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《三角恒等变换》章末总结


高二数学导学案

《三角恒等变换》章末总结
一、教学目的: 对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳 总结。 二、重点、难点: 公式的灵活应用 三、知识分析:
1、 本章网络结构

tan 2? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? ? ?? ???? tan??

? ?? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?
相除 相除

S ? ?? ? S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos ? ? 1
2

? ?? ????

? 1 ? 2 sin ?
2

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
移项

? ? 2?

? 1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2
2

变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

1

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2、要点概述: (1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法, “1”的代换法等。 (2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如

2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??,? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
? 2? ? ? 是 的半角, 是 的倍角等。 3 3 2 4 (3)要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊 角为特殊角,正确选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 (4)求值的类型: ①“给角求值” :一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细 观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合 和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数 而得解。 ②“给值求值” :给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数 值,解题关键在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系。 ③“给值求角” :实质上可转化为“给值求值” ,关键也是变角,把所求角用 含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

(5) 灵 活 运 用 角 和 公 式 的 变 形 , 如 : 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ,

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ???1 ? tan ? tan ?? 等,另外重视角的范围对三角函数值的影
响,因此要注意角的范围的讨论。 (6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量 统一) ,二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般 是“切割化弦” ) ,有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定。 (7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法: ①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。

2

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3、题型归纳 (1)求值题 例 1. 已知 ? ? ?

12 ?? ?? ? 3 ?5 ? ? ? 3? ? ? 且 cos? ? ?? ? , sin? ? ? ?? ? ? , , ?, ? ? ? 0, ? , ?4 ? 5 ?4 ? ?4 ? 13 4? 4?

求 cos?? ? ?? 。

点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键; <2> 常 见 角 的 变 换 : 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??,? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ,

?? ? ?? ? ? ? ? x? ? ? ? x? ? 等。 ?4 ? ?4 ? 2
(2)化简题

例 2. 化简:

?1 ? sin ? ? cos ??? ? sin ?

? ?? ? cos ? 2 2? ,其中 ? ? ? ? 2 ? 。 2 ? 2 cos ?

3

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(3)证明题 例 3. 求证:

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

(4)与向量、三角形等有关的综合题 例 4. 平面直角坐标系内有点 P 1, cos x ,Q cos x,1 ,x ? ?? (1)求向量 OP 与 OQ 的夹角θ的余弦; (2)求 cos ? 的最值。

?

?

?

?

? ? ?? , ?。 4? ? 4

?

?

4

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【模拟试题】 一. 选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.

sin 15o ? cos15o 的值为( sin 15o ? cos15o



A.

3 3

B.

2? 6 4


C.

2? 6 4

D. ? 3

2.

1 3 cos ? ? sin ? 可化为( 2 2 ?? ? ? ?? ?6 ? ?? ? ? ?? ?6 ? ? ? ?? 2?
B.

A. sin?

B. sin?

?? ? ? ?? ?3 ? ?? ? ? ?? ?3 ?


C. sin?

D. sin?

3. 若 ?、? ? ? 0, ? ,且 tan ? ?

4 1 , tan ? ? ,则 ? ? ? 的值是( 3 7
C.

A.

? 3

? 4

? 6

D.

? 8


4. 函数 y ? 8 sin x cos x cos 2x 的周期为 T,最大值为 A,则( A. T ? ?,A ? 4 C. T ? ?,A ? 2 5. 已知 A.

? ,A ? 4 2 ? D. T ? ,A ? 2 2
B. T ? ) C. 2 2 ? 2 ) D. D. 2 ? 2 2

1 1 ? ? 1 ,则 sin 2? 的值为( cos ? sin ?
B. 1 ? 2

2 ?1

6. 已知 tan ? ? A. ?

6 5

1 1 2 ,则 cos ? ? sin 2? ( 3 2 4 4 B. ? C. 5 5


6 5

7. 设 f (tan x) ? tan 2x ,则 f (2) ? ( A. 4 8. B.

4 5


C. ?

2 3

D. ?

4 3

2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值是(
B. ? cos2

A. sin 2

C. ? 3 cos 2
5

D.

3 cos 2

高二数学导学案 9. 在△ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为

11. 已知向量 OB ? 2,0 ,向量 OC ? 2 ,2 ,向量 CA ? 则向量 OA 与 OB 的夹角范围为( A. ?0, ? 4? ? C. ? , ? 2? ? 12

?

?

?

?

?

?

?

1 的锐角 3

?

2 cos ?, 2 sin ? ,

?

?

?

) B. ? , 12 ? ?4 ? D. ? , ?12 12 ? ? )

?

??

??

5? ?

? 5?

??

??

5? ?

12. 已知: 3cos?2? ? ?? ? 5cos? ? 0 ,则 tan?? ? ?? tan ? 的值为( A. ?4 B. 4 二. 填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 已知 sin ? ? cos ? ? C. ?4 D. 1

1 ,则 cos4? ? _____________。 3

14. 函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 的最小正周期为_____________。 15. 已知 ? ? ? ? 则

? ,且 ?、? 满足关系式 3?tan ? tan ? ? a? ? 2 tan ? ? 3 tan ? ? 0 , 6

tan ? ? _____________。
16. 已知 f ( x) ?

1? x ?? ? 。若 ? ? ? ,?? ,则 f (cos ?) ? f ( ? cos ?) 可化简为 ?2 ? 1? x

_____________。 三. 解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17. 求值: tan 70o cos10o ·( 3 tan 20o ? 1)

6

高二数学导学案 18. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合; (3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性。

19. 若已知 cos?

sin 2 x ? 2 sin 2 x 7? ?? ? 3 17? ,求 的值。 ? x? ? , ?x? ?4 ? 5 1 ? tan x 12 4

7

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20. 已知α、β为锐角,且 3sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1,3sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 。 求证: ? ? 2? ?

? 2

8

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[参考答案]
一. 选择题: 1. D 2. A 7. D 8. C 二. 填空题: 13. ? 3. B 9. A 14. ? 4. D 10. B 5. A 11. D 6. D 12. C

47 81

15.

3?1 ? a?

16.

2 sin ?

三. 解答题: 17. 解:原式 ?

? 3 sin 20 o ? sin 70 o o · cos 10 ? 1? ? o o cos 70 ? cos 20 ?

sin 70 o cos 70 o cos10 o · cos 20 o o ? 3 cos10 ? 2 sin 10 o · cos10 o ? 3 cos10 o ? cos10 o · 3 sin 20 o ? cos 20 o 2 sin 10 o sin 20· cos 30 o ? cos 20 o · sin 30 o ? sin 10 o sin 20 o ? 30 o ? sin 10 o ? ?1 ?

?

?

18. 解: f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? sin 2 x ? 2 2 2

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 ?? ? ? sin? 2 x ? ? ? 1 ? 6? ?
2? 2? ? ?? ? 2 ? ? (2)当 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 6 2
(1) T ? 即 x ? ?x| x ? k? ? 当 2x ?

? ?

? ? ,k ? Z? 时, f ( x) max ? 2 3 ?

? ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 6 2

即 x ? ?x| x ? k? ?

? ?

? ? ,k ? Z? 时, f ( x) min ? 0 6 ?
9

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? ? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? ? k ? Z? 时, f ( x) 单调递增。 6 3 ? ? 3? 当 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ?k ? Z? 2 6 2 ? 5? 即 k? ? ? x ? k? ? ?k ? Z? 时, f ( x) 单调递减。 3 6
(3)当 2 k? ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

? ?? ,k? ? ? ?k ? Z? 6 3?

? 5 ? ? f ( x) 的单调递减区间为 ?k? ? ,k? ? ?? ?k ? Z? 3 6 ? ?
19. 解法 1: ∵ cos?

7? ?? ? 3 17? ? ?? ? , ?x? ?4 ? 5 12 4



3? ? 4 ?? ? ? ? x ? 2 ? ,则 sin? ? x? ? ? ?4 ? 5 4 5

从而 cos x ? cos??

?? ? ? ?? ? x? ? ? ? 4? ?? 4

? ?? ? ?? ? ? ? cos? ? x ? cos ? sin ? ? x ? sin 4 4 ?4 ? ?4 ?
3 2 ? 4? 2 2 ? ? ? ?? ?? ?? 5 2 ? 5? 2 10
∴ sin x ? ? 1 ? cos2 x ? ? 7 2 , tan x ? 7 10
2

? 7 2? ? ? 7 2? 2? 2 ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? ?? ? 2 10 10 10 ? ? ? ? ? ? 2 sin x cos x ? 2 sin x ? 故原式 ? 1? 7 1 ? tan x 28 ?? 75
解法 2:原式 ?

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x

?

2 sin x cos x?1 ? tan x?

1 ? tan x ?? ? ? sin 2 x tan? ? x? ?4 ?
10

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17 7? 5? ? ??x? ,∴ ? ? x ? 2? 12 4 3 4

又 cos?

4 ?? ? 3 ?? ? ? x? ? ,∴ sin? ? x? ? ? ?4 ? 5 ?4 ? 5

即 tan?

4 ?? ? ? x? ? ? ?4 ? 3

则 sin 2x ? sin?2?

? ?? ? ?? ? x? ? ? ? 2? ? ?4

?? ? ? ? cos 2? ? x ? ?4 ? ? ?? ? ? 7 ? ? ?2 cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 25 ?
故原式 ?

7 ? 4? 28 ? ?? ? ? ? ? ? 25 3 75

20. 证法 1:由已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1

3 sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 ∴ 3 sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? cos 2? 3 sin 2? ? sin 2? ? 3 sin ? cos ? 2
∴ cos?? ? 2?? ? cos ? cos 2? ? sin ? sin 2? ? cos ?· 3 sin 2 ? ? sin ?· 3 sin ? cos ? ?0
∵α、β为锐角, ∴ 0 ? ? ? 2? ?

∴? ? 2? ?

? 2

3? 2

证法 2:由已知条件得:

3 sin 2 ? ? cos 2? 3 sin ? cos ? ? sin 2?
又∵α、β为锐角

?1? ?2?
? ? ? 2? ,即 ? ? 2? ? 2 2

∴? ?

11


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