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2015-2016学年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课件 新人教A版必修4


第三章
三角恒等变换

下图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫,它的正门入口 处有一个金字塔建筑, 它的设计者就是著名的美 籍华人建筑师贝聿铭. 那么在测量这类建筑物的 高度时(如右图),我们需要来解复合角∠DAC= α-β 的正、余弦值,这就需要对两角差的正、 余弦进行变换. 事实上, 变换是数学的重要工具, 同时也是高中数学学习的主要对象之一.其中代数变换我们已经 在初中学习过,而且在必修 4 的第一章也涉及同角三角函数的变 换.与代数变换一样,三角变换也是一种只变其形,不改变其本 质的一种变换.

第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接 1.任意角的三角函数 如右图,设 α 是一个任意角,它的终边 y , 与 单 位 圆 交 于 点 P(x , y) , 则 sinα = ____ x ,故点P的坐标也可以表示为 cosα = ___ (cosα,sinα) . ____________

2.两向量的数量积 |a||b|cosθ (1)定义:a· b=_____________ ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角. (2) 定 义 表 示 : 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a· b= x1 x2 +y1 y2 ______________. 3.诱导公式 π π cos α sinα , sin( - α) = sin( 2 - α) = ________ , cos( 2 - α) = _______ cosα ,tan(-α)=_______. -sinα ,cos(-α)=_______ -tanα _______

4.同角三角函数的基本关系式 sinα π sin α+cos α=1,tanα=cosα(α≠kπ+2,k∈Z).
2 2

π 5.正切函数 y=tanx 的定义域为{x|x≠kπ+2,k∈Z}.

●自主预习 两角差的余弦公式 cosαcosβ+sinαsinβ (1)cos(α-β)=____________________. (2)此公式简记作C(α-β).

[总结]对两角差的余弦公式的理解: ①公式中的 α、β 都是任意角. ②差角的余弦公式不能按分配律展开,即一般情况下,cos(α -β)≠cosα-cosβ. ③公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用,在很多时候, 逆用更能简洁地处理问题.如由 cos50° cos20° +sin50° sin20° 能迅 速地想到 cos50° cos20° + sin50° sin20° = cos(50° - 20° ) = cos30° = 3 2 ;又如 cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα. ④记忆:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号 与左边角的连接符号相反.

●预习自测
1.cos(30° -45° )等于( 2 A. 2 2+ 3 C. 4
[答案]
[解析]

) 3 B. 2 2+ 6 D. 4

D
3 cos(30° - 45° ) = cos30° cos45° + sin30° sin45° = 2

2+ 6 2 1 2 × 2 +2× 2 = 4 .

2.cos45° cos15° +sin45° sin15° =( 1 A.2 2 C. 2 [答案] B 3 B. 2 3 D. 3

)

3 [解析] 原式=cos(45° -15° )=cos30° =2.

3.cos105°=________.

[答案]

2- 6 4

[解析]

将 105° 表示成 150° -45° ,再用公式 C(α-β)计算,

3 cos105° = cos(150° - 45° ) = cos150° cos45° + sin150° sin45° =- 2 2- 6 2 1 2 × 2 +2× 2 = 4 .

高效课堂

●互动探究
公式的直接应用 4 π 5 已知 sinα=5,α∈(2,π),cosβ=-13,β 是第三
象限角,求 cos(α-β). π 4 3 [解析] ∵α∈(2,π),sinα=5.∴cosα=-5,
5 12 又 β 在第三象限且 cosβ=-13,∴sinβ=-13 3 5 4 12 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-5×(-13)+5×(-13) 15 48 33 =65-65=-65.

1 π π 已知 sinθ=5,θ∈(2,π),求 cos(θ-3)的值. 1 π 2 6 [解析] ∵sinθ=5,θ∈(2,π),∴cosθ=- 5 ,

π π π 2 6 1 1 3 则 cos(θ - 3 ) = cosθcos 3 + sinθsin 3 =- 5 × 2 + 5 × 2 = 3-2 6 10 .

[点拨]

依据角的范围确定函数的符号,再利用差角公式求

解,是一种常见的题型.

公式的逆应用 计算(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°;

(2)cos(35°-α)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α).
[探究] 逆用公式时,要查名称、查角、查运算符号是否 符合公式的要求,不符合的要先变形调整.

[解析] (1)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=0; 1 (2)原式=cos[(α-35° )-(25° +α)]=cos(-60° )=cos60° =2.

化简求值:
cos(x+27°)cos(x-18°)-cos(63°-x)sin(18°-x).
[解析] 原 式 = cos(x + 27° )cos(x - 18° ) + sin[90° - (63° -

x)]· sin(x-18° )=cos(x+27° )cos(x-18° )+sin(x+27° )sin(x-18° ) =cos[(x+27° )-(x-18° )] 2 =cos45° =2.

●探索延拓

角的变换
π 3π 12 3 已知2<β<α< 4 ,cos(α-β)=13,sin(α+β)=-5, 求 cos2β.

[探究]

从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系: 2β

=(α+β)-(α-β).

π 3π π 3π [解析] ∵2<β<α< 4 ,∴0<α-β<4,π<α+β< 2 . ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= cos(α+β)=- 1-sin ?α+β?=-
2 2

?12? 5 2 ? ? 1- 13 =13, ? ? ? 3? 4 2 ? ? 1- -5 =-5, ? ?

cos2β = cos[(α + β) - (α - β)] = cos(α + β)cos(α - β) + sin(α + 4 12 ? 3? 5 63 β)sin(α-β)=-5×13+?-5?×13=-65. ? ?

[规律总结]

(1)利用差角的余弦公式求值时,不能机械地从

表面去套公式,而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分 解成某两个角的差,并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或 可求的,再代入公式即可求解. (2)在将所求角分解成某两角的差时,应注意如下变换:α=(α 1 +β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=2[(α+β)+(α- 1 β)],α=2[(β+α)-(β-α)]等.

1 11 π 已知 cosα=7,cos(α+β)=-14,且 α、β∈(0,2),求 cosβ 的值.
[ 探究 ] 观察题意,不难得到 β = (α + β) -α 的关系式,然

后利用公式C(α-β)来变形求值.

π [解析] ∵α、β∈(0,2),∴α+β∈(0,π). 1 11 又∵cosα=7,cos(α+β)=-14, 4 3 ∴sinα= 1-cos α= 7 ,
2

5 3 sin(α+β)= 1-cos ?α+β?= 14 .
2

又∵ β = (α+ β) - α ,∴ cosβ = cos[(α + β) - α]= cos(α +β)cosα 11 1 5 3 4 3 1 +sin(α+β)sinα=(-14)×7+ 14 × 7 =2.

●误区警示 易错点 忽略隐含条件导致错误
2 3 在△ABC 中,sin(A+B)=3,cosB=-4,求 cosA 的值. [错解] 由题意,得
sinB= 1-cos B=
2 2

32 7 1-?-4? = 4 , 22 5 1-?-3? = 3 ,

cos(A+B)= 1-sin ?A+B?=

∴ cosA = cos[(A + B) - B] = cos(A + B)cosB + sin(A + B)sinB = 5 3 2 7 2 7-3 5 . 3 ×(-4)+3× 4 = 12

[ 错因分析 ] 件. [思路分析]

该解法忽略了隐含条件,没有注意角的范

围,导致求值错误.在解题中应挖掘出 <A + B<π 这个隐含条 在应用公式时,要注意角的范围,特别在三

角形中,A+B+C=π,A、B、C∈(0,π).

[正解] 在△ABC 中, 3 2 ∵cosB=-4<0,sin(A+B)=3, π π ∴2<B<π,2<A+B<π, ∴sinB= 1-cos B=
2 2

32 7 1-?-4? = 4 , 22 5 1-?3? =- 3 .

cos(A+B)=- 1-sin ?A+B?=

∴cosA=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB 5 3 2 7 2 7+3 5 =(- 3 )×(-4)+3× 4 = . 12

1 13 π 已知 cosα=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,求 β 的值. 1 π [解析] 由 cosα=7,0<α<2,得
sinα= 1-cos α= π 由 0<β<α<2, π 得 0<α-β<2.
2

12 4 3 1-?7? = 7 .

13 又∵cos(α-β)=14, ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= 由 β=α-(α-β)得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π ∵0<β<2,∴β=3.
2

13 2 3 3 1-?14? = 14 .

当堂检测

?π ? 1.cos?3-α?等于( ? ?

) 1 B.2cosα 1 3 D.2cosα- 2 sinα
3 2 sinα.

1 A.2-cosα 1 3 C.2cosα+ 2 sinα

[答案]
[解析]

C
?π ? π π 1 ? ? cos 3-α =cos3cosα+sin3sinα=2cosα+ ? ?

2.cos39° cos9° +sin39° sin9° 等于( 1 A.2 1 C.-2
[答案]
[ 解析 ] 3 2.

)

3 B. 2 3 D.- 2
B
cos39° cos9° + sin39° sin9° = cos(39° - 9° ) = cos30° =

3.cos165° 等于( 1 A.2 6+ 2 C.- 4
[答案] C

) 3 B. 2 6- 2 D.- 4

[解析]

cos165° = cos(180° - 15° ) = - cos(45° - 30° )=-

6+ 2 (cos45° cos30° +sin45° sin30° )=- 4 .

3 4.满足 cosαcosβ= 2 -sinαsinβ 的一组 α,β 的值是( 13 3π A.α=12π,β= 4 π π C.α=2,β=6 π π B.α=2,β=3 π π D.α=3,β=4

)

[答案]

B

3 [解析] 由条件 cosαcosβ= 2 -sinαsinβ 得 3 3 π π cosαcosβ+sinαsinβ= 2 ,即 cos(α-β)= 2 ,α=2,β=3满足 条件.

5.sin(α-β)sinα+cos(α-β)cosα=________. [答案] cosβ [解析] 原式=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cosβ.

4 π π 6.已知 sinα=5,α∈(2,π),求 sin(4+α)的值. 4 π [解析] 由 sinα=5,α∈(2,π),
3 得 cosα=- 1-sin α=-5.
2

π π π π ∴sin(4+α)=cos[2-(4+α)]=cos(4-α) 2 2 2 3 4 2 = 2 cosα+ 2 sinα= 2 ×(-5+5)= 10 .


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