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【全国百强校】吉林省实验中学2016届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题


吉林省实验中学 2016 届高三年级第三次模拟考试

数学(理)试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

,每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) .... (1)设集合 A ? {x | x ? 2} ,若 m ? ln e ( e 为自然对数底) ,则
e

(A) ? ? A

(B) m ? A

(C) m ? A

(D) A ? x x ? m

?

?

(2) 若复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为 (A) ?4
5

(B) ?

4 5

(C)4

(D)

4 5

2? ? (3) ? x 2 ? 3 ? 的展开式中的常数项为 x ? ?
(A) 80 (A)28 (B) ?80 (B)21 (C)40 (C)14 (D) ?40 (D)7 (4)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 6a3 ? 2a4 ? 3a2 ? 5 ,则 S7 等于

? ? ? ? ( 5 ) 设 命 题 p : a ? ?3 , ? 1 , b ? ? m, 2 ? , 且 a //b ; 命 题 q : 关 于 x 的 函 数
y ? ? m 2 ? 5m ? 5 ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )是指数函数,则命题 p 成立是命题 q 成立的
(A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
开始

输入N

k ? 1, S ? 0, T ? 1
T? T k

(6)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ? (A) 1 ?

1 1 1 ? ? ……+ 2 3 10 1 1 1 ? ? ……+ 2 3 11

(B) 1 ?

1 1 1 ? ? ……+ 2 ! 3 ! 10 ! 1 1 1 ? ? ……+ 2 ! 3 ! 11 !

S ? S ?T k ? k ?1

(C) 1 ?

(D) 1 ?

k ? N?




输出S 的四个命题:

(7)给出下列关于互不重合的三条直线 m 、 l 、 n 和两个平面 ? 、 ?
第 1 页 共 16 页

结束

① 若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; ② 若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? , 其中为真命题的是 (A)①③④ (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③ (8)袋中装有大小形状完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如 果不放回地依次取出 2 个小球,则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率 是( ) (A)

3 10

(B)

3 5

(C)

(9)函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,? 值分别是 (A) 2, ?

?
2

?? ?

?
2

1 2

(D)

1 4

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

(10) 一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 (A) 21 ? 3 (B) 18 ? 3 (C)21 (D)18

y 2
?

B

? 3

A O -2

5? 12

x

第 9 题图 (11)过曲线 C1 :

第 10 题图

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线, a 2 b2
2

设切点为 M,延长 FM 交曲线 C3 : y ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共 同的焦点,若点 M 为线段 FN 的中点,则曲线 C1 的离心率为

第 2 页 共 16 页

(A) 5

(B)

5 2

(C) 5 +1

(D)

5 ?1 2

2 ( 12 ) 设 函 数 f ( x) ? ( x? a2 其 中 x ? 0, a ? R , 存 在 x0 ? R , 使 得 ) ? ( l nx ? 2 a2, )

f ( x0 ) ?

4 成立,则实数 a 的值是 5 1 2 (A) (B) 5 5

(C)

1 2

(D) 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、 填空题(本大题包括 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分, 把正确答案填在答题卡中的横线上) (13)已知 a , b 均为正数,且 2 是 2 a 与 b 的等差中项,则

1 的最小值为 ab

.

?0 ? x ? 1 ? (14)向区域 ?0 ? y ? 1 内随机投入一点,则该点与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率 ? y ? x2 ?
为 . (15) 已知函数 f ? x ? ? ?

? 3 ? ? ?1 ? a ? 3 ? sin x ? ? a ? 1? cos x , 将 f ? x ? 图象向右平移 ? ? 3 ?2 ? ? 2 ?

个单位长度得到函数 g ? x ? 的图象,若对任意 x ? R ,都有 g ? x ? ? g ? 则 a 的值为

?? ? ? 成立, ?4?

( 16 )设函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x 处的切线的斜率分别是 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 )

kA , kB ,规定 ? ( A, B) ?
给出以下命题:
3 2

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” , | AB |

①函数 y ? x ? x ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
2

④设曲线 y ? e 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? ( A, B) ? 1 恒
x

成立,则实数 t 的取值范围是 (??,1) . 以上正确命题的序号为 .

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
第 3 页 共 16 页

(17) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 Sn ? (Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

Sn?1 ? 1(n ? 2) .

12 1 (n∈N*) ,求使不等式 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 成立的最小正整数 n. 25 an an ?1

(18) (本小题满分 12 分) 某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了 120 份问卷。对收回的 l00 份有效问卷进行统计,得到如下 2×2 列联表: 做不到光盘 男 女 合计 45 30 75 能做到光盘 10 15 25 合计 55 45 100

(Ⅰ)现按女生是否能做到光盘进行分层,从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷,从这 9 份问卷中随机抽取 4 份,并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ? ,试求随机变量 ? 的分 布列和数学期望; (Ⅱ)若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,那么根 据临界值表最精确的 P 的值应为多少?请说明理由. 附:独立性检验统计量 K2= 独立性检验临界表: P(K2 ? k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.840 0.025 5.024

n(ad ? bc) 2 , 其中 n=a+b+c+d. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(19)(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA // BE ,
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AB=PA=4,BE=2. (Ⅰ)求证: CE //平面 PAD ; (Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (Ⅲ) 在棱 AB 上是否存在一点 F , 使得平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在, 求 的值;如果不存在,说明理由.

AF AB

P

E

A

D

B

C

(20) (本小题满分 12 分)
第 5 页 共 16 页

在 ?ABC 中,点 A, B 的坐标分别是 (? 2,0),( 2,0) ,点 G 是 ?ABC 的重心, y 轴 上一点 M 满足 GM / / AB ,且 | MC |?| MB | . (Ⅰ)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m 与轨迹 E 相交于 P, Q 两点,若在轨迹 E 上存在点 R ,使四 边形 OPRQ 为平行四边形(其中 O 为坐标原点),求 m 的取值范围.

???? ?

??? ?

(21) (本小题满分 12 分)
第 6 页 共 16 页

已知函数 f ( x) ? ln x ? ln a, g ( x) ? ae x , 其中 a 为常数,设函数 y ? f ( x) 与 x 轴的交
点为 A,函数 y ? g ( x) 的图象与 y 轴的交点为 B,函数 y ? f ( x ) 在 A 点的切线与函

数 y ? g ( x) 在 B 点的切线互相平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x ? 1) 的单调区间; (Ⅲ) 若不等式 xf ( x) ? k ( x ? 1) f [ g ( x ? 1)] ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立, 求实数 k 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,
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做答时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE , E 为切点,连接 AE , BE , ?APE 的 平分线与 AE , BE 分别交于点 C , D ,其中 ?AEB ? 30 .
?

ED PB PD ? ? ; BD PA PC (Ⅱ)求 ?PCE 的大小.
(Ⅰ)求证:

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知某圆 的极坐标方程为: ? 2 ? 4? cos? ? 2 ? 0 . (Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.

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2015、9、11 高三一模数学理答案
一、选择题 CDCDA BCCAA DA 二、填空题 13.

1 2

14.

3 4

15. 2

16. ②③

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)因为 Sn ?

Sn?1 ? 1(n ? 2) ,

所以 { Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,………1 分 则 Sn =1+(n-1)1=n,……………2 分 从而 Sn=n2.…………………3 分 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2 =2n-1. 因为 a1 ? 1 也符合上式, 所以 an=2n-1.…………………6 分

1 1 1 1 ? ( ? ) ,……………8 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) 所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ,……………10 分 2 2n ? 1 2n ? 1 n 12 ? 由 ,解得 n>12.………………11 分 2n ? 1 25
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?

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第 15 题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识,体现对数据处理能力的考 查,体现对以频率估计概率的统计思想的考查,体现对必然与或然思想的考查。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

所以使不等式成立的最小正整数为 13.……………12 分 16 .本小题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、统计案例等基础知识, 考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想等. 满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的, 所以这 9 份问卷中有 6 份做不到光盘,3 份能做到光盘. ????2 分
因为 ? 表示从这 9 份问卷中随机抽取出的 4 份中能做到光盘的问卷份数,所以 ? 有

0,1, 2,3 的可能取值.
因为 9 份问卷中每份被取到的机会均等, 所以随机变量 ? 服从超几何分布,可得随机变量 ? 的分布列为:
4 C6 15 5 , P(? ? 0) ? 4 ? ? C9 126 42 2 2 C6 C3 45 15 5 ? ? ? , 4 C9 126 42 14 3 1 C6 C 60 20 10 P(? ? 1) ? 4 3 ? ? ? , C9 126 42 21 1 3 C6 C3 6 1 ? ? . 4 C9 126 21

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

????5 分

(18)

随机变量 ? 的分布列可列表如下:

?
P

0

1

2

3

5 42

10 21

5 14

1 21

所以 E? ? 0 ? (Ⅱ) K ?
2

5 10 5 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 42 21 14 21 3

????7 分(期望占 2 分)

100(45 ?15 ? 30 ?10)2 100 n(ad ? bc)2 ? ? ? 3.03 .?10 分 55 ? 45 ? 25 ? 75 33 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
100 ? 3.03 ? 3.840 , 33
???13 分

因为 2.706 ?

所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,即最 精确的 p 值应为 0.1 .

17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,

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(19)解: (Ⅰ)设 PA 中点为 G,连结 EG , DG . 因为 PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形. 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB , CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD . 所以四边形 CDGE 为平行四边形. 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 所以 CE //平面 PAD . ????????4 分 (Ⅱ)如图建立空间坐标系,则 B(4,0,0) , C (4,4,0) ,

z P

E (4,0,2) , P(0,0, 4) , D(0,4,0) ,

E

A

??? ? ??? ? 所以 PC ? (4,4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) , ??? ? PD ? (0,4, ?4) . ?? 设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ,
第 11 页 共 16 页

D y

B x

C

?? ??? ? ? m ? PC ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? 所以 ? ?? ??? . ?? ? 2 x ? z ? 0 m ? PE ? 0 ? ? ?
?x ?1 ?? ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? (1,1, 2) . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? PD ? ?? ? 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ? ??? PD m
所 以

?4 3 ? . 6 6 ?4 2
所 成 角 的 正 弦 值 是

PD







PCE

3 . 6

????????8 分

(Ⅲ)依题意,可设 F (a,0,0) ,则 FE ? (4 ? a,0, 2) , DE ? (4, ?4,2) . 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ?

?

? ???? ? n ? ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?? 则 ? ? ??? . ? (4 ? a ) x ? 2 z ? 0 n ? FE ? 0 ? ? ?
? x?2 ? a ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? , 2 ? ? ?z ? a ? 4
所以 n ? ( 2, , a ? 4) .

z P

E

A

D y

a 2 B 因为平面 DEF ? 平面 PCE , x ?? ? a 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? ? 2a ? 8 ? 0 , 2 12 12 ? 4 , 点 F ( , 0, 0) . 所以 a ? 5 5 AF 3 ? . 所以 ????????12 分 AB 5
(20)
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F C

解: (Ⅰ)设点 C 坐标为 ( x, y ) 因为 G 为 ?ABC 的重心 故 G 点坐标为 ( , ),? M (0, )
2 由 | MC |?| MB | 得? x ? (

x y 3 3

y 3

????2 分 ????3 分

2 2 y y) ? 2 ? ( )2 , 3 3



x? y 2 ? ? 1( y ? 0) 2 6

x2 y 2 ? ?ABC 的 顶 点 C 的 轨 迹 E 的 方 程 是 ? ? 1( y ? 0, x ? 0) 2 6
???4 分 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m与 由题, k ? 0

x2 y 2 ? ? 1 的两交点为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 2 6

? y ? kx ? m ? 联立: ? x 2 y 2 消去 y 得: (k 2 ? 3) x2 ? 2kmx ? m2 ? 6 ? 0 ??6 分 ?1 ? ? 6 ?2

?? ? 4k 2m2 ? 4(k 2 ? 3)(m2 ? 6) ? 12(2k 2 ? m2 ? 6) ? 0.........(1)
且 x1 ? x2 ? ?

2km m2 ? 6 , x x ? . 1 2 k2 ? 3 k2 ? 3

????7 分

因为四边形 OPRQ 为平行四边形,所以线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点,所以

R 点的坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,整理得 R(

?2km 6m , ) ????8 分 k2 ? 3 k2 ? 3

?2km 2 6m ) ( 2 )2 2 2 2 由点 R 在椭圆上,所以 k ? 3 ? k ? 3 ? 1 ,整理得 2m ? k ? 3........(2) ?10 分 2 6 (
将(2)代入(1)得 m2 ? 0,? m ? 0 ,由(2)得 2m2 ? 3, ? m ?

6 6 或m ? ? , 2 2

第 13 页 共 16 页

所以 m 的取值范围为 ? ??, ?

? ? ?

? 6? ? 6 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?. 2 ? ? ? ?

????12 分

(21)解: (Ⅰ) f ( x) 与坐标轴交点为 ( a, 0) , f ?( a ) ?

g ( x) 与坐标轴交点为 (0, a ) , g ?(0) ? a ?????2 分 1 ? a ? 解得 a ? ?1 ,又 a ? 0 ,故 a ? 1 ?????3 分 a (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e x ,

1 ,?????1 分 a

F ( x) ? ln x ? e x?1, x ? (0, ??)
? F ?( x) ? 1 x ?1 1 ? xe x ?1 ?e ? ????4 分 x x 令 h( x) ? 1 ? xe x?1 ,显然函数 h( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减,且 h(1) ? 0 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,? F ?( x) ? 0 ,? F ( x) 在 (0,1) 上单调递增 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,? F ?( x) ? 0 ,? F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减 故 F ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ?????6 分
(2)原不等式等价于: x ln x ? k ( x ? 1) ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立.
2

设 ? ( x) ? x ln x ? k ( x ?1)( x ? 1) 则 ? ?( x) ? ln x ? 1 ? 2kx ????7 分 令 u( x) ? ? ?( x) ? ln x ? 1 ? 2kx( x ? 1)
2

? u?( x) ?

1 1 ? 2kx ? 2k ? x x

????8 分

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(22)解:(1) 由题意可知, ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,

PE PD PE ED ED PB PD ? ? ? ? ,又 ,则 . (5 分) PA PC PB BD BD PA PC (2) 由 ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,可得 ?CDE ? ?ECD , ? ? 在△ ECD 中, ?CED ? 30 ,可知 ?PCE ? 75 . (10 分)
则△ PED ∽△ PAC ,则 (23) 解: (Ⅰ)ρ2=x2+y2
2 2 2

ρcosθ=x,ρsinθ=y ???5 分
2 2

? ? 4? cos? ? 2 ? x ? y ? 4x ? 2
∴圆的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 (Ⅱ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ? (x-2) +y =2
2 2

??????7 分

设?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

(α 为参数)

π x ? y ? 2 ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 ? 2sin(? ? ) 4
所以 x+y 的最大值 4,最小值 0 ???????10 分 ??2 ?| x | ?4 ? 2 ? 2 ?| x |? 6 (24) 解: (Ⅰ) 由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 , 故不等式的解集为 ? ?6, ?2? ? ? 2,6? ????5 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 , ∴ m 的取值范围为 m ? 4 . ????????????????10 分
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??????8 分

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