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2014届高考一轮复习数学10.9离散型随机变量的期望与方差、正态分布


第 9 讲 离散型随机变量的期望 与方差、正态分布

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考纲展示
1.理解取有限个值的离散型 随机变量的均值、方差的概 念, 能计算简单离散型随机变 量的均值、方差 , 并能解决一 些实际问题. 2.利用实际问题的直方图,了 解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义.

考纲

解读
从近两年的高考试题来看, 主要在解答题中 考查取有限个值的离散型随机变量及其分 布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实 生活的情境考查概率思想的应用意识和创 新意识, 体现数学的应用价值. 对于正态分布的考查多以客观题形式出现, 主要考查正态曲线的对称性及 3 σ 原则的应 用, 属容易题.

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1. 离散型随机变量的均值与方差 一般地, 若离散型随机变量 X 的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

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(1) 均值 称 E (X )=x1 p1 +x2 p2 +?+xipi+?+xn pn为随机变量 X 的均值或数学期望, 它 反映了离散型随机变量取值的平均水平 . (2) 方差 称 D (X )= ∑ [ -E(X)] 2 为随机变量 X 的方差, 它刻画了随机变量 X 与
=1

其均值 E (X ) 的平均偏离程度, 其中 ()为随机变量 X 的标准差.

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2. 均值与方差的性质 (1)E (aX +b)=aE (X )+b. 2 (2)D (aX +b)=a D (X ). ( a, b为常数) 3. 两点分布与二项分布的均值、方差
均值 变量 X 服从 两点分布 X~B ( n, p) E( X) =p E( X) =np 方差 D( X) =p( 1-p) D( X) =np( 1-p)

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4. 正态曲线及性质

(1) 正态曲线的定义 函数 φμ,σ(x)=
1 2 πσ

e

2 (- ) 2 2

, x∈(- ∞, +∞), 其中实数 μ和 σ( σ >0 ) 为参数, 我

们称 φμ,σ(x) 的图象( 如图) 为正态分布密度曲线, 简称正态曲线.

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(2) 正态曲线的性质: ①曲线位于 x轴上方, 与 x轴不相交; ②曲线是单峰的, 它关于直线 x=μ对称 ; 1 ③曲线在 x= μ处达到峰值 ;
2 π

④曲线与 x轴之间的面积为 1 ; ⑤当 σ 一定时, 曲线随着 μ的变化而沿 x轴平移, 如图甲所示; ⑥当 μ一定时, 曲线的形状由 σ 确定, σ 越小, 曲线越“ 瘦高” , 表示总体 的分布越集中; σ 越大, 曲线越“ 矮胖” , 表示总体的分布越分散, 如图乙所示.

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5. 正态分布 (1) 正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a , b( a<b), 随机变量 X 满足 P ( a<X ≤b)= 则称随机变量 X 服从正态分布, 记作 X ~N (μ, σ ). (2) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ-σ <X ≤μ+σ )=0. 6826 ; ②P (μ-2σ <X ≤μ+2σ)=0. 9544 ; ③P (μ-3σ <X ≤μ+3σ)=0. 9974.
2



φμ,σ ( x)dx,

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(3)3σ 原则 2 通常认为服从正态分布 N (μ, σ) 的随机变量 X 只取( μ-3σ , μ+3σ ) 之间 的值, 并简称为 3σ 原则. 正态总体几乎总取值于区间( μ-3σ , μ+3σ ) 之内, 而在此区间以外取值 的概率只有 0. 0026 , 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

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1. 设服从二项分布 B ( n, p) 的随机变量 ξ的期望和方差分别是 2. 4 与 1. 44 , 则 二项分布的参数 n, p的值为( ) A. n=4 , p=0. 6 B. n=6 , p=0. 4 C. n=8 , p=0. 3 D. n=24 , p=0. 1 【答案】B 【解析】由 np=2. 4, np(1-p)=1. 44 , 得 p=0. 4, n=6.

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2. 设投掷 1 颗骰子的点数为 ξ, 则( 2 A. E( ξ)=3. 5, D( ξ)=3. 5
35 B. E (ξ)=3. 5, D (ξ)= 12

)

C. E (ξ)=3. 5, D (ξ)=3. 5
35 D. E( ξ)=3. 5, D( ξ)= 16

【答案】B

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【解析】投掷 1 颗骰子的点数为 ξ的分布列为:
ξ

1

2

3

4

5

6

P

1 6

1 6
1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

所以 E (ξ)= ( 1+2+3+4+5+6 )×=3. 5, D (ξ)= [(1-3. 5 ) +(2-3. 5 ) +?+ ( 6-3. 5 ) ]= .
1 6
2 2 2

35 12

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3. (2013 届·山东潍坊测试)设 X 为随机变量, X ~B , 学期望 E (X )=2, 则 P (X =2) 等于( A.
13 16

1 3

, 若随机变量 X 的数

) C.
13 243

B.

4 243

D.

80 243

【答案】D 【解析】∵ X ~B
2 ∴ P( X =2)=C6

1 3

, ∴ E (X )= =2. ∴ n=6.

3

1 2 2 4 80 = . 3 3 243

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4. 已知随机变量 ξ服从正态分布 N (0 , σ ). 若 P (ξ>2)=0. 023 , 则 P (-2≤ξ≤2) 等于( ) A. 0. 477 B. 0. 628 C. 0. 954 D. 0. 977 【答案】C 【解析】P (ξ>2)=0. 023 , 由正态分布的对称性知 : P( ξ<-2)=0. 023. 故 P (-2≤ξ≤2)=1-2P (ξ>2)=1-0. 046=0. 954 , 选 C.

2

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T 题型一离 散型随机变量的均值与方差的求法
例 1(2012·浙江卷, 19 ) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, 且 规定: 取出一个白球得 2分, 取出一个黑球得 1分 . 现从该箱中任取( 无放回, 且每球取到的机会均等) 3 个球, 记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1) 求 X 的分布列; (2) 求 X 的数学期望 E (X ).
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【解】( 1) 由题意得 X 取 3 , 4, 5, 6, 且 P( X =3)= 3= , P (X =4 )=
C 9 42
2 1

C5 5

3

C 4·C 5 10
3 C9

1

2

= ,
21

C ·C 5 C 1 P( X =5)= 4 3 5 = , P (X =6 )= 4 = . 14 C9 C3 9 21

3

所以 X 的分布列为
X P 3 4 5 6

5 42

10 21

5 14

1 21

13 (2)由(1 ) 知 E (X )=3 ·P (X =3 )+4 ·P (X =4)+5·P (X =5 )+6 ·P (X =6 )= . 3

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( 1) 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的 所有可能值, 写出随机变量的概率分布表, 正确运用均值、方差公式进 行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征, 若属二项分布的, 可用二 项分布的均值与方差公式计算, 则更为简单.

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1. (2012·湖北卷 , 20)根据以往的经验, 某工程施工期间的降水量 X( 单位 : m m) 对工期的影响如下表 :
降水量 X 工期延误天数 Y X<300 0 300 ≤X<700 2 700 ≤X<900 6 X ≥900 10

历年气象资料表明 , 该工程施工期间降水量 X 小于 300 , 700 , 900 的概率分 别为 0. 3, 0. 7, 0. 9. 求: (1) 工期延误天数 Y 的均值与方差; (2) 在降水量 X 至少是 300 的条件下, 工期延误不超过 6 天的概率.

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【解】( 1) 由已知条件和概率的加法公式有 : P( X <300 )=0. 3, P( 300≤X <700 )=P (X <700 )-P (X <300 )=0. 7-0. 3=0. 4, P( 700≤X <900 )=P (X <900 )-P (X <700 )=0. 9-0. 7=0. 2, P( X ≥900 )=1-P ( X <900 )=1-0. 9=0. 1. 所以 Y 的分布列为:
Y P 0 0. 3 2 0. 4 6 0. 2 10 0. 1

于是 , E (Y )=0 × 0. 3+2× 0. 4+6 × 0. 2+10 × 0. 1=3 ; 2 2 2 2 D (Y )= ( 0-3) × 0. 3+ (2-3 ) × 0. 4+ ( 6-3 ) × 0. 2+ ( 10-3 ) × 0. 1=9. 8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3, 方差为 9. 8.

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(2)由概率的加法公式 , P (x≥300 )=1-P (X <300 )=0. 7, 又 P (300 ≤x<900)=P (X <900 )-P (X <300 )=0. 9-0. 3=0. 6. 由条件概率 , 得 P (Y≤6| X ≥300 )=P (X <900| X ≥300 )=
(300 ≤<900) 0.6 6 = = . (≥300) 0.7 7

故在降水量 X 至少是 300m m 的条件下, 工期延误不超过 6 天的概率是
6 . 7

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T 题型二均 值与方差性质的应用
例 2 已知 X 的概率分布为
X P -1 0 1

1 2

1 3

1 6

求: (1)E (X ), D( X ); (2) 设 Y=2X +3 , 求 E (Y), D (Y ). 利用性质 E (aξ+b)=aE ( ξ)+b, D( a ξ+b)=a D (ξ) 求解.
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2

【解】( 1 )E ( X )=x1 p1 +x2 p2 +x3p3 = (-1 )×+0 ×+1 ×=- ;
2 3 6 3 1 1 1 1

D (X )= [ x1 -E (X ) ] p1 + [ x2 -E (X ) ] p2 +[x3 -E (X )] p3
1 1 2 1 1 2 1 1 2 = ×-1 + + ×0 + + ×1 + 2 3 3 3 6 3

2

2

2

= . (2)E (Y )=E (2X +3 )=2E (X )+3 =2×1 3

5 9

+3= ;
3 5 20 9 9

7

D (Y )=D (2X +3 )=4D (X )=4 ×= .
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ξ是随机变量, 则 η=f( ξ) 一般仍是随机变量, 在求 η 的均值和方 差时, 熟练应用均值和方差的性质, 可以避免再求 η 的概率分布带来的 繁琐运算.

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2. 设随机变量 ξ具有分布 P ( ξ=k)= , k=1 , 2, 3, 4, 5, 求 E (ξ+2) , D (2ξ5

1

2

1 ), (-1). 【解】∵ E (ξ)=1 ×+2×+3 ×+4 ×+5 ×= =3 ,
5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 15

E (ξ )=1 ×+2 ×+3 ×+4 ×+5 ×=11 ,
5 5 5 5 5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

D (ξ)=(1-3 ) ×+ (2-3 ) ×+ (3-3 ) ×+ (4-3 ) ×+ (5-3 ) ×= (4+1+0+1+4 ) =2,
5 5 5 5 5 5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1

∴ E (ξ+2) =E ( ξ +4ξ+4) 2 =E (ξ )+4E (ξ)+4=11+12+4=27 , D (2ξ-1 )=4D ( ξ)=8 , (-1)= ()= 2.
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2

2

T 题型三均 值与方差的实际应用
例 3(2012·课标全国卷, 18 ) 某花店每天以每枝 5 元的价格从 农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售. 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理 .

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(1) 若花店一天购进 16枝玫瑰花 , 求当天的利润 y( 单位 : 元) 关于当天需 求量 n( 单位 : 枝, n ∈N ) 的函数解析式; (2) 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量( 单位 : 枝), 整理得下表:
日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润( 单位: 元), 求 X的 分布列、数学期望及方差 ; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 ?请说明理由.

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【解】( 1) 当日需求量 n≥16 时 , 利润 y=80. 当日需求量 n<16 时 , 利润 y=10n-80. 所以 y关于 n 的函数解析式为 y= 10-80, < 16,(n∈N ). 80, ≥ 16

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(2)①X 可能的取值为 60 , 70 , 80 , 并且 P( X =60 )=0. 1, P (X =70 )=0. 2, P (X =80)=0. 7. X 的分布列为
X P 60 0. 1 70 0. 2 80 0. 7

X 的数学期望为 E (X )=60 × 0. 1+70 × 0. 2+80 × 0. 7=76. 2 2 2 X 的方差为 D ( X )= ( 60-76 ) × 0. 1+ ( 70-76 ) × 0. 2+ ( 80-76 ) × 0. 7=44.

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②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 理由如下: 若花店一天购进 17枝玫瑰花, Y表示当天的利润( 单位 : 元), 那么 Y的分 布列为
Y P 55 0. 1 65 0. 2 75 0. 16 85 0. 54

Y 的数学期望为 E (Y )=55 × 0. 1+65 × 0. 2+75 × 0. 16+85 × 0. 54=76. 4. Y 的方差为 2 2 2 2 D (Y )= ( 55-76. 4)× 0. 1+(65-76. 4)× 0. 2+ ( 75-76. 4)× 0. 16+ ( 85-76. 4)× 0. 54=11 2. 04. 由以上的计算结果可以看出, D( X )<D (Y ), 即购进 16 枝玫瑰花时利润 波动相对较小. 另外 , 虽然 E ( X )<E (Y ), 但两者相差不大. 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.
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答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 理由如下: 若花店一天购进 17枝玫瑰花, Y表示当天的利润( 单位 : 元), 那么 Y的分 布列为
Y P 55 0. 1 65 0. 2 75 0. 16 85 0. 54

Y 的数学期望为 E (Y )=55 × 0. 1+65 × 0. 2+75 × 0. 16+85 × 0. 54=76. 4. 由以上的计算结果可以看出, E (X )<E (Y ), 即购进 17 枝玫瑰花时的平均 利润大于购进 16 枝时的平均利润 . 故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

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1. D( X) 表示随机变量 X 对 E (X ) 的平均偏离程度, D (X ) 越大表明 平均偏离程度越大, 说明 X 的取值越分散; 反之 , D (X ) 越小, X 的取值越集 中在 E (X ) 附近, 统计中常用 ()来描述 X 的分散程度. 2. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平, 方差反映了 随机变量取值对均值的平均偏离程度, 它们从整体和全局上刻画了随 机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据, 一般先比较均 值, 若均值相同, 再用方差来决定.

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3. 有甲、 乙两个建材厂, 都想投标参加某重点建设项目, 为了对重点建 设项目负责, 政府到两建材厂抽样检查, 他们从中各取等量的样品检查它 们的抗拉强度指数如下:
ξ

110 0. 1 100 0. 1

120 0. 2 115 0. 2

125 0. 4 125 0. 4

130 0. 1 130 0. 1

135 0. 2 145 0. 2

P
η

P

其中 ξ和 η 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度, 在使用时要求抗拉 强度不低于 120 的条件下, 比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.
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【解】E ( ξ)=110 × 0. 1+120 × 0. 2+125× 0. 4+130 × 0. 1+135 × 0. 2=125 , E (η )=100 × 0. 1+115 × 0. 2+125 × 0. 4+130 × 0. 1+145 × 0. 2=125 , 2 2 2 2 D (ξ)=0. 1× (110-125 ) +0. 2× ( 120-125 ) +0. 4× ( 125-125) +0. 1× (130-125 ) 2 +0. 2× (135-125) =50 , 2 2 2 D (η)=0. 1× ( 100-125 ) +0. 2× (115-125 ) +0. 4× (125-125 ) +0. 1× ( 130-125 ) 2 2 +0. 2× ( 145-125 ) =165 , 由于 E (ξ)=E ( η ), 而 D (ξ)<D ( η ), 故甲厂的材料稳定性较好 .

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T 题型 四正态分布
例 4 在某次数学考试中, 考生的成绩 ξ服从正态分布, 即 ξ~N (100 , 100), 已知满分为 150 分. (1) 试求考试成绩 ξ位于区间( 80 , 120) 内的概率; (2) 若这次考试共有 2000 名考生参加, 试估计这次考试及格( 不小于 90 分 ) 的人数.

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【解】( 1) 由 ξ~N ( 100 , 100 ) 知 μ=100 , σ =10. ∴ P( 80<ξ≤120 )=P (100-20<ξ≤100+20 )=0. 9544 , 即考试成绩位于区间( 80 , 120 ) 内的概率为 0. 9544. (2)P ( 90< ξ≤110 )=P ( 100-10< ξ≤100+10 )=0. 6826 , ∴ P (ξ>110 ) = (1-0. 68
2 1

26 )=0. 1587. ∴ P (ξ≥90 )=0. 6826+0. 1587=0. 8413. ∴ 及格人数为 2000 × 0. 8413 ≈1683 ( 人).

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解决此类问题, 首先要确定 μ与 σ 的值, 然后把所求问题转化 到已知概率的区间上来, 在求概率时, 要注意关于直线 x= μ对称的区间 上概率相等这一性质的应用.

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4. 下图是一个正态曲线. 试根据该图象写出其正态分布的概率密度 函数的解析式, 求出总体随机变量的期望和方差.

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【解】从给出的正态曲线可知, 该正态曲线关于直线 x=20 对称 , 最大 值是
1

2 π

, 所以 μ=20. σ = 2.
(-20) 1 φμ,σ (x)= ·e 4 2 π
2 2

1 1 = , 解得 2 π·σ 2 π

2

于是概率密度函数的解析式是

, x∈(- ∞, +∞ ). 总

体随机变量的期望是 μ=20 , 方差是 σ =( 2) =2.

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1. 若随机变量 X 的分布列如下表, 则 E (X ) 等于(
X P 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x

)
5 x

A.

1

18

B.

1 9

C.

20 9

D.

9

20

【答案】C 【解析】由分布列的性质可得 2x+3x+7x+2x+3x+x=1 , ∴ x= . ∴ E (X )=0 × 2x+1 × 3x+2× 7x+3 × 2x+4 × 3x+5x=40x
18 20 = . 9 1

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2. 已知 ξ~B , A. 15 【答案】D

1 2

, η ~B ,

1 3

, 且 E( ξ)=15 , 则 E (η) 等于( C. 5
2

)

B. 20
1 2

D. 10

【解析】∵ ξ~B , ∴ n=30. 又 η ~B ,
1 3

, 有 E (ξ)= , 又 E (ξ)=15 ,

, ∴ E( η )=30 ×=10 , 故选 D .

1 3

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3. 在正态分布 N 0, A. 0. 097 C. 0. 03 【答案】D

1 9

中, 数值落在( - ∞, -1 ) ∪( 1, +∞ ) 内的概率为( B. 0. 046 D. 0. 0026

)

【解析】∵ μ=0 , σ= , ∴ μ-3 σ =-1 , μ+3 σ =1.
3

1

∴ 随机变量在(-1 , 1) 内取值的概率约为 99. 74% , ∴ 数值落在(-∞, -1 ) ∪(1 , +∞) 内的概率为 0. 0026.

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4. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a , 得 2分的概率为 b, 不得分的 概率为 c, a, b, c∈(0 , 1 ), 且无其他得分情况, 已知他投篮一次得分的数学期 望为 1 , 则 ab的最大值为( ) A.
1 48

B.

1 24

C.

1 12

D.

1 6

【答案】B 【解析】依题意得 3a+2b+0 × c= 1 , ∵ a>0 , b>0 , ∴ 3a+2b≥2 6, 即2
1 6≤1 , ∴ ab≤ . 24 1 6 1 4

当且仅当 3a=2b即 a= , b= 时等式成立.
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5. 已知正态总体落在区间( 0. 2, + ∞) 内的概率是 0. 5, 那么相应的正态曲线 f(x) 在 x= 时, 达到最高点. 【答案】0. 2 【解析】由正态曲线的对称性可知, 在对称轴左右两边的概率相等, 即 P( x< μ)=P (x> μ)= , 且在 x=μ处曲线达到最高点, 故 x= μ=0. 2.
2 1

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