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第二章解析函数(练习题解答)


一、填空题 1. Ln(?3 ? 4i) ? ( ) ,主值为( ) ;

4 Ln(?3 ? 4i) ? ln ?3 ? 4i ? iArg (?3 ? 4i) ? ln 5 ? i(? ? arctan ? 2k? ), k ? 0, ?1, ?2, ? 3 4 ln(?3 ? 4i) ? ? ln 5 ? i(? ? arctan ) . 3

2. 函数 f ( z ) ?

2z5 ? z ? 3 的解析区域是 ( 4z2 ?1
2

)该区域上的导数是 , (

) ;

有理分式函数在分母为零处不解析,故 4 z ? 1 ? 0 处不解析,解得: z ? ?

i , 2

? 2 z 5 ? z ? 3 ?? ?( z ) ? ? f ? 2 ? 4z ?1 ?
3.当 a ?( )时, f ( z ) ? a ln( x ? y ) ? i arctan
2 2

y 在区域 x ? 0 内解析; x
)外是解析的; ) 。

4.函数 f ( z ) ? 2arg( z ? 3) 在复平面除去实轴上一区间( 5.函数 w ? z Im z ? Re z 在其可导处的导数为( 二、计算下列各值 1. e
3?? i



2. tan(

?
4

? i) ;

3. Ln(?2 ? 3i) ; 4. 1 ; 5. 1 。 三、问函数 f ( z ) ? x ? 2 y i 在何处可导?何处解析?并求 f ?(3 ? i) , f ?(3 ? 2i) .
2 3

2

i

四、 ln( z1 z2 ) ? ln z1 ? ln z2 是否正确?若不正确,举例说明. 五、试证下列各函数为调和函数,并求出相应的解析函数 f ( z ) ? u ? iv . (1) u ? xy ; (2) v ? ? sin xshy ;

六、如果函数 f ( z ) ? u ? iv 在区域 D 内解析,并且满足条件 8u ? 9v ? 2003 ,试证 f ( z ) 在

D 必为常数。


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