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湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试理科数学试卷


2015 届黄冈中学高三下 5 月模拟考试
1 ? 2i 的共轭复数是 2?i 3i 3i A. B. ? 5 5

数学试题(理)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

C. i

D. ?i
B

2.设全集 U ? R , 函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ?1) 的定义域为 A , 集合 B ? {x | sin ? x ? 0} , 则 (CU A) 的元素个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2

3.下列四种说法中,正确的个数有 ①命题“ ?x ∈R,均有 x2 ? 3x ? 2 ≥0”的否定是:“ ?x ∈R,使得 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ②“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件;
m ③ ? m ? R ,使 f ? x ? ? mx
2

?2m

是幂函数,且在 ? 0, ??? 上是单调递增

④若数据 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差为 1,则 2 x1,2 x2 ,2 x3 , ???,2 xn 的方差为 2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

?y ? x ? 4.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D.4

5. 如图所示的茎叶图(图一) 为高三某班 50 名学生的化学考 试成绩,图(二)的算法框图中 输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩, 则输出的 m, n 分别是 A. m ? 38, n ? 12 C. m ? 12, n ? 12 B. m ? 26, n ? 12 D. m ? 24, n ? 10 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(图一)

·1 ·

(图二)

A. 3

B.2

C.

4 3 3

D. 2 3

7.先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有 1 、2 、3 、4 、5 、6 个点)两次,落在水平 桌面后,记正面朝上的点数分别为 x , y ,设事件 A 为“ x ? y 为偶数”, 事件 B 为
“ x , y 中有偶数且 x ? y ”,则概率 P( B | A) 等于

A.

1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.

1 4

sin x 的所有正的零点从小到大依次为 x1 , x2 , x3 ,...... 1 ? cos x 设 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? .... ? x2015 ,则 cos ? 的值是
8.设函数 f ( x) ? 1 ? A.0 9. 过曲线 C1 : B. ?

3 2

C.

3 2

D.1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切点为 M, 2 a b 延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,若 MF 1 ? MN ,
则曲线 C1 的离心率为 A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 D.

5 ?1 2

10.已知非零向量 a, b, c 满足 | a ? b |?| b |? 4 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,若对每一个确定的 b ,| c | 的最大 值和最小值分别为 m, n ,则 m ? n 的值为 A.随 | a | 增大而增大 B. 随 | a | 增大而减小 C.是 2 D. 是 4

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题 卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一) 必考题(11—14 题)
n 11. 若 ( x ? ) 的 二 项 展 开 式 中 各 项 的 二 项 式 系 数 的 和 是 64 , 展 开 式 中 的 常 数 项 为

1 x

___________(用数字作答). 12.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? a2012 ? a2014 ? 则 S2015 ? .

32

?

?

1

0

1 ? x 2 dx , Sn 是该数列的前 n 项的和,

1 2 3 n 13.计算 Cn ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ,可以采用以下方法:构造等式: 0 1 2 2 n n Cn ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x ? ?1 ? x ? ,两边对 x 求导,
n 1 2 3 2 n n ?1 得 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ??? ? nCn x ? n ?1 ? x ? n ?1

,在上式中令 x ? 1 ,

·2 ·

得 Cn ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ? n ? 2
1 2 3 n 1 2 2 2 3 2 n

n?1

.类比上述计算方法,

计算 Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ???? ? n Cn ? _________. 14.如果 y ? f ( x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立, 则称此函数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数

y ? sin x 具有“ P(a ) 性质” ;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P (2) 性质” ,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ; ③若函数 y ? f ( x) 具有“ P (4) 性质” , 图象关于点 (1 , 0) 成中心对称,且在 (?1, 0) 上单调递减,则

y ? f ( x) 在 (?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增;
④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P(3) 性质” ,且函数 y ? g ( x) 对

?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数.
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号). (二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号 所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15.如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径,已知 CE ? 1, DE ? 4 ,则圆 A 的半径为_______. 16 .在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .若点 P 为直线

?x ? t ? ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 上一点,点 Q 为曲线 ? 1 2 (t 为参数)上一点,则 | PQ | 的最小值 y ? t ? ? 4
为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) ? 17. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中, . ac sin A cos A
(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 a ?

2 ,当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求 B 和 b . 12

18. (本小题满分 12 分) 黄冈市于 2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发 放 10 万个小汽车名额,其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种 方式各发放一半.政策推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所示:
·3 ·

申请意向 年龄 30 岁以下(含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计 电动小汽车 (人数) 50 50 100 200

摇号 非电动小汽车(人数) 100 150 150 400

竞价(人数) 50 300 50 400

合计 200 500 300 1000

(Ⅰ)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (Ⅱ)在(Ⅰ)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (Ⅲ)用样本估计总体,在全体市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC=
1 BC=a,E 是 BC 的中 2

点,将△BAE 沿 AE 折起到 ?B1 AE 的位置,使平面 B1 AE ? 平面 AECD ,F 为 B1D 的中点. (Ⅰ)证明:B1E∥平面 ACF; (Ⅱ)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

20 . (本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 , n ? N* ,且

a1 , S 2 , 2a3 ? 4 成等比数列.
(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 bn ?

an ? , n ? N ,求 {an } 的通项公式. 2n

x2 y 2 6 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 6 . a b 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 F 为椭圆 C 的右焦点, T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

·4 ·

22. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m, g ( x) ? 实数. (Ⅰ)求 g ( x) 的极值;

ex (e ? 2.71828 ) ,其中 m, a 均为 ex

(Ⅱ)设 m = 1, a = 0 ,求证:对 ?x1 , x2 ? ?3, 4? ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex2 ex ? 1 恒成立; g ( x2 ) g ( x1 )

(Ⅲ)设 a ? 2 ,若对 ? 给定的 x0 ? ?0, e? ,在区间 ?0, e? 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使得

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.

答 案
1 ? 5 DCCBB
11. 15 17. 12. 4030

6 ? 10 CAADD
13. n(n ? 1) ? 2n?2 14. ①③④ 15. 4 16.

3 2 2

·5 ·

18.

·6 ·

19(1)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, B1E / /面ACF 。??????4 分 (2) 取 AE 的中点 M,连结 B1M,连结 MD,则∠AMD= 90 0 , 分 别 以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴 建 系 , 则 3 3 3 a a a ,0) A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a) , 所 以 1 , E ( ,0,0) , C (a , 2 2 2 2 2 a 3a a 3a a 3a EB 1 ? (? ,0, ) ,AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) ,设面 ECB1 的法向 2 2 2 2 2 2 ?a 3 ay ? 0 ? x ? 3 3 ?2 2 , ) ,?8 分 为 u ? (x , y , z ) , ? ,令 x=1, u ? (1,? 3 3 3 ? a ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2

所以



3 3 ,? ) ????10 分 3 3 1 1 1? ? 3 3 3 所以 cos ? u ,v ?? ? , 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 3 故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 ???? 12 分 5
同理面 ADB1 的法向量为v ? (1,?

20.
·7 ·

(2)由 Sn ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 得 Sn?1 ? an ? (n ?1)2n?2 ? 4 n ? 2 两式相减得 an?1 ? 2an ? (n ? 1)2n?2

an ?1 an ? ? 2(n ? 1) ,则 bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) ??8 分 2n ?1 2n 当 n ? 2 时, bn ? b1 ? b2 ? b1 ? bn ? bn?1 ? 2(1 ? 2 ? n) ? n(1 ? n) 当 n ? 1 时, b1 ? 2 满足上式,所以 bn ? n(n ? 1) , n(n ? 1) 从而 an ? .....................................12 2n 2 2 21.解: (1)由已知解得 a ? 6 b ? 2 x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………(2 分) 所以椭圆 C 的标准方程是 6 2
两边同时除以 2
n ?1



(2) (ⅰ )由(1)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

????5 分

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ?m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2??,

? m?t ? 2 ? m( 2 ? t ) x. ,其方程为 y ? t t 6 ? 2m ? 2m m( 2 ? t ) 6 , 2 ) 代入,得 2 ? ? 2 将 M 点的坐标为 ( 2 . m ?3 m ?3 m ?3 t m ?3 解得 t ? 3 . ………………………………………………8 分
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,?m) . 于是 | TF |?

m ?1 ,
2

| PQ |?

24(m 2 ? 1) . m2 ? 3

????10 分

所以

| TF | m2 ? 3 1 (m2 ? 3) 2 ? m2 ? 1 ? ? ? | PQ | m2 ? 1 24(m2 ? 1) 24

·8 ·

?

1 (m2 ? 3)2 1 (m2 ? 1)2 ? 4(m2 ? 1) ? 4 ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24
1 4 1 3 . ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? m ?1 3 24 24
?????12 分

?

3 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 . |PQ| m +1 3
|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1). |PQ| 22. 解: (1)? g ( x) ? 极小值; (2) ?????13 分

ex ? e( x ? 1) ,? g ' ( x) ? ,? ?? ?,1? ?, ?1,?? ? ?,? g ( x) 极大值 g (1) ? 1 ,无 x e ex
??????4 分

ex ? e x ,在 [ 3, 4] 上是增函数设 m = 1, a = 0 ,? f ( x) ? x ? 1,在 [ 3, 4] 上 是增函数,又 g ( x)
ex2 ex1 g ( x2 ) g ( x1 )

3 ? x1 ? x2 ? 4 ,则原不等式转化为 f ( x2 ) - f ( x1 ) <
ex2 ex1 < f ( x1 ) g ( x2 ) g ( x1 )

即 f ( x2 ) -

?6 分

令 h( x ) = f ( x ) -

ex = x - e x - 1, g ( x)

即证?x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ),即h( x)在?3,4? 单减 h' ( x) = 1 - ex < 0 在 [ 3, 4] 恒成立 即h( x)在?3, 4? 单减,即所证不等式成立
(3)由(1)得 g ( x)在?0,1? ? ?1, e? ?, g ( x) max ? g (1) ? 1 ????????????9 分

2 ' ' , 又 f ( x) ? m ? , 当m ? 0时, f ( x) ? 0, f ( x)在?0,e ? ? 不符合题意。 ? ? g ( x ) ? 0 , 1 所以, x
m ? 0 时,要 ?t1 , t 2使得f (t1 ) ? f (t 2 ) ,
那么由题意知 f ( x) 的极值点必在区间 ?0, e ? 内,即 0 ? 得m ?



2 ?e m

2 ? 2? ?2 ? ,且函数 f ( x) 在 ? 0, ? ?, ? , e ? ? e ? m? ?m ?

由题意得 g ( x) 在 ?0, e ? 上的值域包含于 f ( x) 在 ? 0,

? ?

2? ?2 ? ?和? , e ? 上的值域 m? ?m ?

·9 ·

? 2 3 ?f( )?0 ?2 ? ?m? ? ? , e ? 内, ? m e ?1 ?m ? ? ? f (e) ? 1
下面证 t ? ? 0,

? ?

2 2? ?m ?m e ? , 即证 2e m ? m ? 0 时, ,取 ,先证 t ? e f ( t ) ? 1 ? m m?

令 w( x) ? 2e x ? x,? w ' ( x) ? 2e x ? 1 ? 0, 在?

? 3 ? ,?? ? 内恒成立 ?e ?1 ?

? w( x) ?,? w( x) ? w(

3 ) ? 0,? 2e m ? m ? 0 e ?1 3 3 ? 1,? m ? e ?1 e ?1
?????14 分

?m ?m ?m 再证 f (e ) ? 1,? f (e ) ? me ? m ? m ?

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·10·


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