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高一数学人教A版必修1课后强化作业:2.3《幂函数》


第二章

2.3

一、选择题 1.下列幂函数为偶函数的是( A.y=x C.y=x [答案] D 2.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是(
1
-1

) B.y=x
1 2

D.y=x2

)

A.y=x3 C.y=x
3

B.y=x2 D.y=x
1 2

[答案] B [解析] 函数 是减函数. 1 3. 设 α∈{-1,1, , 3}, 则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( 2 A.1,3 C.-1,3 [答案] A [解析] 函数 y=x
-1

1 y=x3

,y=x ,y=x 在各自定义域上均是增函数,y=x2 在(-∞,0)上

3

1 2

)

B.-1,1 D.-1,1,3

的定义域是{x|x≠0},函数 y=x 的定义域是[0,+∞),函数 y=x

1 2

和 y=x3 的定义域为 R 且为奇函数. 1 4.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),那么该幂函数的解析式是( 2 A.y=x C.y=x
1 2 1
-2

)

B.y=x

1 4

D.y=x

-1

[答案] D 1 [解析] 设 y=f(x)=xα(α 是常数),则- =(-2)α, 2 所以(-2) 1=(-2)α,


所以 α=-1. 故所求幂函数为 y=x 1.


1 5.函数 y=xα 与 y=αx(α∈{-1, ,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( 2

)

[答案] C [解析] 直线对应函数 y=x,曲线对应函数为 y=x
1 2
-1,

1≠-1.故 A 错;直线对应函数为

1 y=2x,曲线对应函数为 y=x ,2≠ .故 B 错;直线对应函数为 y=2x,曲线对应函数为 y 2 =x2,2=2.故 C 对;直线对应函数为 y=-x,曲线对应函数为 y=x3,-1≠3.故 D 错. 32 23 22 6.(2010· 安徽文,7)设 a=( )5 ,b=( )5 ,c=( )5 ,则 a,b,c 的大小关系是( 5 5 5 A.a>c>b C.c>a>b [答案] A 2 23 22 [解析] 对 b 和 c,∵指数函数 y=( )x 单调递减.故( )5 <( )5 ,即 b<c. 5 5 5
2

)

B.a>b>c D.b>c>a

对 a 和 c,∵幂函数.y=x5 在(0,+∞)上单调递增, 32 22 ∴( )5 >( )5 ,即 a>c,∴a>c>b,故选 A. 5 5 二、填空题
1

7.(2013~2014 深圳高一检测)若 y=ax [答案] [0,+∞)
1

a2-2

是幂函数,则该函数的值域是________.

[解析] 由已知得 a=1,∴y=x2 ,∴y≥0,值域为[0,+∞). 8.已知幂函数 f(x)=xm2-1(m∈Z)的图象与 x 轴,y 轴都无交点,且关于原点对称,则函 数 f(x)的解析式是________. [答案] f(x)=x
-1

[解析] ∵函数的图象与 x 轴,y 轴都无交点, ∴m2-1<0,解得-1<m<1;

∵图象关于原点对称,且 m∈Z, ∴m=0,∴f(x)=x 1.


9.(2013~2014 海南中学高一测试)下列函数中,在(0,1)上单调递减,且为偶函数的是 ________.
1


①y=x2 ;②y=x4;③y=x 2;④y=-x3 . [答案] ③
1

1

[解析] ①中函数 y=x2 不具有奇偶性;②中函数 y=x4 是偶函数,但在[0,+∞)上为 增函数;③中函数 y=x 数.故填③. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x -5m-3,m 为何值时,f(x): (1)是幂函数; (2)是正比例函数; (3)是反比例函数; (4)是二次函数. [解析] (1)∵f(x)是幂函数, 故 m2-m-1=1,即 m2-m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1. (2)若 f(x)是正比例函数, 4 则-5m-3=1,解得 m=- . 5 4 此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 (3)若 f(x)是反比例函数, 则-5m-3=-1, 2 则 m=- ,此时 m2-m-1≠0, 5 2 故 m=- . 5 (4)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2, 即 m=-1,此时 m2-m-1≠0,故 m=-1. 2 7 11.已知函数 f(x)=xm- 且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性;
-2

1

是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数;④中函数 y=-x3 是奇函

(3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 2 7 [解析] (1)因为 f(4)= ,所以 4m- = ,所以 m=1. 2 4 2 2 (2)由(1)知 f(x)=x- , x 因为 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 2 2 又 f(-x)=-x- =-(x- )=-f(x). x -x 所以 f(x)是奇函数. 2 2 (3)f(x)在(0, +∞)上单调递增, 设 x1>x2>0, 则 f(x1)-f(x2)=x1- -(x2- )=(x1-x2)(1 x1 x2 + 2 ), x1x2 因为 x1>x2>0, 2 所以 x1-x2>0,1+ >0, x1x2 所以 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 1 12.幂函数 f(x)的图象经过点( 2,2),点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上, 4 (1)求 f(x),g(x)的解析式; (2)x 为何值时 f(x)>g(x)?x 为何值时 f(x)<g(x)? [解析] (1)设 f(x)=xα,则( 2)α=2, ∴α=2,∴f(x)=x2, 1 设 g(x)=xβ,则(-2)β= , 4 ∴β=-2,∴g(x)=x 2(x≠0).


(2)从图象可知,当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x);

当-1<x<0 或 0<x<1 时, f(x)<g(x).


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