 中, AE ? 交于点 G ,若 AB ? a, AD ? b ,则 AG ? 答案: AG ?
1 。 2



1 1 AB , AF ? AD , CE 与 BF 相 3 4
。 (用 a, b 表示)

3 1 a? b 7 7

解析:本题采用特殊化策略,将平行四边形 ABCD 视为边长为 12 的正方形,并建 立平面直角坐标系,确定点 G 坐标,进而求解。 22、 (线性运算)在 ?ABC 中,设 AB ? a, AC ? b ,P, Q, R 三点在 ?ABC 内部,且 AP 中点为 Q , BQ 中点为 R , CR 中点为 P ,若 AP ? ma ? nb ,则 m ? n ? 。

答案:

6 7

23、 (数量积问题)已知平面上三点 A, B, C 满足 AB ? 2 , BC ? 1 , CA ? 3 , 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于 答案: ? 4 24、 (线性运算与数量积)在 ?ABC 中, ?BAC ? 120 ? , AB ? AC ? 2 , D 为 BC 边上的点,且 AD ? BC ? 0 ,若 CE ? 3EB ,则 ( AB ? AC) ? AE ? 答案:2 25、 (线性运算与数量积)如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 , 则 AC ? AD ? 。 。 。

25、 答案: 3

26、

26、 (线性运算与数量积)如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, ,则 AD ? BC ? 答案: ?
8 3



27、 (坐标法与数量积)如图,在平行四边形 ABCD 中, AC ? ?1,2?, BD ? ?? 3,2? , 则 AD ? AC ? 。

答案:3

?a ? b ? (1, 2) ? 解析:令 AB ? a , AD ? b ,则 ? ? a ? (2, 0), b ? (?1, 2) , ? a ? b ? ( ? 3, 2) ? ?

所以 AD ? AC ? b ? (a ? b ) ? 3 。 28、 (坐标法与数量积)在平行四边形 ABCD 中, M , N 分别为 CD, BC 的中点,

AM ? ?1,2?, AN ? ?3,1? ,则 AB ? AM ?
答案:



10 3

解析:设 A?0,0?, B?xB ,0?, C?6 ? xB ,2?, D?6 ? 2 xB ,2? ,则通过 M 点的横坐标可计算出
xB ? 10 ? ,从而确定 AB ? AM 的值。 3

29、 (坐标法与数量积)在 Rt ?AOB 中, ?AOB ? 90? , OA ? 2, OB ? 3 ,若

1 1 OC ? OA , OD ? OB , AD 与 BC 相交于点 M ,则 OM ? AB ? 3 2
答案:



14 5

解析:本题采用坐标法,通过联立直线方程确定点 M 坐标,进而求解。

30、在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? (1,1) ,

1 BA

BA ?

1 BC


BC ?

3 BD

BD ,则

四边形 ABCD 的面积是 答案: 3

31、设点 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 3, x ? 2 y ? 1 ,若 AO ? x AB ? y AC( xy ? 0) , 则 cos ?BAC ?
2 3 答案: , 3 4



?2 ? 4 x ? 6 y cos?BAC ? ? AO ? AB ? x AB ? AB ? y AC ? AB ? 解析: ? ,联立 x ? 2 y ? 1 , ? ?9 ? 6 x cos ? BAC ? 9 y ? AO ? AC ? x AB ? AC ? y AC ? AC ? ? ?2
令 t ? cos ?BAC ,且 t ? ?? 1,1? ,化简得, 12t 2 ? 17t ? 6 ? 0 ,所以 t1 ?

2 3 , t2 ? 。 3 4

B 的任意一点, 32、如图,半圆的直径 AB ? 6 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A、

若 P 为半径 OC 上的动点,则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是



32、 答案: ?

37、

9 9 解析:本题可利用均值定理,求出 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是 ? 2。 2。

33、 过点 P ?2,1? 的直线 y ? 1 ? k ?x ? 2? , 其中 k 为常数, 分别交 x, y 轴的正半轴于 A, B 两点,若 OP ? ?OA ? ?OB ,其中 O 为坐标原点,则 答案:4
1 ? ? 解析:本题先建系,得到 A? 2 ? ,0 ?, B?0,1 ? 2k ? ,再根据 OP ? ?OA ? ?OB ,可以 k ? ?

1

?

?

1

?

的最小值为



2k ? ? 1? ? ?? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? ? 2k ? 1 ,最后由均值定理推出 1 1 的最小值为 4。 得到 ? ? k ? ,则 ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? 2k ? ?? ? 1 ? ? 1 ? 2k ?
34、 (坐标法与线性运算、数量积)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满 足 CM ? 答案: ? 2 35、 (特殊化策略与坐标法)在 ?ABC 中,点 P 为 AB 上一点, CP ?
Q 为 BC 的中点, AQ 与 CP 交于点 M , CM ? t CP ,则 t ?

1 2 CB ? CA ,则 MA ? MB ? 6 3



2 1 CA ? CB , 3 3


答案:

3 4

解析:本题采用特殊化策略,将 ?ABC 视为等腰直角三角形,且 CA ? CB ? 3 ,以 点 C 为原点,建立平面直角坐标系,于是得到点 P, Q 的坐标,再将直线 AQ, CP 联

3 ?3 3? 立,确定出点 M ? , ? ,进而通过 CM ? t CP ,确定出 t ? 。 4 ?2 4?

36、 (特殊化策略与坐标法)在 ?ABC 中,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且已知
AD ? 2 DB , AE ? 3EC , CD 与 BE 交于点 F ,设 AB ? a, AC ? b, AF ? xa ? yb ,

则实数对 ( x, y ) 为



?1 1? 答案: ? , ? 。解析:本题采用特殊化 策略,将 ?ABC 视为直角三角形,且 ?3 2?

AB ? 3, AC ? 4 ,以点 A 为原点,建立平面直角坐标系,最终确定出实数对 ( x, y ) 。

37、 (函数建模)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 o ,如 图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动,若 OC ? xOA ? yOB, 其中
x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是



解析:一般求最值问题时,宜采用函数建模的方法,将所求问题转化为初等函数

cos ? ? x ? y ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA ? 2 问题。设 ?AOC ? ? ,? ,即 ? 1 ? ?cos( ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB 120 0 ?)? ? ? x ? y ? ? 2

?

1

? 于是 x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 。 6
38、 (函数建模)平面上的向量 MA 与 MB 满足 MA ? MB ? 4, MA ? MB ? 0 ,若点 C 满足 MC ?
2

1 2 MA ? MB ,则 MC 的最小值为 3 3



答案:

7 。 4

解析:以 M 为原点,建立平面直角坐标系,构造二次函数。 39、 (坐标法与函数建模)已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 90 ,
AD ? 2, BC ? 1 , P 是腰 DC 上的动点,则 PA ? 3PB 的最小值为



答案:5。

解析:建立平面直角坐标系,构造二次函数。


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