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高中数学选修2-1公开课课件1.4全称量词与存在量词


1.4 全称量词与存在量词

P21 思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
常见的全称量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “一切” “每一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。
全称量词、全称命题定义:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并 用符号“ ”表示。 ? 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

“任给” “所有的”等 。

全称命题举例:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。

全称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么,

全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:

?x ? M,p( x),
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。
解:(1)假命题; (2)真命题; (3)假命题。

小 结:
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是真命题的方法:

——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是假命题的方法:

——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可 (举反例)

P23

练习:

1 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数;

(2)任何实数都有算术平方根;
( 3)

P22 思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。
常见的存在量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “有些”“有一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。

“对某个”“有的” 存在量词、特称命题定义: 等。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词, ? 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

特称命题举例:
命题:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数。

特称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么,

特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ”可用符号简记为:

?x0 ? M,p( x0 ),

读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

例2 判断下列特称命题的真假:

(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。
解:(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题。

小 结:
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例证明) 判断特称命题"?x0 ? M,p(x0 )"是假命题的方法: ——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。

P23

练 习:

2 判断下列特称命题的真假: ( 1) ?x0 ? R, x0 ? 0;

(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;
( 3)
解:(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题。

练习
3、用符号“? ”与“ ”表达下列命 ? 题: (2 1)存在这样的实数它的平方等于它本身。 )实数都能写成小数形式; ( (3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数; (4)存在实数x,x3>x2;

小结:
1、全称量词、全称命题的定义。 2、全称命题的符号记法。 3、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。 5、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题真假性的方法。

同一全称命题、特称命题,由于自然语言 的不同,可能有不同的表述方法:
命题 全称命题

?x ? M , p( x)

特称命题

?x0 ? M , p( x)

表 述 方 法

①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立

①存在x0∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使p(x)成 立 ④对某个x0∈M,使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M,使p(x)成 立

作业
?

?

1、P31第5题。 2、设a、b、c均为非零实数,求证:方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。


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