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巩固练习


【巩固练习】
一、选择题 1、已知:F1,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B, a2 b2
) C、4a+2m D、4a-m

若 AB ? m ,△ABF2 的周长为( A、4a B、4a+m

2 、若点 P 到点 F(4,0) 的距离

比它到直线 x+5=0 的距离小 1 ,则 P 点的轨迹方程是 ( A、y2=-16x ) B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标 分别为(-1,0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、 )

x2 y2 ? ?1 4 3
x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3

B、

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) 4 3

C、

D、

4. 设双曲线 率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点, 则双曲线的离心 2 a b

) B. 5
2

5 4

C.

5 2

D. 5

5.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A.



4 3

B.

7 5

C.

8 5

D.3

6. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5 )
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 7. 已知椭圆 B. 3

D. 10

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , 点 B 在椭圆上, 且 BF ? x a 2 b2

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

二、填空题 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9.F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动 4 3
F 0 ′

y A F P H x

点。 PA ? PF 的最小值为

10. 抛 物 线 y 2 ? 4 x 与 斜 率 为 1 且 过 焦 点 的 直 线 l 交 于 A 、 B 两 点 , 则

OA ? OB ?
2



11. 在抛物线 y =16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________ 三、解答题 12、△ABC 中,A(3,0), BC ? 2 ,BC 在 y 轴上,且在[-3,3]间滑动,求△ABC 外心的轨迹 方程。 13.已知抛物线 y =2px(p>0),一条长为 4p 的弦 AB 的两个端点 A、B 在抛物线上滑动,求此 动弦的中点 Q 到 y 轴的最小距离.
2

x2 y2 14. 如图,F 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆 a b
的两个顶点,椭圆的离心率为

1 .点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C, 2

F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆的方程: ( Ⅱ ) 过 点 A 的 直 线 l2 与 圆 M 交 于 PQ 两 点 , 且

MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程.
x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1、F2,一条直线 l 经过 F1 且与椭圆 15.如图所示,椭圆 16 7
相交于 A、B 两点.

(1)求△ABF2 的周长; (2)若 l 的倾斜角是 45°,求△ABF2 的面积.

【答案与解析】
1、 【答案】C 【解析】 AF2 ? AF 1 ? 2a, BF 2 ? BF 1 ? 2a , ∴ AF2 ? BF2 ? AB ? 4a, AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ? 2m, 选 C 2、 【答案】C 【解析】点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离, P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右, 则方程为 y2=16x, 选C 3、 【答案】D 【解析】∵ AB ? AC ? 2 ? 2 ,且 AB ? AC ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4. 【答案】D

b ? x2 y2 b ? y? x 【解析】双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x , 由方程组 ? a , 消去 y, 得 a a b 2 ? ? y ? x ?1
x2 ? b b x ? 1 ? 0 有 唯 一 解 , 所 以 △ = ( )2 ? 4 ? 0 , a a
所 以

b c a 2 ? b2 b ? 2 ,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a
5. 【答案】A; 【解析】抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离
2

d?

| 4 x ? 3 y ? 8 | | 4 x ? 3x 2 ? 8 | ? 5 5

2 20 | 3( x ? )2 ? | 3 3 ? 4 ,故距离的最小值是 4 . ? 3 3 5
6. 【答案】C 【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 , 直线与两渐近线的交点为 B,C, B ? 则有 BC ? (

? a2 ab ? a2 ab , , C ( ,? ), ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?

2a 2b 2a 2b ab ? ? ab , ? ), AB ? ? ? , ?, 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a ?b a ?b ?

因 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 . 7. 【答案】D 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ? 8、 【答案】4 【解析】 a 2 ? b 2 ? 4, c 2 ? 8, c ? 2 2 ,令 x ? 2 2 代入方程得 8-y2=4 ∴y2=4,y=±2,弦长为 4 9. 【答案】4- 5 【解析】设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?

1 2

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 10.【答案】-3; 【解析】∵抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 (1, 0) ,∴直线 l : y ? x ? 1 , 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? y ? x ?1 ? y ? 4x
2

2 ,得 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,

有 x1 ? x2 ? 6 , x1 x2 ? 1 , 故

OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (x1 ?1)(x2 ?1) ? 2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1 ? ?3 .
11. 【答案】8x-y-15=0 ; 2 【解析】设所求直线与 y =16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 代入抛物线方程得 y1 ? 16x1, y2 ? 16x2 ,

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2) 即

y1 - y2 16 ? ? k AB ? 8 x1 - x2 y1 ? y2
则 C(0,t+2),-3≤t≤1

故所求直线方程为 y=8x-15 12、 【解析】设 C 在 B 的上方,设 B(0,t),

设外心为 M(x,y),因 BC 的中垂线为 y=t+1 ①

t t 3 3 AB 的中垂线为 y ? ? ( x ? ) ② 3 2 t 2 4 2 由①、②消去 t 得 y ? 6( x ? )( ?2 ? y ? 2) 这就是点 M 的轨迹方程。 3
AB 中点为 ( , ) , k AB ? ?

3 t 2 2

13. 【解析】 设 F 为焦点,A(x1,y1), B(x2,y2) ,则 Q ( 其到 y 轴的距离为 即可,

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

x1 ? x2 x ? x2 ,所以要使中点 Q 到 y 轴的距离最小,只需 1 最小 2 2

p p , | BF |? x2 ? ,|AF|+|BF|≥|AB|, 2 2 x ? x2 3 p ? 所以 x1+x2+p≥|AB|, 即 x1+x2+p≥4p, 1 ; 2 2 3p ∴点 Q 到 y 轴的最小距离为 。 2
由抛物线定义有 | AF |? x1 ? 14. 【解析】 (1)F(-c,0),B(0, 3a ),∵kBF= 3 ,kBC=-

3 , 3

C(3c,0)

且圆 M 的方程为(x-c)2+y2=4c2,圆 M 与直线 l1:x+ 3 u+3=0 相切,



1? c ? 3 ? 0 ? 3 1? 3

? 2c ,解得 c=1,∴所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2) 点 A 的坐标为(-2,0),圆 M 的方程为(x-1)2+y2=4, 过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交,设直线 l2 的方程为 y=k(x+2), ∵ MP ? MQ ? ?2 ,又 MP ? MQ ? 2 ,∴cos<MP,MQ>=

MP ? MQ MP ? MQ

??

1 2

∴∠PMQ=120°,圆心 M 到直线 l2 的距离 d=

k ? 2k 1 2 r ? 1 ,所以 ? 1 ,∴k= ? 2 4 k 2 ?1

所求直线的方程为 x×2 2 y +2=0.

15. 【解析】 (1)由 =2a+2a=4a=16.

x2 y 2 ? ? 1, 知 a=4, △ABF2 的周长: (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|) 16 7

x2 y 2 ? ? 1 可得 F1(-3,0),F2(3,0), (2)由椭圆方程 16 7
∴ l 的方程为 y=x+3. 将直线方程代入椭圆方程,整理得 23x2+96x+32=0, ∴

x1 ? x2 ? ?

96 32 , x1 x2 ? , 23 23

?? 96 ?2 32 ? 112 . | AB | ? (1 ? 1) ?? ? ? ? 4 ? ? ? 23 ? ?? 23 ? ? 23 ?
设点 F2 到直线 l 的距离为 d,则 d ?

| 3?0?3| ?3 2. 2
168 2 . 23



S△ ABF2 ?

1 1 112 | AB | d ? ? ? 3 2 ? 2 2 23


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