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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1练习:2.2.2双曲线的简单几何性质.doc


选修 1-1

第二章

2.2

2.2.2

一、选择题 1.以椭圆 ( ) x2 y2 A. - =1 16 48 y2 x2 B. - =1 9 27 D.以上都不对 x2 y2 + =1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程为 导学号 92600392 16 9

x

2 y2 y2 x2 C. - =1 或 - =1 16 48 9 27 [答案] C

x2 y2 [解析] 当顶点为(± 4,0)时,a=4,c=8,b=4 3,双曲线方程为 - =1;当顶点为 16 48 y2 x2 (0,± 3)时,a=3,c=6,b=3 3,双曲线方程为 - =1. 9 27 2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 导学号 92600393 ( A.2 C.4 [答案] C x2 y2 [解析] 双曲线 2x2-y2=8 化为标准形式为 - =1,∴a=2,∴实轴长为 2a=4. 4 8 3.双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 导学号 92600394 ( 1 A. 2 C.1 [答案] B [解析] 双曲线 x2-y2=1 的一个顶点为 A(1,0),一条渐近线为 y=x,则 A(1,0)到 y=x 距离为 d= 1 2 = . 2 2 B. 2 2 ) B.2 2 D.4 2 )

D. 2

x2 y2 x2 y2 4. 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点, 则实数 n 的值是 导学号 92600395 34 n n 16 ( ) A.± 5 C.25 B.± 3 D.9

[答案] B [解析] 依题意,34-n2=n2+16,解得 n=± 3,故答案为 B. x2 y2 x2 y2 5. 若实数 k 满足 0<k<5, 则曲线 - =1 与曲线 - =1 的 导学号 92600396 16 5-k 16-k 5 ( ) A.实半轴长相等 C.离心率相等 [答案] D [解析] ∵0<k<5, ∴两方程都表示双曲线, 由双曲线中 c2=a2+b2 得其焦距相等, 选 D. 6 . 以 双 曲 线 y2 - 导学号 92600397 ( A.(x-2)2+y2=4 C.(x-2)2+y2=2 [答案] D x2 [解析] 双曲线 y2- =1 的焦点为(0,± 2),e=2,故选 D. 3 二、填空题 7.椭圆 x2 y2 x2 y2 + = 1 与 双 曲 线 - = 1 有 相 同 的 焦 点 , 则 a 的 值 是 ________. 4 a a 2 ) B.x2+(y-2)2=2 D.x2+(y-2)2=4 x2 =1 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是 3 B.虚半轴长相等 D.焦距相等

导学号 92600398 [答案] 1 [解析] ∵a>0,∴焦点在 x 轴上, ∴4-a=a+2,∴a=1. x2 y2 8.(2016· 北京文)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦 a b 点为( 5,0),则 a=________;b=________. 导学号 92600399 [答案] 1 2 b [解析] 由题意知,渐近线方程为 y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知 =2, a 由 c= 5,c2=a2+b2,可得 b=2,a=1. x2 y2 x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率 a b 16 9

是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 导学号 92600400 [答案] x2 y2 - =1 4 3

[解析] 椭圆中,a2=16,b2=9,∴c2=a2-b2=7, ∴离心率 e1= 7 ,焦点(± 7,0), 4

c 7 ∴双曲线的离心率 e2= = ,焦点坐标为(± 7,0), a 2 ∴c= 7,a=2,从而 b2=c2-a2=3, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 4 3 三、解答题 10 . (1) 求 与 椭 圆 导学号 92600401 5 (2)求虚轴长为 12,离心率为 的双曲线的标准方程. 4 x2 y2 [解析] (1)设双曲线的方程为 - =1(4<λ<9),则 a2=9-λ,b2=λ-4, 9-λ λ-4 ∴c2=a2+b2=5, ∵e= 5 c2 5 5 ,∴e2= 2= = ,解得 λ=5, 2 a 9-λ 4 x2 y2 5 + =1 有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线的方程; 9 4 2

x2 ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 4 x2 (2)由于无法确定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上, 所以可设双曲线标准方程为 2- a y2 y2 x2 = 1( a >0 , b >0) 或 - =1(a>0,b>0). b2 a2 b2 c 5 由题设知 2b=12, = 且 c2=a2+b2, a 4 ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36

一、选择题 1.已知方程 ax2-ay2=b,且 a、b 异号,则方程表示 导学号 92600402 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 )

C.焦点在 x 轴上的双曲线 [答案] D

D.焦点在 y 轴上的双曲线

x2 y2 b [解析] 方程变形为 - =1, 由 a、 b 异号知 <0, 故方程表示焦点在 y 轴上的双曲线, b b a a a 故答案为 D. y2 2.双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是 导学号 92600403 ( m 1 A.m> 2 C.m>1 [答案] C [解析] 本题考查双曲线离心率的概念,充分必要条件的理解. 双曲线离心率 e= 1+m> 2,所以 m>1,选 C. x2 3.(2015· 全国卷Ⅰ理)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1、F2 是 C 的 2 → → 两个焦点.若MF1· MF2<0,则 y0 的取值范围是 导学号 92600404 ( A.(- 3 3 , ) 3 3 B.(- 3 3 , ) 6 6 ) B.m≥1 D.m>2 )

2 2 2 2 C.(- , ) 3 3 [答案] A

2 3 2 3 D.(- , ) 3 3

[解析] 由双曲线方程可知 F1(- 3,0)、F2( 3,0), → → ∵MF1· MF2<0, ∴(- 3-x0)( 3-x0)+(-y0)(-y0)<0,
2 2 2 2 1 即 x2 0+y0-3<0,∴2+2y0+y0-3<0,y0< , 3

∴-

3 3 <y0< . 3 3

x2 y2 4. (2016· 重庆八中高二检测)双曲线 2- 2=1 的渐近线与圆(x- 3)2+(y-1)2=1 相切, a b 则此双曲线的离心率为 导学号 92600405 ( A. 5 C. 3 [答案] B B.2 D. 2 )

b [解析] 双曲线的渐近线方程为 y=± x, a | 3b-a| 由题意得 2 =1,∴b= 3a. b +a2 c ∴离心率 e= = a 二、填空题 x2 y2 5.已知双曲线 - =1 的一个焦点在圆 x2+y2-4x-5=0 上,则双曲线的渐近线方程 9 m 为______________. 导学号 92600406 4 [答案] y=± x 3 [解析] ∵方程表示双曲线,∴m>0,∵a2=9,b2=m, ∴c2=a2+b2=9+m,∴c= 9+m, ∵双曲线的一个焦点在圆上,∴ 9+m是方程 x2-4x-5=0 的根,∴ 9+m=5,∴m =16, 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,故选 B. 3 x2 y2 x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,则椭圆 2+ 2=1 a b a b 的离心率 e=________. 导学号 92600407 [答案] 3 2 c2 = a2 a2+bb = a2 a2+3a2 =2. a2

b 1 [解析] 由条件知 = ,即 a=2b, a 2 c 3b 3 ∴c2=a2-b2=3b2,c= 3b,∴e= = = . a 2b 2 三、解答题 7.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 2,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 求此双曲线的标准方程. 导学号 92600408 x2 y2 [解析] 因为双曲线焦点在 x 轴上,所以设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b F1(-c,0)、F2(c,0). 因为双曲线过点 P(4 2,-3), 32 9 所以 2 - 2=1. a b ①

又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, → → 所以QF1· QF2=0,即-c2+25=0. 所以 c2=25. 又 c2=a2+b2, ② ③

所以由①②③可解得 a2=16 或 a2=50(舍去). x2 y2 所以 b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 - =1. 16 9 x2 y2 8.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线 a b l 的距离为 3 c,求双曲线的离心率. 导学号 92600409 4

[解析] 由 l 过两点(a,0)、(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-ab=0. 由原点到 l 的距离为 3 ab 3 c,得 2 2= 4 c. 4 a +b

将 b= c2-a2代入,平方后整理,得 a2?2 a2 a2 2 -16× 2 +3=0.令 2 =x, 16? ?c ? c c 3 1 则 16x2-16x+3=0,解得 x= 或 x= . 4 4 c 由 e= 有 e= a 1 2 3 .故 e= 或 e=2. x 3 b2 1+ 2> 2, a

a2+b2 c 因 0<a<b,故 e= = = a a

2 3 所以应舍去 e= ,故所求离心率 e=2. 3


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