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2.1.1(新)椭圆的标准方程(2).ppt


2 .1 椭圆

2 . 1 . 1 椭圆及其标准方程2

昨日要点回顾:
椭圆的定义 图形
2

a b F 1 co
2

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0) y y F 2 M M
F2 x

M

o
F 1

x

标准方程 焦点坐标
a,b,c的关系

x y ? ? 1 ? a ? b ? 0? 2 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a 2 ? c 2 ? b2 (a ? c ? 0, a ? b ? 0)

焦点位置的 判断

看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.

标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2
P x

不 同 点




F1
O

F2

x

O

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断

F1 ? -c , 0 ?,F2 ?c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ?0?,?c ?
平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹

a 2 = b2 + c 2
分母哪个大,焦点就在哪个轴上

练习1

x2 y2 1、 已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 25 16
焦距等于__. 6

(-3,0)、(3,0), (1)a=__ 5 ,b=__ 4 ,c=__ 3 ,焦点坐标为___________

(2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦

点, 并且CF1=2,则CF2=___. 8 x 2 y2 2.已知方程 4 + m =1 表示焦点在x轴上的椭圆, (0,4) 则m的取值范围是 . x2 y2 + = 1表示焦点在y轴上 变式:已知方程 m - 1 3- m
的椭圆,则m的取值范围是

(1,2)

.

题型一:待定系数法 例 1 求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有共同 的焦点的椭圆的标准方程.
解 :∵椭圆 9x +4y =36 的焦点为( 0, ± 5 ) , x2 y2 则可设所求椭圆方程为: ? =1(m> 0) m m?5 4 9 ?1 将 x=2, y=3 代入上式得: ? m m?5 解得:m =10 或 m =-2(舍去) x2 y2 ? ∴所求椭圆的方程为: =1. 10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
2 2

练习2 : 求焦点在坐标轴上,且 经过 A( 3, ? 2) 和B( ? 2 3, 1 )两点的椭圆的标准方 程。

题型二:相关点法
例2 如图 2.1 ? 5 , 在圆 x ? y ? 4
2 2

y
P

上任取一点 P, 过点 P 作 x轴的垂 线段 PD, D 为垂足.当点 P 在圆上 运动时, 线段 PD的中点 M 的轨迹 是什么? 为什么?
O

M

D

x

图 2.1 ? 5

分析:点P在已知曲线上运动,我们称点P为主动点

点P运动引起点M运动,我们称点M为从动点
主动点P和从动点M我们称为是一对相关点

求从动点的轨迹方程我们用相关点法

点 P的坐标为?x0 ,y0 ?,则

解 设点 M 的坐标为?x,y ?,

y
P

M

y0 x ? x0 ,y ? . 2 因为点P?x0 ,y0 ? 在圆x2 ? y 2
2 0 2 0

O

D

x

? 4 上,所以x ? y ? 4. ?1?
2

图2.1 ? 5
2

把x0 ? x, y0 ? 2y 代入方程?1?,得x ? 4y ? 4,
x 即 ? y 2 ? 1. 所以点M的轨迹是一个椭圆 . 4
2

相关点法求轨迹方程方法小结
? 适用情形: 主动点轨迹已知,求从动点轨迹方程 ? 基本步骤: 1、设点:设从动点M(x,y),主动点P(x0,y0) 2、建立主动点和从动点的坐标间的关系 即:求出x0=… ,y0=… 3、将2中求出的结果代入x0,y0所满足的方程, 从而得到关于x,y的方程

例 2 如图 2.1 ? 5 , 在圆 x ? y
2

2

y
P

? 4 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当 点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为
O

M

D

x

什么? 变式1:若点M满足|DM|=1/3|DP|,则点M的轨迹 方程是什么? 变式2:若点M满足|DM|=3|DP|,则点M的轨迹方 程是什么?

思考 从例1及其变式你能发现椭圆与圆之间 的关系吗 ?

题型三:直接法
例 3 如图 2.1 ? 6, 设点A, B 的坐标 分别为 ?? 5,0?, ?5,0?.直线 AM , BM
A

y
M

B

4 相交于点M , 且它们的斜率之积是 ? , 9 求点 M的轨迹方程.

O

x

图2.1 ? 6

分析 设点 M的坐标为 ? x , y ?, 那么直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x , y的式子表示 .由于直线 AM , 4 BM的斜率之积是 ? ,因此可以建立 x , y之间的 9 关系式 , 得出点 M的轨迹方程 .

解 设点M的坐标为? x, y ?, y M 因为点 A 的坐标是 ?? 5,0 ? , 所以, 直线 AM 的斜率 A y O ? x ? ?5 ? ; k AM ? x?5 同理, 直线 BM 的斜率 图2.1 ? 6 y ? x ? 5 ?. k BM ? x?5 y y 4 ? ? ? ? x ? ?5 ?, 由已知中有 x?5 x?5 9

B

x

x2 y2 化简, 得点M的轨迹方程为 ? ? 1? x ? ?5 ?. 25 100/ 9

题型四:定义法

例4 已知B、C是两个定点,︱BC︱=6,且 △ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。
Y

解:如图,建立坐标系,使x轴经过点B、C, 使原点O与BC的中点重合。 由已知︱AB︱+︱BC︱+︱AC︱=16 B O 由于︱BC︱=6,所以︱AB︱+︱AC︱=10 即点A的轨迹是椭圆,又2c=6,2a=10 ∴c=3,a=5,b2=a2-c2=16.2 y2 x ∴点A的轨迹方程是: 25 ? 16 ? 1. (y≠0)

A C

X

问:以上解法有问题吗?有没有不周密之处?

练习3:圆C1:x2+y2+4x=0,圆C2:x2+y2-4x-60=0, 动圆M和圆C1外切,和圆C2内切,求动圆圆心M的 轨迹方程。 解:设M(x,y),圆M半径为r
圆M和圆C1外切,和圆C2内切
M

| MC1 |? R1 ? r, | MC2 |? R2 ? r
C1 C2

? | MC1 | ? | MC2 |? 10
而C1(2,0),C2(-2,0)

? | MC1 | ? | MC2 |? R1 ? R2

定 义 故M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆, 法 且C1C2中点为原点,2a=10,2c=4, 求 轨 2 2 x y 动圆圆心M的轨迹方程是: ? ?1 迹
25 21

变式3 已知圆A:(x+3)? +y? =100,圆A内一定点B(3,0),圆 P过B点且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程。

变式4 ⊿ABC的三条边a, b, c成等差数列且满足 a>b>c, A、C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0).求顶 点B的轨迹。

课堂小结
? 求椭圆标准方程关键求什么? ? 求轨迹方程的基本方法及适用情形? 待定系数法、相关点法、直接法、定义法等 ? 椭圆和圆的内在联系


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