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湖北省监利县第一中学2014年高中数学 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案 新人教A版必修4


湖北省监利县第一中学 2014 年高中数学 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则学案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1.熟练掌握简单复合函数的求导法则; 2.独立思考,合作学习,注重复合函数求导法则的运用. 【使用说明】 1.自学课本 P16—P18,,仔细阅读课本,课前完成预习学案,牢记基础知识,掌握基本题型,在做 题过程中,如遇不会问题再回去阅读课本; 2.限时独立完成,书写规范;课上小组合作探究,答疑解惑。 3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用,控制讨论节奏。 预 习 案 1.简单复合函数的求导法则: 一般地,对于两个函数 y ? f ?u ? 和 u ? g ?x ? ,如果通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这 个函数为函数 y ? f ?u ? 和 u ? g ?x ? 的 函数,记作 y ? f ?g ?x ?? ,

复 合 函 数 y ? f ?g ?x ?? 的 导 数 和 函 数 y ? f ?u ? , u ? g ?x ? 的 导 数 间 的 关 系 为

y? ____ x ? __________
即: 思考:若 f ( x) ? sin 2 x ,则 f ' ( x) ? cos 2 x 对吗?为什么?

2.复合函数求导的基本步骤是:分解 ——求导——相乘——回代.
我的疑问: 我的收获与发现:

探 究 案 探究一:复合函数 例 1:指出下列函数的复合关系:

(1) y ? 2 ? x 2

?

?

3

(2) y ? sin x 2
(4) y ? ln sin?3x ? 1?

?? ? (3) y ? cos? ? x ? ?4 ?

拓展 1: (1)指出下列函数的复合关系:

- 1 -

?1?y ? sin 2 x
(2) :若 f ?x? ? 探究二:求复 合函数的导数 例 2:求下列函数的导数 (1) y ? ?3x ? 2?
3

1? ?2?y ? sin 3 ? ?1 ? ? ? x?

x , g ?x? ? 1 ? sin 2x, 则 f ?g ?x ?? ?

g? f ?x ?? ?

(2)

y ? 2 ?0.05 x?1

(3) y ? cos(?x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数) .

(4) y ?

?1 ? 5x ?4

1

拓展 2: (1) y ? 3 1 ? 3x

(2) y ? x ? 2 x ? 1

(3) y ?

1 1 ? 2x 2

(4) y ? 5 log2 ?2 x ? 1?

例 3:求 y = sin4 x ? cos 4 x 的导数.

拓展 3:求 y ? sin x 3 ? sin3 3x 的导数

探究三:切线问 题 例 4:求曲线 y ?

1 x 2 ? 3x

在点 ? 4, ? 处的切线方程。

? ?

1? 2?

- 2 -

拓展 4:曲线 y ? x( x ? 1)(2 ? x) 有两条平行 于直线 y ? x 的切线,求此二切线之间的距离 .

反思总结: 规













[来源:Zxxk.Com]


2 3

练 B. 6 x( x ? 1)
2

案 ( C. 3( x ? 1) (2x ? 1)
2 2 2

1、设函数 y ? ( x ? 1) ,则 y ' = A. 3( x ? 1)
2 2


2

D. 6x( x ? 1)
2

2、下列 结论正确的是 A.若函数 y ? sin 2 x ,则 y ' ? cos 2 x C.若函数 y ? cos x 2 ,则 y' ? 2x sin x 2 3、 设函数 y ? f (sin x) 是可导函数,则 y ' = A. f ' (sin x) B. f ' (sin x) ? cos x B.若函数 y ? sin x ,则 y' ? 2 x cos x 1 1 1 D.若函数 y ? cos ,则 y' ? ? sin x x x C. f ' (sin x) ? sin x
2









D. f ' (cos x) ? cos x ( D.0 。 )

4、 设函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x ? 1) ,则 f ' (1) 的值为 A.3 B.2 C.1

5 函数 y ? 3 sin2 2 x ? 1 在点( ? ,1 )处的切线方程是 6、求下列函数的导数: (1) f ( x) ? ( x ? 1) 99 ; (2) f ( x) ? 2e
?x



- 3 -

(3) f ( x) ? sin2 3x ? 5 cos x 2 ;

(4) f ( x) ? log2

x ?1 。 x ?1

7、求函数 y ? x ? 3 x 在点( 1,3)处的切线方程.

8、已知曲线 y ? 5 x , ⑴求曲线的与直线 y ? 2 x ? 4 平行的切线 方程; ⑵求过点 P(0,5)且与曲线相切的直线方程。

- 4 -


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