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向量的概念和表示


高一数学(必修 4)平面向量

向量的概念及表示
一.教学目标: (一)知识目标: (1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示; (2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; (3)会区分平行向量、相等向量和共线向量. (二)能力目标:通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. (三)情感目标:通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学 本质的能力. 二.教学重点、难点; 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示 向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 难点突破:借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行 向量、相等向量、共线向量等概念. 三.教学过程, (一)情景设置 (1)湖面上有三个景点 O,A,B,(如图)一游艇将 游客从景点 O 送至景点 A,半小时后,游艇再将游客 送至景点 B.从景点 O 到景点 A 有一个位移,从景点 A 到景点 B 也有一个位移。 位移和距离这两个量有什么不同? (2)一个质量 m=60kg 的物体放在光滑的水平面上,在 与水平方向成 α =60 °角斜向上的拉力 F=10N 的作用 下向左运动了 5m ,求拉力所做的功。 物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。 问:再举出一些向量和数量 数量:距离、质量、身高、时间、密度、以及体 检中的视力、 肺活量等 向量:位移、力、速度、加速度等 设计意图: 我们知道,学习总是与一定知识背景即情境相联系的。在实际情境下进行学习,可以使 学生利用已有知识与经验,同化和索引出当前学习的新知识。这样获取的知识,不但便于保 持,而且易于迁移到陌生的问题情境中。 (二)新课学习 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
1

o

B

A

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2.向量的表示方法: (1)几何表示法:用有向线段表示向量,长度表示向量的大 小,箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)用字母等表示; ①用有向线段字母表示: AB (A 为起点、B 为终点) ; ②用小写字母表示: a 、 b 、 c ; (印刷用 a,书写用 a ) 注:小写字母表示平面向量时,字母上的箭头不能省略。 3.向量的有关概念: (1)大小: ①向量的模:向量 AB 的大小称为向量的长度(或称为模) ,记作| AB |. ②零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 . 思考: 0 与 0 的含义与书写区别. ③单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量. 思考:平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们 的终点的轨迹是什么图形? (2)方向: 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作 a // b 。 规定: 0 与任一向量平行. 思考:若 a // b , b // c ,则 a // c ? (3)大小与方向: ①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作 a = b 。 如:平行四边形 ABCD 中, AB = DC . 向量是否相等只与大小和方向有关,与起点无关.
2

a
A(起点)

B (终点)

y

O

1 x

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②相反向量:与 a 向量长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量,记作- a 。 规定:- 0 = 0 。 0 的相反向量仍是 0 。 对于任一向量 a 有-(- a )= a 。 a 与- a 互为相反向量 。 相等向量和相反向量都是平行向量。 概念辨析:向量平行与直线平行 两条直线平行不包括重合的情况,而向量的平行包括两个向量在同一条直线上(同向或 反向)的情形 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。 ③共线向量:平行向量就是共线向量。 规定: 0 与任一向量共线. 设计意图: (1)零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等系列化概念之间的关系是什 么?(明确要领。 ) (2)这些概念的比较可以让学生加强对“向量”概念的理解,以便更好地“数形结合” 。 (3)为了让学生很好的完成这个探究活动,始终引导学生抓住大小与方向两个方面,让 学生去发现结论,再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程,同时也 培养了学生的创新意识。 (三)理解和巩固: 例 1 已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,在图中所标出的向量中: (1)试找出与 FE 共线的向量; (2)确定与 FE 相等的向量; (3) OA 与 BC 相等吗? 解: (1)与 FE 共线的向量有 BC 和 OA ; 引申:除 FE 外,图中所给 7 点的连线中,与 FE 共线的向量有几个? 9 个
3

E

D

F

O

C

A

B

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(2) BC 与 FE 长度相等且方向相同,故 BC = FE ; 引申:除 FE 外,图中所给 7 点的连线中,与 FE 相等的向量有几个? 3 个 (3)虽然 OA // BC ,且| OA |=| BC |,但它们方向相反,故这两个向量并不相等。 引申:除 OA 外,图中所给 7 点的连线中,与 OA 互为相反向量的向量有几个? 4 个 例 2:回答下列问题: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 设计意图: 知识性内容的总结,可以把课堂教学传授的知识,尽快转化为学生的素质。 例 3 在图中的 4×5 方格纸中有一个向量 AB ,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其 中与 AB 相等的向量有多少个?与 AB 长度相等的共线向量有多少个( AB 除外)? 解:当向量 CD 的起点 C 是图中所圈的格点时, 可以作出与 AB 相等的向量。这样的格点共有 8 个,除去点 A 外,还有 7 个,所以共有 7 个向量与 AB 相等。与 AB 长度 相等的共线向量( AB 除外)共有 7×2+1=15(个) 设计意图: C 要善于在实际生活中,发现问题,从而提炼出相应的数学问题。发现作为一种意识,可 以解释为“探察问题的意识” ;发现作为一种能力可以解释为“找到新东西”的能力,这是 培养创造力的基本途径。 例 4 对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形? (1)把平行于直线 L 的所有单位向量的起点平移到 L 上的点 P; (2)把所有单位向量的起点平行移动到同一点 P;
4

B D

A

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(3)把平行于直线 L 的一切向量的起点平移到 L 上的点 P。 解:(1)是直线 L 上与点 P 的距离为 1 的两个点; (2)是以 P 点为圆心,以 1 个单位长为半径的圆; (3)直线 L 设计意图: 问题的解决,采用了“数形结合”的数学思想,体现 了数学思想方法是解决问题的根本途径。 课堂练习:P59 练习 1,2,3,4 设计意图: 主要让学生消化本节课所学的概念 (四)小结 1.向量的概念; 2.向量的表示:代数表示、几何表示; 3.研究向量的两个方面: 大小:零向量、单位向量; 方向:共线向量、平行向量; 大小与方向:相等向量、相反向量 4.数学思想方法:数形结合、分类讨论(注意对 0 的讨论)。 设计意图: 主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容以及注意点,并对本节课所涉及 到的思想方法加以总结,达到提高认识,形成体系的目的。 四、课后作业: 书本 59 页习题 2.1 第 1、3、4 题 五、板书设计 向量的概念和表示 1.向量的概念: 2.向量的表示方法: 3.向量的有关概念: 大小:向量的模,零向量,单位向量 方向:平行向量,共线向量 大小与方向:相等向量,相反向量
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B

E D

A C

F

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