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四川省雅安中学2013届高三1月月考 数学理


雅安中学 2012-2013 学年高三上期月考试题 数 学 试 题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考 试结束后,将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷 (选择题 ,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1 设集合 A={1,2,3,5,7},B={

x∈Z|1<X≤6},全集 U=A∪B,则 A∩CUB =( ) A 、{1,4,6,7} B、{2,3,7} C、{1,7} D、{1} 2 命题“存在 x0 ? R,使得 2x0 ? 0”的否定是 ( ) A、不存在 x0 ? R, 使得 2x0 >0 C、对任意的 x?R, 使得 2x ? 0 B、存在 x0 ? R, 使得 2x0 ? 0 D、对任意的 x ? R, 使得 2x >0

3 如图,网格纸的小正方形的边长是 1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个 多面体最长的一条棱的长为( )

A、2 3 B、 3 C 、 4 3 D 、 2 4 执行右边的程序框图,输出的 T=( ) A、29 B、30 C、31 D、28 5 已知数列 ?an ?是各项均为正数的等比数列, 若 a2 ? 2, 2a3 ? a4 ? 16 ,则 an 等于( ) A、 2n?2 B、 23?n C、 2n?1 D、 2n

开始

S=0,T=0,n= 0 T>S 否 S=S+5 n=n+2 结束 输出 T 是

6 已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , 且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为( A.
5? 6

) C.

B.

2? 3

? 3

D.

? 6

T=T+n

7 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.
1 3

?x
2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 ( 2

).

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 w.w. 3


8 曲线 f ( x) ?

ex 在 x ? 0 处的切线方程为( x ?1

A. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0
1

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0
2 2 9 圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线

x ? y ?14 ? 0 的最大距离与最

小距离的差是 ( ) A 5 10 函数 y ? A、
13 4

2

B. 18 C.

6 2

D.36 ) 。 D、 13 w

3 ? ? Sin ( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值为( 2 2 6

B、

13 4

C、

13 2

11 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 且 公 比 不 等 于 1 的 等 比 数 列 . 对 于 函 数
y ? f ( x ) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”.

现有定义在 (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ?

1 , ② f ( x) ? x2 , x
A.① ②

③ f ( x) ? ex , )

④ f ( x) ? x ,

则为“保比差数列函数”的所有序号为( B.③④

C.① ②④

D.②③④

2, x ? m, ? 12 直线 y ? x 与函数 f ( x) ? ? 2 的图象恰有三个公共点,则实数 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

m 的取值范围是( ) A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [2, ??)
13.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13 已知 i 为虚单位,则复数
1 ? 2i 的虚部为 i?2

D. (??, ?1]

第Ⅱ卷 (非选择题 ,共 90 分)


14 某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(° C)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温 x(° C) 用电量 y(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64

? 由表中数据得线性回归方程 y ? bx ? a 中 b ? ?2 ,预测当气温为 ?4?C 时,用电

量的度数约为

? x ? 1, ? 15 已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x2 ? y2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
2

16△ABC 中,它的三边分别为 a,b,c,若 A=120°,a=5,则 b+c 的最大值为

14.解答题
x x x? ? ? ? 17、 (12 分)已知向量 m=? 3sin 4,1?,n=?cos 4,cos24?. ? ? ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围.

18、 (12 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区 间为(490,495】 (495,500】 , ,??, (510, 515】 ,由此得到样本的频 率分布直方图,如图 4 13.根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品 数量; 14.在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量, 求 Y 的 分布列; 15.从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。

19 ( 12 分 ) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1 ⊥ 面 ABC ,
BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
B1 B

(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得
3

C C1 D A1 A

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.
20 在等比数列{an} (n∈N*)中,a1>1,公比 q>0,设 bn=log2an,且 b1+b3+b5= 6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an;(3)试比较 an 与 Sn 的大小.

21. 12 分)已知椭圆 (

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右顶点与右焦点的距离为 a2 b2

3 ? 1,短轴长为 2 2 .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两
3 2 ,求直线 AB 的方程. 4

点,若三角形 OAB 的面积为

a 1 22、 (14 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? ? ln ( a 为实常数) 。 x x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上无极值,求 a 的取值范围; n+1 1 1 1 1 (Ⅲ)已知 n ? N ? 且 n ? 3 ,求证: ln < + + +?? + . 3 3 4 5 n

4

雅安中学 2012-2013 学年高三上期 月考试题 数 学 试 题(理科)参考答案
一选择题:1C 2D 3A 4B 5C 6B 7A 8D 9C 10C 11C 12A 10 3 二填空题:13 -1,14 68, 15 5, 16 3 三解答题:17(12 分) x x x x 3 解 (1)m· = 3 sin 4 · n cos 4 + cos2 4 = 2 sin 2 + x 1+cos 2 2 ? x π? 1 ? x π? 1 =sin?2+6?+2,∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? ? 1 ? π? ? x π? 1 ?2π ? ? π? cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2,cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? ? ? ? ? (2) ∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.∴2sin Acos B=sin(B+C). 1 ∵A+B+C=π ∴sin(B+C)=sin A≠0.∴cos B=2, π 2π π A π π ∵0<B<π,∴B=3.∴0<A< 3 .∴6< 2 +6<2, ?A π? ?1 ? ? x π? 1 ?A π? 1 sin? 2 +6?∈?2,1?. 又∵f(x)=sin?2+6?+2.∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ? 18 分析: (1)重量超过 505 克的产品数量是 40 ? (0.05 ? 5 ? 0.01? 5) ? 12 件; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2; C2 C1 C1 63 56 C2 11 P (Y ? 0) ? 28 ? , P(Y ? 1) ? 12 2 28 ? , p (Y ? 2) ? 122 ? , 2 C40 130 C40 130 C4 0 130 Y 的分布列为

Y

(3)从流水 线上任取 P 品,恰有 2 件产 的重量超过 505 克的概率为

0 63 130

1 56 130

2 11 130

5 件产 品合格

5

12 ?11 28 ? 27 ? 26 ? C C 2 ?1 3 ? 2 ?1 ? 21?11 ? 231 。 ? 5 40 ? 39 ? 38 ? 37 ? 36 37 ?19 703 C40 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1
2 12 3 28

19(本小题满分 12 分) (I)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵ BCC1B1 是矩形,∴ 是 B1C 的中点. O 又 D 是 AC 的中点,∴ OD//AB1. ∵ 1 ? 面 BDC1 , OD ? 面 BDC1 , AB z ∴ 1//面 BDC1. AB ????4 分 B1 (II)解:如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D ( 1 , 3 , 0 ) ,
C1

…………1 分

B

C

y
D A

, xA1 ???? ? C1D ? (1,3,0) , ????5 分 ? 设 n ? ( x1, y1, z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则 ? ???? ?n? 1B ? 0, ?3 y ? 2 z ? 0, ? C 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? 1 , 1 ) . x1 ? 3 y1 ? 0 ? n? 1D ? 0 ? ? C 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3, 0) 是面 ABC 的一个法向量. ? ? ???? ? n? 1C C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ? . ? 7 n ? CC
1

???? C1B ? (0,3, 2)

2 . ????8 分 7 (III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. ??? ? 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3, 0) , ??? ???? ? ?CP? 1B ? 0, C ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ? 则 ? ??? ???? ,即 ? . C ? CP? 1D ? 0 ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 ?
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ? ∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. 20(12 分)(1)证明 ∵bn=log2an, an+1 ∴bn+1-bn=log2 a =log2q 为常数, n ∴数列{bn}为等差数列且公差 d=log2q.

????12 分

6

9n-n2 - (2)Sn= 2 an=25 n (n∈N*) (3)解 显然 an=25-n>0, n?9-n? 当 n≥9 时,Sn= 2 ≤0, ∴n≥9 时,an>Sn. 1 1 1 ∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=2,a7=4,a8=8, S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, ∴当 n=3,4,5,6,7,8 时,an<Sn; 当 n=1,2 或 n≥9 时,an>Sn. 21(本小题满分 12 分) ?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由题意, ? b ? 2 -------1 分 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ? 解得 a ? 3, c ? 1 . 即:椭圆方程为 ------------2 分 ------------3 分
4 , 3

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, AB ?

此时 S ?AOB ? 3 不符合题意故舍掉; -----------4 分 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) , 代入消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 . ------------6 分

? ?6k 2 x1 ? x2 ? ? ? 2 ? 3k 2 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? , -----------7 分 3k 2 ? 6 ? xx ? ? 1 2 2 ? 3k 2 ? 2 4 3(k ? 1) 所以 AB ? . ------------9 分 2 ? 3k 2 k 原点到直线的 AB 距离 d ? , 1? k 2 1 1 k 4 3(k 2 ? 1) 所以三角形的面积 S ? AB d ? . 2 2 1 ? k 2 2 ? 3k 2
3 2 ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , 4 所以直线 l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 或 l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 .

由S ?

---------12 分 解

22

7

8


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