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教案08-2.1离散型随机变量及其分布


教学对象 计划学时 2

505-13、14、15; 205管理系 505-13、14、15;经济系 205-1、2 授课时间
2006 年 3 月 3 日;星期五;1—2 节

教学内容

第二章 一维随机变量及其概率分布 第一节 离散型随机变量及其分布律 一、随机变量 二、离散型随机变量 通过教学,使学生能

够: 1、理解随机变量的概念 2、掌握离散型随机变量的概念 3、会求离散型随机变量的分布律

教学目的

知 识: 1、随机变量的概念 2、离散型随机变量 3、离散型随机变量的分布律

技能与态度 1、从变量的角度分析随机现象 2、将随机事件与随机变量的取 值相联系

教学重点 教学难点 教学资源

随机变量的概念、分布律的概念及求法 随机变量的理解 自编软件 教学后记

培养方案或教学大纲 修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见 教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任: 系部主任:

《概率与数理统计》08—§2-1 离散型随机变量及其概率分布(第一次)(共 5 页) 第 1 页

教学活动流程
教学步骤、教学内容、时间分配 一、复习导入新课 复习内容:(7 分钟) 复习内容 1、古典概率的计算公式 2、加法公式 3、乘法公式 4、全概率公式 导入新课:(3 分钟) 导入新课:
在第一章里,我们主要研究了随机事件及其概率,同学 们可能会注意到:在随机现象中,有很多问题与实数之间存 在着某种对应的联系。例如,在产品检验问题中,我们关心 的是抽样中出现的次品数;在车间供电问题中,我们关心的 是某时期正在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段 时间内的话务量等。对于这类随机现象,其试验结果显然可 以用数值来描述,并且随着试验结果的不同而取不同的数 值。我们可以建立一个样本空间 实数之间 样本空间和实数之间 样本空间 实数之间的对应关系,使 随机试验的结果与数值发生联系。为了全面的研究随机试验 的结果,揭示随机现象的统计规律性,我们将随机试验的结 果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,为此可引入 随机变量的概念。

教学目标

教学方法

巩固所学知识, 与技能 提问讲解 解决作业中出现 的问题

引出学习概率的 目的

二、明确学习目标

1、了解随机变量的概念; 2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的性质

三、知识学习(50 分钟) 第二章 一维随机变量及其概率分布 第一节 离散型随机变量及其分布律 一、随机变量
引例 1:投掷一枚均匀的骰子,观察点数情况。如果用 : 变量 X 表示出现的点数,则 X 的取值可能为 1,2,3,4,5,6 我们可以用含有 X 的等式或不等式来表示随机试验的 结果。显然,在这一试验中,X 是一个特殊的变量,它取不 同的数值表示试验中发生的不同结果,在试验之前它的取值 无法确定,但是它取某些值的概率是可以计算的。如

用实例逐步引入

讲授法 学生举例

1 ,P{X<4}=0.5 6 引例 2:一批产品成共 10 件,其中有 3 件次品。现从中 任取 2 件,如果用 X 表示取出的次品数,则 X 的取值可能 为 0,1,2 我们可以用含有 X 的等式或不等式来表示抽取的不同 结果。如{X=1}表示“取出的两件中恰有一件次品” 。显然, 在这一试验中,X 是一个特殊的变量,它的取值是随机的, 事先无法确定,但是它取某些值的概率是可以计算的。如
P{X=3}=
《概率与数理统计》08—§2-1 离散型随机变量及其概率分布(第一次)(共 5 页) 第 2 页

P{X=1}=

1 1 C3C 7 2 C10

=

7 ,P{X<4}=0.5 15

,结果 例 3:要测试电子元件的使用寿命(单位:小时) 可用变量 X 的取值来表示。X 的取值可为区间[0, +∞)内的 任意一个数。 X 取不同的数值则表示不同的测试结果。如{100≤X≤ 200}表示测试的使用寿命在 100 小时到 200 小时之间。 例 4:要考查一台机器是否出现故障,有两种可能的结 果:出现故障,机器正常。我们可以引入变量 X,并且规定: X=1 表示机器正常,X=0 表示机器出现故障。 说明: 说明:有些初看起来与数值无关的随机现象,也可与数 值联系起来进行描述。比如,在投掷硬币的问题中,每次实 验出现的结果为正面或反面,与数值没有联系,但我们可以 通过指定数“1”代表正面, “0”代表反面,为了计算 n 次 投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数就行了, 从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。这就说明了, 不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立 一个样本空间 实数之间 样本空间和实数之间 样本空间 实数之间的对应关系,使随机试验的结果与 数值发生联系。 从上面的例子中, 我们不难体会到: 无论是哪一种情况, 随机试验的结果都可以和一个变量 X 的取值相对应。即:X 的取值随着试验结果的不同而不同, 而且 X 的取值也具有一 定的概率。我们将这样的变量称为随机变量。即: 1、定义 、定义:用来表示随机试验各种结果的变量叫做为随 随 机变量。 (Random Variable) 机变量。 随机变量通常用 X,Y,Z 来表示,也可用 ξ,η,θ 等 来表示。而用 x,y,z 来表示随机变量相应于某个试验结果 所取的值。 引入随机变量后,随机试验和各种结果可以方便地用含 有随机变量的等式或不等式来表示,并且表示的结果也很简 洁。如{至少取出一件次品},若用随机事件的关系来表示, 就比较复杂,但用随机变量就可以简单地表示成{X≥1} 随机变量的引入,使概率论的研究由个别的随机事件扩 大为由随机变量所代表的整个随机现象的研究。正因为随机 变量可以方便地描述各种随机事件,可以使我们摆脱对个别 随机事件的孤立研究。随机变量可以方便地将各个事件联系 起来,进而方便地研究随机现象的全部规律。同时,由于变 量与函数的关系非常密切,引入了随机变量以后,我们可以 用函数的工具和高等数学的方法对随机现象进行更深入的 研究。今后各章,我们主要研究随机变量和它的分布。 2、随机变量的分类:可分为两类: 、随机变量的分类: (1)离散型随机变量 离散型随机变量:取值为有限个或可列个。如: 离散型随机变量 ①掷一骰子出现的点数 X=1,2,3,4,5,6

引 导 学 生 认 识 讲授法 到:与数值无关 的随机现象可以 人为规定它的结 果与数值有关

理解随机变量的 讲授法 概念 板书

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②一天内光顾某商场的顾客人数 X=0,1,2,… ③一天内火车站的候车人数 X=0,1,2,… ④获得一等奖之间,购买的彩票张数 X=0,1,2,… (2)连续型随机变量 连续型随机变量:取值充满某一区间。 连续型随机变量 ①某种零件的长度误差 ②任选一人测量的身高 ③产品的使用寿命 ④动物或植物的生存寿命 随机变量的类型不同,研究的方法和使用的工具也不 同,难易程度有所不同,一般来说,离散型随机变量比较简 单,因此先研究离散型随机变量。

了角随机变量的 类型

二、离散型随机变量
1.概念说明 概念说明 定义: 定义:如果随机变量 X 只能取有限个或可列无穷多个 (即 X 的全部可能取值可以一一列举出来)数值,则称 X 为离散型随机变量。 对离散型随机变量,我们既要关注它的所有可能的取 值,更重要的是要知道它取这些值的概率。这样才能对随机 现象进行全面的研究。对于离散型随机变,我们使用分布列 (律)进行研究。 定义:若离散型随机变 X 的所有可能取值为 xk(k=1,2, … ) , 事 件 {X=xk} 的 概 率 记 为 P{X=xk}=pk (k=1,2, … ) , 则 称 表 达 式 P{X=xk}=pk 或 表 格

掌握离散型随机 变量的研究方法

X P

x1 p1

x2 L xk p2 L pk

L ? x1 , x 2 ,L, xi ,L ? 或矩阵 ? ? p , p , L , p , L? 为 X ? L i ? 1 2 ?

的概率分布 分布列 律)。 概率分布或分布列 概率分布 分布列(律 2.分布列的性质:(1)非负性:pk ≥0 分布列的性质 分布列的性 (2)规范性: ∑ P{ X = x k } =∑ p k =1
k k

理解分布律的概 讲授法 念 板书

分布列完数刻画了离散型随机变量取值的规律性。这 掌握分布列的性 样,对于离散型随机变量,只要知道它的一切可能取值和取 质 这些值的概率,也就是说知道了它的分布列,也就掌握了这 个离散型随机变量的变化规律。

四、技能学习(20 分钟)
例 1(P 19) 若 X 的分布律为: ( ) :

?1? P{X=k}=3α ? ? (k=1,2,…),求常数 α ? 2?
解:由分布列的性质 2:

k

教师提问 掌握分布律的性 引导学生 质 写出答案

《概率与数理统计》08—§2-1 离散型随机变量及其概率分布(第一次)(共 5 页) 第 4 页

1 k 1 ?1? ∑ 3α? 2 ? = 3α ? 2 1 = 3α = 1 ,可得 α= 3 ? ? k =1 1? 2


例 2 、 某人独立地进行射击,每次射击的命中率为 p(0<p<1)。以 X 表示首次击中目标时已射击的次数,求 X 的 分布律 X 容易求得 X 的 解 在本题中, 的取值为 k=1,2,3,…。 k—1 分布律为 P{X=k}=pq ,(其中 q=1—p) (此时又可称 X 服从以 p 为参数的几何分布)

五、态度养成 六、技能训练(16 分钟)
:一批产品成共 10 件,其中有 3 件次品。现 例(P 19) ) 从中任取 2 件,用 X 表示取出的次品数,求 X 的分布律。 解:X 的可能取值为 0,1,2,X 的分布律为 P{X=k}=
k 2 C3 C 7 ?k 2 C10

做事认真的态度

(k=0,1,2)

或用表格表示:但要先求出各个值的概率 {X=0}={没有取到次品},P{X=0}=
0 2 C3 C7 2 C10 1 1 C3C 7 2 C10 2 0 C3 C7 2 C10

7 = 15 = 7 15 1 15

学生练习 通过实际训练, 老 师 巡 使学生理解样本 视,解答 的写法与含义 问题

{X=1}={取到一件次品},P{X=1}=

{X=2}={取到两件次品},P{X=2}=

=

X
X 的分布律为:

P

0 1 2 7 7 1 15 15 15

七、课堂小结(3 分钟)
引入随机变量的概念之后,可以用随机变量方便地表示 随机事件,可以全面的研究随机试验的各种结果,揭示随机 现象的统计规律性,我们将随机试验的结果用随机变量表示 以后,可以方便地使用函数的工具进行研究。

概括总结,帮助 学生构建知识体 系

简要概括 本节内容

八、布置作业(1 分钟)
复习本节内容 预习离散型随机变量的常见分布 要求:重点了解二项分布、泊松分布

巩固所学的知识 培养自学能力

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