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抽象函数的解题方法与技巧


抽象函数的解题方法与技巧

摘要:抽象函数是没有具体的解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而 显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发,考虑其定义,性质,加之解决抽象 函数问题时常用的技巧——赋值法,换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词:抽象函数;性质;求值;解析式 ;解题方法;技巧

Problem-solving methods and skills of abstract functions
Xue Jie
School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills;

1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题, 这类问题通过对函数性质结构的 代数表述,能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对函数性质的 代数推理和论证能力,考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力,考查学生对于一 般和特殊关系的认识,因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数 所满足的一般性质或运算法则,没有明确的表示形式,因其抽象性和综合型,对学生而 言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。

2. 抽象函数的知识点 (1)定义域:函数的定义域指自变量 x 的取值范围。所以对抽象函数 f ?x ? , f ?g ? x ?? 而 言,其定义域均指的是 x 的取值范围。对于 f ?g ? x ?? 和 f ?h?x ?? ,其中 g ?x ? 和 h ? x ? 的地位 是等价的,故取值范围是一样的。 (2)值域:函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数
f ?g ? x ?? 和 f ?h?x ?? ,它们的值域是相同的。
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(3)函数三性:即奇偶性,对称性,周期性。利用函数三性可根据部分函数的图像描 绘出整个定义域上的函数图像,进而从函数的图像上更直观的研究函数。 奇偶性:函数 f ?x ? 的定义域 D 关于原点对称,若满足 f ?? x ? ? ? f ?x ? , x ? D ,则称 f ?x ? 是奇函数;若满足 f ?? x ? ? f ?x ? , x ? D ,则称 f ?x ? 是偶函数。如果奇函数的定义域包含 原点,那么一定有 f ?0? ? 0 。 对称性:函数的对称性分轴对称和中心对称。若函数 f ?x ? 关于点 ?a, b ? 对称,则有
f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b 。若函数 f ?x ? 关于直线 x ? a 对称,则有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? 。

周期性:若函数 f ?x ? ,定义域为 D,满足 f ?x ? T ? ? f ?x ? , x ? D,T ? 0 ,那么就说该函 数是周期函数,T 为函数的一个周期。 函数三性之间的联系:
① 函数 f ?x ? 是奇函数等价于函数 f ?x ? 关于原点对称;函数 f ?x ? 是偶函数等价于函数

f ?x ? 关于 y 轴对称。
② 如果函数 f ?x ? 具有两种形式的对称性,那么函数 f ?x ? 就一定是周期函数;如果函数

f ?x ? 是周期函数,且具有一种对称性,那么函数 f ?x ? 就一定具有另一种相应的对称性。
③ 一般结论: i 若 f ?x ? a ? ? f ?x ? ? c ( c 为常数) ,则 f ?x ? 是周期函数,且 2a 是它的一个周期。 ii 若 f ?x ? a ? f ?x ? ? k (常数 k ? 0 ) ,则 f ?x ? 是周期函数,且 2a 是它的一个周期。 iii 若 f ?x ? 2a ? ? f ?x ? a ? ? f ?x ? ,则 f ?x ? 是周期函数,且 6 a 是它的一个周期。 iv 若 f ?x ? 的图像关于两条直线 x ? a ,x ? b ?b ? a ? 对称, f ?x ? 是周期函数, 2?b ? a ? 则 且

是它的一个周期。
v 若 f ?x ? 的图像关于点 A?a,0? 和 B?b,0? ?b ? a ? 对称,则 f ?x ? 是周期函数,且 2?b ? a ? 是

它的一个周期。
vi 若 f ?x ? 的图像关于两条直线 x ? a 及点 B?b,0? ?b ? a ? 对称,则 f ?x ? 是周期函数,且

4?b ? a ? 是它的一个周期。
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(4)单调性:函数 f ?x ? 的定义域为 D,对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有
① f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,那么就说 f ?x ? 在此区间上是增函数; ② f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,那么就说 f ?x ? 在此区间上是减函数。

对抽象函数,由于解析式未知,所以要证明其单调性,一般只能考虑定义法。在关 于抽象函数不等式问题的解决中,单调性起到重要的作用。

3. 3.1

涉及抽象函数的问题类型 求抽象函数的定义域:

(1)已知 f ?g ?x ?? 的定义域,求 f ?h?x ?? 的定义域; (2)求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。 3.2 求抽象函数的值域:

(1)已知函数 f ?x ? 的值域,求 g ? f ? x ??的值域; (2)已知函数 g ? f ? x ??的值域,求 f ?x ? 的值域; (3)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,求 f ?x ? 的值域。 3.3 求抽象函数的函数值:

(1)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,根据已知条件可以求得 f ?x ? 的周期,求 函数在某一特定点的函数值; (2)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,根据已知条件求不出 f ?x ? 的周期,求函 数在某一特定点的函数值。 3.4 求抽象函数的解析式:

(1)已知表达式 f ?g ?x ?? ? h?x ? ,求 f ?x ? 的解析式; (2)已知 f ?x ? 的某些性质或满足某些条件,求 f ?x ? 的解析式。 3.5 与函数单调性,周期性,奇偶性相关的问题:

(1)判断函数的单调性,周期性,奇偶性; (2)解不等式问题; (3)函数存在性问题。
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4. 4.1

解决抽象函数问题的方法技巧 定义域

(1)已知 f ?g ?x ?? 的定义域,求 f ?h?x ?? 的定义域。 该类问题需明确两点:一是明确函数定义域的定义(指自变量 x 的取值范围) ;二 是明确在同一对应法则 f 下, g ? x ? 和 h ? x ? 的取值范围是一样的。

3? ? 例 1.若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f (log 2 x) 的定义域为 2? ?

分析:如前所述,函数 f (log2 x ) 和函数 f (2 x ? 1) 的定义域都是指 x 的取值范围,而非
log2 x 和 2 x ? 1 的取值范围。并且 2 x ? 1 和 log2 x 的取值范围是一样的。因而可根据
3? ? f (2 x ? 1) 中 x 的取值范围是 ? ?1, ? ,求解出 2 x ? 1 的取值范围,即 log2 x 的取值范围, 2? ?

再从中解出 x 的取值范围,即所求定义域。
3? 3? ? ? 解:由 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,可知 x ? ? ?1, ? , 2? 2? ? ?
? ? 1 ? 2 x ? 1 ? 4 ,故 ? 1 ? log2 x ? 4 ,解得

1 ? x ? 24 , 2

?1 ? ? f (log 2 x) 的定义域为 ? ,24 ? . ?2 ?

(2)求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。 该类问题的解决依然首先要明确函数的定义域是使得函数有意义的自变量的取值 范围,所以求得新函数的定义域要在使得组合前每个函数有意义的基础上,还保证组合 后的新函数也有意义,也就是取各个函数定义域的交集。但有一点需要注意,若该运算 是商的形式,还要保证处于分母位置的函数不为 0。

5 例 2.若 f ?x ? 的定义域为 ? ?3,? ,则 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域为

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解:由已知, f ?x ? 的定义域为 ? ?3,? , 5 根据例 1 的求法可求得: f ?? x ? 的定义域为 ?? 5,3? ,
? f ?2 x ? 5? 的定义域为 ?? 1,15? ,

从而 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域为 ?? 5,3? ? ?? 1,15? ,即为 ?? 1,3? 。

例 3.函数 f ? x ? ? x ?

1 1 , g ? x ? ? x 2 ? , h? x ? ? 3 x ,求下列函数的定义域: x x

① f ? x ? ? g ? x ? ; ② f ? x ? ? h? x ? ; ③

f ?h? x ?? . h?g ? x ??

分析:第①、②问的两个新函数整理后都不再含分式,所以其定义域会误认为分别是实 数集和非负实数集,其实不然。这里需要注意,虽然在组合成新函数时,原函数的分母 被抵消或约掉,但是仍然要保证每个原函数都有意义,故在求新函数的定义域时,必须 先分别求出每个函数的定义域,再做交集。而第③问中的新函数在前面所述的基础上还 要再注意一点,分母不能为 0,所以还要要求 h?g ? x ?? 不为 0。 解:由已知, f ?x ? 定义域是 A ? ?x x ? 0 ?; g ? x ? 定义域是 B ? ?x x ? 0 ? ; h? x ? 定义域 是 C ? ?x x ? 0 ?. 所以
① f ? x ? ? g ? x ? 的定义域是 A ? B = ?x x ? 0 ② f ? x ? ? h? x ? 的定义域是 A ? B = ?x x ? 0 ③ f ?h? x ?? ? 3 x ?

?;

?;
1 , x

1 3 x

, h?g ? x ?? ? 3 x 2 ?

? f ?h? x ?? 的定义域是 M ? ?x x ? 0

?

, h?g ? x ?? 的定义域是 N ? ?x x ? 0或x ? ?1? ,

令 h?g ? x ?? ? 3 x 2 ?
?

1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,令 P ? ?x x ? ?1 x

?

f ?h? x ?? 的定义域是 M ? N ? P ? ?x x ? 0 ? . h?g ? x ??

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4.2

值域

(1)已知函数 f ?x ? 的值域,求 g ? f ? x ??的值域; 该类问题一般采用换元法:即在 g ? f ? x ??中令 f ?x ? = t ,那么问题就转化为已知函数
g ?t ? 的定义域,求值域的问题,此时 g ?t ? 是一个具体的函数,其值域可利用不等式,单

调性,求导等方法进行求解。

1 ?1 ? 例 4.若函数 y ? f ?2 x ? 3? 的值域是 ? ,3? ,则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? 的值域是( f ?x ? ?2 ?
?1 ? A、 ? ,3? ?2 ? ? 10 ? B、 ?2, ? ? 3? ? 5 10 ? C、 ? , ? ?2 3 ? ? 10? D、 ?3, ? ? 3?



解:由于函数 f ?2 x ? 3? 与函数 f ?x ? 对应关系相同,从而值域相同,所以 f ?x ? 的值域也
?1 ? 是 ? ,3? . ?2 ?

1 ?1 ? 令 f ?x ? ? t ,则 F ?x ? ? g ?t ? ? t ? , t ? ? ,3? t ?2 ?
根据双勾函数的图像知函数 g ?t ? 在 ?0,1? 上单调递减,在 ?1,?? ? 上单调递增,
?1 ? ? g ?t ? 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1,3? 上单调递增. ?2 ?

? ?1? ? 10 ? g ?t ?min ? g ?1? ? 2 ; g ?t ?max ? max? g ? ?, g ?3?? ? g ?3? ? . 3 ? ?2? ?
? 10? 因此 F ? x ? ? ?2, ? ,选 B. ? 3?

(2)已知函数 g ? f ? x ??的值域,求 f ?x ? 的值域; 与(1)类似,该类解法依然采用换元法:令 f ?x ? = t ,那么题目转化为已知 g ?t ? 的范 围,求 t 的取值范围,而 g ?t ? 的表达式已知,故只需解不等式即可。

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例 5.若函数 F ? x ? ? f ? x ? ?

1 的值域是 ?2,3? ,则函数 y ? f ?x ? 的值域是 f ?x ?



1 解:令 f ?x ? ? t ,由已知条件, 2 ? t ? ? 3 ,解该不等式得: t
?3 ? 5 3 ? 5 ? ?3 ? 5 3 ? 5 ? t ?? , , ? ,即 f ?x ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ?

(3)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,求 f ?x ? 的值域; 在处理该类问题时,往往采用赋值法:即对某些变量进行适当的赋值,寻找规律。 这是一般向特殊转化的必要手段。

例 6.设函数 f ?x ? 定义于实数集上,对于任意实数 x, y , f ?x ? y ? ? f ?x ? f ? y ?总成立,且 存在 x1 ? x2 ,使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,求函数 f ?x ? 的值域。 解:由题意,对于任意实数 x, y ,都有 f ?x ? y ? ? f ?x ? f ? y ?.
2 ? 令 x ? y ? 0 ,有 f ?0? ? f ?0? ,

? f ?0? ? 0 或 1.
但若 f ?0? ? 0 , 对任意实数 x , f ?x ? = f ?x ? 0? ? f ?x ? f ?0? =0.这与已知条件 有 “存在 x1 ? x2 , 使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ”矛盾.
? f ?0? ? 1 .

x ? x x? ? x ? ? x ? ? ? x ?? 再令 x ? y ? ,有 f ?x ? = f ? ? ? ? f ? ? f ? ? ? ? f ? ?? ? 0 . 2 ?2 2? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ??
但 若 存 在 某 一 实 数 x 0 使 得 f ? x0 ? =0 , 则 有 f ?0? ? f ?x0 ? x0 ? ? f ?x0 ? f ?? x0 ? ? 0 , 这 与
f ?0? ? 1 矛盾,故 f ?x ? ? 0 .

2

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? f ?x ? 的值域是 ?0,??? .

4.3

函数值

(1)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,根据已知条件可以求得 f ?x ? 的周期,求 函数在某一特定点的函数值。 该类问题通常利用函数周期性:根据已知条件求该函数的周期,利用周期及另外一 点处的函数值可快速求值。

? log2 ?1 ? x ?, x ? 0 例 7.(2009 山东 理)定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? ? ,则 ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2?, x ? 0
f ?2009 ? =

.

分析:该题在 x ? 0 时, f ?x ? 的值均可求,观其在 x ? 0 时满足的表达式可知周期是可求 的。因而求出 x ? 0 时 f ?x ? 的周期,将 f ?2009? 转化为求 f ?a ? 的值,其中 a ? 0 即可。 解:?
x ? 0 时, f ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2? ,

由前面所述一般结论中第 iii 个知, f ?x ? 是以 6 为周期的周期函数。

? f ?2009? ? f ?6 ? 335?1? ? f ??1? ? log2 ?1 ? ??1?? ? 1 .

例 8.已知 f ?x ? 是定义在实数集 R 上的函数,且 f ?x ? 2??1 ? f ?x?? ? 1 ? f ?x? .若

? f ?1? ? 2 ? 3 ,求 f ?2001 , f ?2005? 的值。
分析:题中已知 f ?x ? 在 x ? 1 处的函数值,那么可由条件 f ?x ? 2??1 ? f ?x?? ? 1 ? f ?x? 求函 数 f ?x ? 的周期,进而求值。 解: ? f ?x ? 2??1 ? f ?x?? ? 1 ? f ?x? ,则 f ? x ? 2 ? ?
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1 ? f ?x ? 1 ? f ?x ?

1? 1 ? f ?x ? 2? 1? ? ? f ?x ? 4? ? 1 ? f ?x ? 2? 1 ? 1 ? 1? 1?

f ?x ? 1 f ?x ? ?? f ?x ? f ?x ? f ?x ?

由前面所述一般结论中第 ii 个知, f ?x ? 是以 8 为周期的周期函数。

? ? f ?2001 = f ?250? 8 ? 1? ? f ?1? ? 2 ? 3
f ?2005? = f ?250? 8 ? 5? ? f ?5? ? f ?4 ? 1? ? ?

1 ? 3?2 f ?1?

(2)已知函数 f ?x ? 满足的某些关系式或条件,根据已知条件求不出 f ?x ? 的周期,求函 数在某一特定点的函数值。 该类问题一般采用赋值法:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,寻找规律解 题。赋值法是解此类问题的常用技巧。

例 9.已知定义域为 R? 的函数 f ?x ? ,同时满足下列条件:① f ?2? ? 1, f ?6? ?
f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ,求 f ?3? , f ?9? 的值。

1 ;② 5

分析:该求值问题仅仅根据表达式 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 无法求出 f ?x ? 的周期,故只能考 虑进行恰当赋值。观察已知的函数值,将其与待求的函数值产生联系,注意到 6 与 2,3 的关系以及 9 与 3 的关系,便可迅速得到答案。 解:由已知, f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 对任意正实数 x, y 都成立

1 又 f ?2? ? 1, f ?6? ? , 5
? 令 x ? 2, y ? 3 ,

4 则有 f ?6? ? f ?2 ? 3? ? f ?2? ? f ?3? ,从而 f ?3? = ? , 5

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再令 x ? y ? 3 ,

8 则有 f ?9? ? f ?3 ? 3? ? f ?3? ? f ?3? ? 2 f ?3? ,从而 f ?9? = ? . 5

例 10.设 f ?x ? 是 ?0,1? 上的不减函数(即对于任意的 x1 , x2 ? ?0,1? ,当 x1 ? x2 时,都有
? 18 ? ? x ? f ?x ? ;③ f ?1 ? x ? ? 1 ? f ?x ? . 求 f ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ),且满足: ① f ?0? ? 0 ;② f ? ? ? ? 2 ? 1991? ?3?

的值. 解:由已知,条件①,② ③ , 对任意 x ? ?0,1? 都成立。 故在③ 中,令 x ? 1 ,有 f ?0? ? f ?1 ? 1? ? 1 ? f ?1? ,从而 f ?1? ? 1 .
? 1 ? f ?1? 1 在② 中,令 x ? 1 ,有 f ? ? ? = . 2 2 ?3?

1 1 1 ?2? ? 1? ?1? 在③ 中,令 x ? ,有 f ? ? ? f ?1 ? ? ? 1 ? f ? ? ? 1 ? ? . 2 2 3 ?3? ? 3? ? 3?

1 ?1 2 ? 又因为 f ?x ? 是 ?0,1? 上的不减函数,所以在区间 ? , ? 上, f ?x ? = . 2 ?3 3 ?
接下来反复利用②和③ ,可以得到

? 34 ?18 ? ? ? ? 18 ? f? ? ? f ? 1991 ? ? ? 34 ? ? 1991? ? ? ? ?

? 34 ?18 ? f? ? 1991 ? 1 ? 533 ? ? 1458? 1 ? ? ?? f? f ?1 ? ?? ? 4 2 16 ? 1991? 16 ? 1991?

1 ? ? 533 ?? 1 1 ? ?1 ? f ? ?? ? ? 16 ? ? 1991?? 16 16

? 533? 3 ? ? ? 1 1 1 ? 1599? f ? 1991 ? ? ? ? f ? ? ? 3 ? 16 16 2 ? 1991? ? ? ? ?

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1 1 ? ? 392 ?? 1 1 1 ? ? ?1 ? f ? ?? ? ? ? 16 32 ? ? 1991?? 16 32 32
1 ? 1176? 1 f? ? ?? ? 1991? 32 64

? 392? 3 ? ? ? f ? 1991 ? ? 3 ? ? ? ? ?

?

1 1 1 ? ? 32 32 2

? 1176? f? ? ? 1991?

由于

1176 ? 1 2 ? ? 1176? 1 ? ? , ? , 所以 f ? ?? , 1991 ? 3 3 ? ? 1991? 2

1 1 ? 1176? 1 1 1 5 ? 18 ? 所以 f ? . ? f? ? ? ? ?= ? ?? 32 64 ? 1991? 32 64 2 128 ? 1991?

4.4

解析式

(1)已知表达式 f ?g ?x ?? ? h?x ? ,求 f ?x ? 的解析式。 该类问题通常可采用两种方法: 一是换元法。 即令 g ? x ? ? t , 从中将 x 用 t 表示出来, 带入 h ? x ? 中,可得到 f ?t ? 的表达式,也就是 f ?x ? 的解析式;二是配凑法。将 h ? x ? 配凑成 以 g ?x ? 表示的代数式,从而进行整体代换,即可求出 f ?x ? 的解析式。

? x ? 例 11.已知 f ? ? ? 2 x ? 1 ,求 f ?x ? . ? x ? 1?

解:

t 令 x ? t ,则 x ? , 1? t x ?1 t 2?t , ?1 ? 1? t 1? t

? f ?t ? ? 2 ?



f ?x ? ?

2? x . 1? x

1? 1 ? 例 12.已知 f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? 1 ,求 f ? x ? 1? 。 x? x ?

解:

1? 1 1? ? ? ? f ? x ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? x ? ? ? 3, x? x x? ? ?
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2

令 x?

1 ?t, x
f ?x ? ? x 2 ? 3 ,

则 f ?t ? ? t 2 ? 3 , ?
2

? f ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? 3 .

(2)已知 f ?x ? 的某些性质或满足某些条件,求 f ?x ? 的解析式。 该类问题通常有三种解决方法:一是待定系数法。在能够确定函数类型的情况下, 设出函数的解析式,根据已知条件列方程,求出各个参量;二是函数性质法。主要是由 函数奇偶性特点,求分段函数的解析式;三是赋值法。给自变量取特殊值,从而发现规 律,求出 f ?x ? 的表达式。

例 13.已知 f ?x ? 是定义在 ?? 6,6?上的奇函数,且 f ?x ? 在 ?0,3? 上是 x 的一次函数,在 ?3,6 ? 上是 x 的二次函数,当 3 ? x ? 6 时, f ?x ? ? f ?5? ? 3 , f ?6? ? 2 ,求函数 f ?x ? 的解析式。 分析:由奇函数 f ?x ? ? ? f ?? x ? 的性质,要求 f ?x ? 是定义在 ?? 6,6? 上的奇函数,只需求 得 f ?x ? 在 ?0,6 ? 上的解析式。根据题意,再把 ?0,6 ? 分成 ?0,3? 和 ?3,6 ? 两个区间,而这两个 区间上的函数类型是已知的,故可利用待定系数法分别求出 f ?x ? 的解析式。 解:由于 f ?x ? 在 ?3,6 ? 上是二次函数,且 f ?5? 是它的最大值,
2 2 故可设 f ?x? ? a?x ? 5? ? 3 , 3 ? x ? 6 ,由 f ?6? ? a?6 ? 5? ? 3 ? 2 ,

解得 a ? ?1.
2 ? f ?x? ? ??x ? 5? ? 3 , 3 ? x ? 6 .

而当 0 ? x ? 3 时, f ?x ? 是一次函数,又 f ?x ? 是奇函数, 故可设 f ?x ? ? kx , 0 ? x ? 3 ,

1 从上可知 f ?3? ? 3k ? ?1 ,解得 k ? ? . 3 1 ? f ?x ? ? ? x , 0 ? x ? 3 . 3
由于 f ?x ? ? ? f ?? x ? ,
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所以
2 2 当 ? 6 ? x ? ?3 时, 3 ? ? x ? 6 , f ?x? ? ? f ?? x? ? ? ? ?? x ? 5? ? 3 ? ?x ? 5? ? 3 ;

?

?

1 ?1 ? 当 ? 3 ? x ? 0 时, 0 ? x ? 3 , f ?x ? ? ? f ?? x ? ? ?? x ? ? ? x . 3 ?3 ?

综上可知, f ?x ? 的解析式为
??x ? 5?2 ? 3,当 - 6 ? x ? ?3时, ? 1 ? f ? x ? ? ? ? x,当 - 3 ? x ? 3时, 3 ? 2 ? ? ?x ? 5? ? 3,当3 ? x ? 6时. ?

例 14.设 f ?x ? 的定义域为自然数集,且满足条件 f ?x ?1? ? f ?x? ? f ? y ? ? xy ,及 f ?1? ? 1 , 求 f ?x ? 的解析式。 解:由于 f ?x ?1? ? f ?x? ? f ? y ? ? xy 对任意实数 y 都成立, 故取 y ? 1 ,则有 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? x ? 1 ,
? f ?1? ? 1 , ? f ?2? ? f ?1? ? 2 ,

f ?3? ? f ?2? ? 3 ,
?

f ?n ? ? f ?n ? 1? ? n .

以上各式相加,有 f ?n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 从而

f ?x ? ?

x?x ? 1? , x?N 2

n?n ? 1? , 2

4.5

单调性,周期性,奇偶性

(1)判断函数的单调性,周期性,奇偶性。 该类问题通常是判断或证明函数的单调性,周期性,奇偶性,采用方法一般是定义 法:由定义出发,根据已知条件给出的结论适当赋值或者进行变换得出想要的结论。

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例 15.函数 f ?x ? 的定义域关于原点对称,但不包括数 0,对定义域中的任意数 x ,在定 义域中存在 x1 , x2 ,使 x ? x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,且满足以下三个条件:
①x1 , x2 是 f ?x ? 定义域中的数, f ?x1 ? ? f ?x2 ? 或 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,则

f ?x1 ? x2 ? ?

f ?x1 ? f ?x2 ? ? 1 ; f ?x2 ? ? f ?x1 ?

② f ?a ? ? 1 ( a 是一个正的常数) ; ③ 0 ? x ? 2a 时, f ?x ? ? 0 . 当

证明:① f ?x ? 是奇函数;
② f ?x ? 是周期函数,并求出它的一个周期; ③ f ?x ? 在 ?0,4 a ? 内为减函数.

分析: 证明奇函数, 由定义, 只需证对定义域内任意一个 x , 都满足 f ?? x ? ? ? f ?x ? 即可。 该题中要紧扣条件① 给出的表达式,利用该表达式将 f ?x ? 和 f ?? x ? 分别表示出来,进而 得出结论; 证明周期函数,由定义,只需寻找一个不为零的常数 T,使得对定义域内任意一 个 x ,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? 。注意到该题的条件② a 是一个正的常数,所以周期定与数 中
a 有联系,可以计算 f ?x ? a ? , f ?x ? 2a ? 等,从中发现规律,得到周期;
x 证明单调性, 由定义, 假设定义域内的任意两数 x1 , x2 , 1 ? x2 , 需证明 f ?x1 ? ? f ?x2 ?

(单调递增)或 f ?x1 ? ? f ?x2 ?(单调递减) 。该题中要紧扣条件③,结合条件① ,将 x1 ? x2 置于区间 ?0,2a ? 内,从而利用条件③来判断 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的符号,进而得出结论。 证明:
① f ?x ? 是奇函数

对定义域内任意一个 x , 由题意, 都存在定义域中的 x1 , x2 , x ? x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 使 且 根据条件① ,有
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f ?x ? ? f ?x1 ? x2 ? ?

f ?x1 ? f ?x2 ? ? 1 , f ?x2 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ? f ?x1 ? ? 1 ? ? f ?x ? f ?x1 ? ? f ?x2 ?

f ?? x ? ? f ?x2 ? x1 ? ?

所以
f ?x ? 是奇函数.
② f ?x ? 是周期函数

由已知, a 是函数定义域中的数,且 f ?a ? ? 1 ,则 f ?? a ? ? ?1 . 设 x 是定义域中任意一个数且 f ?x ? ? ?1 ,那么由条件①,有
f ?x ? a ? ? f ?x ? ?? a ?? ? f ?x ? f ?? a ? ? 1 1 ? f ?x ? , ?? f ?? a ? ? f ?x ? 1 ? f ?x ?
1? f ?x ? 1 f ?x ? ?? , f ?x ? f ( x) f ?x ?

1? 1 ? f ?x ? a ? 1? ?? 则 f ? x ? 2a ? ? f ?? x ? a ? ? a ? ? ? 1? 1 ? f ?x ? a ? 1? 1?



f ? x ? 4a ? ? f ?? x ? 2a ? ? 2a ? ? ?

1 1 ?? ? f ?x ? 1 f ? x ? 2a ? ? f ?x ?

所以
f ?x ? 是周期函数,它的一个周期是 4a .
③ f ?x ? 在 ?0,4 a ? 内为减函数

根据题意可先证明 f ?x ? 在 ?0,2a ? 内为减函数,然后再证明 f ?x ? 在 ?2a,4a ? 内为减函数. 设定义域内任意两数 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,则 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,由条件① ,有
f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? f ?x1 ? ? 1 , f ?x2 ? x1 ?

由于 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,所以 0 ? x1 ? x2 ? 2a , 由条件③ ,有 f ?x2 ? x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 , f ?x1 ? ? 0 ,

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从而 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

f ?x2 ? f ?x1 ? ? 1 ? 0. f ?x2 ? x1 ?

故 f ?x ? 在 ?0,2a ? 内为减函数. 下证 f ?x ? 在 ?2a,4a ? 内也是减函数. 设定义域内任意两数 2a ? x1 ? x2 ? 4a , 则 0 ? x1 ? 2a ? x2 ? 2a ? 2a ,由上可知, f ?x1 ? 2a ? ? f ?x1 ? 2a ? 由第② 问知, f ?x ? 2a ? ? ?
1 1 ,所以 f ?x ? 2a ? ? ? . f ?x ? f ?x ?

故?

1 1 ?? ,所以 f ?x1 ? ? f ?x2 ? . f ?x1 ? f ? x2 ?

所以 f ?x ? 在 ?2a,4a ? 内也是减函数. 综上可知,
f ?x ? 在 ?0,4a ? 内为减函数.

(2)函数存在性问题。 该类问题一般是求是否存在满足某些条件的函数,采取方法函数方程法:即假设存 在满足条件的函数,根据题设条件,列出方程组,求解函数。

例 16.证明:任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为是一个奇函数和一个偶函数 的和. 分析:如题所述,可将函数 f ?x ? 表示成两个函数 f1 ?x ? 与 f 2 ? x ? 之和, 那么 f1 ?x ? 满足奇 函数的性质, f 2 ? x ? 满足偶函数的性质, 这样即可建立 f ?x ? , f ?? x ? , 分别与 f1 ?x ? , f 2 ? x ? 之间的关系,两个方程即可解出 f1 ?x ? 与 f 2 ? x ? . 解: 设函数 f ?x ? 定义域关于原点对称, f ?x ? ? f1 ?x ? ? f 2 ? x ? , 且 其中 f1 ?x ? 是奇函数,f 2 ? x ? 是偶函数. 那么就有 f1 ?? x ? ? ? f1 ?x ? , f 2 ?? x ? ? f 2 ?x ?
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所以 f ?x ? ? f1 ?x ? ? f 2 ? x ? ,
f ?? x ? ? ? f1 ?x ? ? f 2 ? x ? ,

① ②

解这个方程组即得: f1 ? x ? ?

f ? x ? ? f ?? x ? f ? x ? ? f ?? x ? ; f 2 ?x ? ? . 2 2

例 17.设函数 f ?x ? 对所有实数 x 都满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x? ,求证: 存在 4 个函数 fi ?x ??i ? 1,2,3,4? 满足: (1)对 i ? 1,2,3,4, fi ?x? 是偶函数,且对任意的实数 x ,有 f i ?x ? ? ? ? f i ?x ? ; (2)对任意的实数 x ,有 f ?x? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x . 分析:与上题同法,假设 4 个函数 fi ?x ??i ? 1,2,3,4? 都满足以上两个条件,根据题设条件 可列出 f ?x ? , f ?? x ? , f ?x ? ? ? , f ?? ?x ? ? ?? 分别与 fi ?x ??i ? 1,2,3,4? 之间的关系,四个方 程即可解出四个函数. 解:设 fi ?x ??i ? 1,2,3,4? 都是偶函数,那么有 fi ?? x ? ? fi ?x??i ? 1,2,3,4? ,且 f i ?x ? ? ? ? f i ?x ? , 并且满足 f ?x? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x . 有: f ?x? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x ,
① ② ③ ④

f ?? x? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x , f ?x ? ? ? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x , f ?? ?x ? ? ?? ? f1 ?x? ? f 2 ?x?cos x ? f3 ?x?sin x ? f 4 ?x?sin 2x ,
记 h? x ? ?
f ? x ? ? f ?? x ? f ? x ? ? f ?? x ? , g ?x ? ? 2 2

解该方程组:
f ?? x ? ? f ? x ? ? ? , 2 f ?x ? ? f ?? ?x ? ? ?? ①④ - ,得 f 2 ?x ? cos x ? f 4 ?x ?sin x ? , 2 f ?x ? ? f ?? x ? ? f ?x ? ? ? ? f ?? ?x ? ? ?? 由⑤ ⑥可解得 f 2 ?x ? ? , 4 cos x
②③ - ,得

f 2 ? x ? cos x ? f 4 ? x ?sin x ?

⑤ ⑥

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?

h? x ? ? h? x ? ? ? ? ? ? , ? x ? ? k? ? 2 cos x 2 ? ?

f 4 ?x ? ?
?

f ?x ? ? f ?? x ? ? f ?x ? ? ? ? f ?? ?x ? ? ?? 4 sin 2 x
g ?x ? ? g ?x ? ? ? k ? ? , ?x ? ? ? 2 sin 2 x 2 ? ?

同理,解得

f1 ? x ? ?

h? x ? ? h? x ? ? ? , 2
g ?x ? ? g ?x ? ? ? , 2 sin x

f 3 ?x ? ?

?x ? k? ?

综上所述,这四个函数分别是:
f1 ? x ? ? h? x ? ? h? x ? ? ? ; 2

? h? x ? ? h ? x ? ? ? ? ? ? , ? x ? ? k? ? ? ? 2 cos x 2 ? ? f 2 ?x ? ? ? ? ? ? ? 0, ? x ? ? k? ? ? 2 ? ? ?
? g ?x ? ? g ?x ? ? ? ? , ? x ? k? ? f 3 ?x ? ? ? ; 2 sin x ? 0, ? x ? k? ? ?



? g ?x ? ? g ?x ? ? ? ? k ? ,? x ? ? ? ? ? 2 sin 2 x 2 ? ? . f 4 ?x ? ? ? k ? ? ? 0, ? x ? ? ? ? 2 ? ? ?

参考文献:
[1] 数学奥林匹克小丛书 ? 高中卷《函数与函数方程》 华东师范大学出版社. [2] 张卫东.对抽象函数周期性的探究[J].中学数学研究,2012, (2). [3] 杨其武.函数三性的关系及简单应用[J].中学数学研究,2012, (7). [4] 张真平.抽象函数定义域的形象化求法[J].教育教学论坛.2011, (14).

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