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二维离散型随机变量及其分布律


第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义: 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对, (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。

例:抛掷两枚硬币一次,观察出现正反的情况,令
?0 ξ=? ?1 ?0 ,η= ? A币出现正面 ?1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面

则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1

2. 联合分布律
定义: 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ,若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
ij

∑∑ p
i =1 j =1





=1 L i,j=1,2, 为二维离散

则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}

型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
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3. 边缘分布律
定义: 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为:pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似,(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L

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4. 条件分布律 定义:当p{η = yj} = p.j > 0时,
pη {ξ = xi | η = yj} = pij p.j i=1,2, L

称之为随机变量ξ 在η = yj条件下的条件分布律。 类似,当p{ξ = xi} = pi. > 0时, pη {η = yj | ξ = xi} = pij pi. j=1,2, L

称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
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5. 随机变量的独立性
定义: 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j,恒有pij ≡ pi. p. j,即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。

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推广:设n维离散型随机变量(ξ1 , ξ 2, ,ξ n )分别取值 L 为xi1 ,xi2 ,L , xin , 且对一切i1 , i2 , ,in 有 L p{ξ1 = xi1 , ξ 2 =xi2, ,ξ n =xin } L = p{ξ1 = xi1 } p{ξ 2 =xi2 }L p{ξ n =xin } 就称ξ1 , ξ 2, ,ξ n相互独立。 L

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