2015-2016学年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课件 新人教A版必修4

第三章
三角恒等变换

下图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口 处有一个金字塔建筑， 它的设计者就是著名的美 籍华人建筑师贝聿铭． 那么在测量这类建筑物的 高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC＝ α－β 的正、余弦值，这就需要对两角差的正、 余弦进行变换． 事实上， 变换是数学的重要工具， 同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经 在初中学习过，而且在必修 4 的第一章也涉及同角三角函数的变 换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本 质的一种变换．

第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接 1．任意角的三角函数 如右图，设 α 是一个任意角，它的终边 y ， 与 单 位 圆 交 于 点 P(x ， y) ， 则 sinα ＝ ____ x ，故点P的坐标也可以表示为 cosα ＝ ___ (cosα，sinα) ． ____________

2．两向量的数量积 |a||b|cosθ (1)定义：a· b＝_____________ ，其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角． (2) 定 义 表 示 ： 若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 则 a· b＝ x1 x2 ＋y1 y2 ______________. 3．诱导公式 π π cos α sinα ， sin( － α) ＝ sin( 2 － α) ＝ ________ ， cos( 2 － α) ＝ _______ cosα ，tan(－α)＝_______. －sinα ，cos(－α)＝_______ －tanα _______

4．同角三角函数的基本关系式 sinα π sin α＋cos α＝1，tanα＝cosα(α≠kπ＋2，k∈Z)．
2 2

π 5．正切函数 y＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋2，k∈Z}．

●自主预习 两角差的余弦公式 cosαcosβ＋sinαsinβ (1)cos(α－β)＝____________________. (2)此公式简记作C(α－β)．

[总结]对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的 α、β 都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，cos(α －β)≠cosα－cosβ. ③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候， 逆用更能简洁地处理问题．如由 cos50° cos20° ＋sin50° sin20° 能迅 速地想到 cos50° cos20° ＋ sin50° sin20° ＝ cos(50° － 20° ) ＝ cos30° ＝ 3 2 ；又如 cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα. ④记忆：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号 与左边角的连接符号相反．

●预习自测
1．cos(30° －45° )等于( 2 A． 2 2＋ 3 C． 4
[答案]
[解析]

) 3 B． 2 2＋ 6 D． 4

D
3 cos(30° － 45° ) ＝ cos30° cos45° ＋ sin30° sin45° ＝ 2

2＋ 6 2 1 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .

2．cos45° cos15° ＋sin45° sin15° ＝( 1 A．2 2 C． 2 [答案] B 3 B． 2 3 D． 3

)

3 [解析] 原式＝cos(45° －15° )＝cos30° ＝2.

3．cos105°＝________.

[答案]

2－ 6 4

[解析]

将 105° 表示成 150° －45° ，再用公式 C(α－β)计算，

3 cos105° ＝ cos(150° － 45° ) ＝ cos150° cos45° ＋ sin150° sin45° ＝－ 2 2－ 6 2 1 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .

高效课堂

●互动探究
公式的直接应用 4 π 5 已知 sinα＝5，α∈(2，π)，cosβ＝－13，β 是第三
象限角，求 cos(α－β)． π 4 3 [解析] ∵α∈(2，π)，sinα＝5.∴cosα＝－5，
5 12 又 β 在第三象限且 cosβ＝－13，∴sinβ＝－13 3 5 4 12 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－5×(－13)＋5×(－13) 15 48 33 ＝65－65＝－65.

1 π π 已知 sinθ＝5，θ∈(2，π)，求 cos(θ－3)的值． 1 π 2 6 [解析] ∵sinθ＝5，θ∈(2，π)，∴cosθ＝－ 5 ，

π π π 2 6 1 1 3 则 cos(θ － 3 ) ＝ cosθcos 3 ＋ sinθsin 3 ＝－ 5 × 2 ＋ 5 × 2 ＝ 3－2 6 10 .

[点拨]

依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求

解，是一种常见的题型．

公式的逆应用 计算(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；

(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
[探究] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是否 符合公式的要求，不符合的要先变形调整．

[解析] (1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0； 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝cos60° ＝2.

化简求值：
cos(x＋27°)cos(x－18°)－cos(63°－x)sin(18°－x)．
[解析] 原 式 ＝ cos(x ＋ 27° )cos(x － 18° ) ＋ sin[90° － (63° －

x)]· sin(x－18° )＝cos(x＋27° )cos(x－18° )＋sin(x＋27° )sin(x－18° ) ＝cos[(x＋27° )－(x－18° )] 2 ＝cos45° ＝2.

●探索延拓

角的变换
π 3π 12 3 已知2<β<α< 4 ，cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－5， 求 cos2β.

[探究]

从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系： 2β

＝(α＋β)－(α－β)．

π 3π π 3π [解析] ∵2<β<α< 4 ，∴0<α－β<4，π<α＋β< 2 . ∴sin(α－β)＝ 1－cos ?α－β?＝ cos(α＋β)＝－ 1－sin ?α＋β?＝－
2 2

?12? 5 2 ? ? 1－ 13 ＝13， ? ? ? 3? 4 2 ? ? 1－ －5 ＝－5， ? ?

cos2β ＝ cos[(α ＋ β) － (α － β)] ＝ cos(α ＋ β)cos(α － β) ＋ sin(α ＋ 4 12 ? 3? 5 63 β)sin(α－β)＝－5×13＋?－5?×13＝－65. ? ?

[规律总结]

(1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从

表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分 解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或 可求的，再代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α 1 ＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝2[(α＋β)＋(α－ 1 β)]，α＝2[(β＋α)－(β－α)]等．

1 11 π 已知 cosα＝7，cos(α＋β)＝－14，且 α、β∈(0，2)，求 cosβ 的值．
[ 探究 ] 观察题意，不难得到 β ＝ (α ＋ β) －α 的关系式，然

后利用公式C(α－β)来变形求值．

π [解析] ∵α、β∈(0，2)，∴α＋β∈(0，π)． 1 11 又∵cosα＝7，cos(α＋β)＝－14， 4 3 ∴sinα＝ 1－cos α＝ 7 ，
2

5 3 sin(α＋β)＝ 1－cos ?α＋β?＝ 14 .
2

又∵ β ＝ (α＋ β) － α ，∴ cosβ ＝ cos[(α ＋ β) － α]＝ cos(α ＋β)cosα 11 1 5 3 4 3 1 ＋sin(α＋β)sinα＝(－14)×7＋ 14 × 7 ＝2.

●误区警示 易错点 忽略隐含条件导致错误
2 3 在△ABC 中，sin(A＋B)＝3，cosB＝－4，求 cosA 的值． [错解] 由题意，得
sinB＝ 1－cos B＝
2 2

32 7 1－?－4? ＝ 4 ， 22 5 1－?－3? ＝ 3 ，

cos(A＋B)＝ 1－sin ?A＋B?＝

∴ cosA ＝ cos[(A ＋ B) － B] ＝ cos(A ＋ B)cosB ＋ sin(A ＋ B)sinB ＝ 5 3 2 7 2 7－3 5 . 3 ×(－4)＋3× 4 ＝ 12

[ 错因分析 ] 件． [思路分析]

该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范

围，导致求值错误．在解题中应挖掘出 <A ＋ B<π 这个隐含条 在应用公式时，要注意角的范围，特别在三

角形中，A＋B＋C＝π，A、B、C∈(0，π)．

[正解] 在△ABC 中， 3 2 ∵cosB＝－4<0，sin(A＋B)＝3， π π ∴2<B<π，2<A＋B<π， ∴sinB＝ 1－cos B＝
2 2

32 7 1－?－4? ＝ 4 ， 22 5 1－?3? ＝－ 3 .

cos(A＋B)＝－ 1－sin ?A＋B?＝

∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 5 3 2 7 2 7＋3 5 ＝(－ 3 )×(－4)＋3× 4 ＝ . 12

1 13 π 已知 cosα＝7，cos(α－β)＝14，且 0<β<α<2，求 β 的值． 1 π [解析] 由 cosα＝7，0<α<2，得
sinα＝ 1－cos α＝ π 由 0<β<α<2， π 得 0<α－β<2.
2

12 4 3 1－?7? ＝ 7 .

13 又∵cos(α－β)＝14， ∴sin(α－β)＝ 1－cos ?α－β?＝ 由 β＝α－(α－β)得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝7×14＋ 7 × 14 ＝2. π π ∵0<β<2，∴β＝3.
2

13 2 3 3 1－?14? ＝ 14 .

当堂检测

?π ? 1．cos?3－α?等于( ? ?

) 1 B．2cosα 1 3 D．2cosα－ 2 sinα
3 2 sinα.

1 A．2－cosα 1 3 C．2cosα＋ 2 sinα

[答案]
[解析]

C
?π ? π π 1 ? ? cos 3－α ＝cos3cosα＋sin3sinα＝2cosα＋ ? ?

2．cos39° cos9° ＋sin39° sin9° 等于( 1 A．2 1 C．－2
[答案]
[ 解析 ] 3 2.

)

3 B． 2 3 D．－ 2
B
cos39° cos9° ＋ sin39° sin9° ＝ cos(39° － 9° ) ＝ cos30° ＝

3．cos165° 等于( 1 A．2 6＋ 2 C．－ 4
[答案] C

) 3 B． 2 6－ 2 D．－ 4

[解析]

cos165° ＝ cos(180° － 15° ) ＝ － cos(45° － 30° )＝－

6＋ 2 (cos45° cos30° ＋sin45° sin30° )＝－ 4 .

3 4．满足 cosαcosβ＝ 2 －sinαsinβ 的一组 α，β 的值是( 13 3π A．α＝12π，β＝ 4 π π C．α＝2，β＝6 π π B．α＝2，β＝3 π π D．α＝3，β＝4

)

[答案]

B

3 [解析] 由条件 cosαcosβ＝ 2 －sinαsinβ 得 3 3 π π cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 2 ，即 cos(α－β)＝ 2 ，α＝2，β＝3满足 条件．

5．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝________. [答案] cosβ [解析] 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ.

4 π π 6．已知 sinα＝5，α∈(2，π)，求 sin(4＋α)的值． 4 π [解析] 由 sinα＝5，α∈(2，π)，
3 得 cosα＝－ 1－sin α＝－5.
2

π π π π ∴sin(4＋α)＝cos[2－(4＋α)]＝cos(4－α) 2 2 2 3 4 2 ＝ 2 cosα＋ 2 sinα＝ 2 ×(－5＋5)＝ 10 .