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2014届高考数学三轮复习课件:第一讲 函数与方程思想


第一讲

函数与方程思想

1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关 系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的 图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的 性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等.

(2)方程的思想 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、 转化问题, 使问题得以解决. 方 程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于 利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求 静,研究运动中的等量关系.

2.函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转化 为方程问题来解决,方程问题也可以转化为函数问题加以解决, 如解方程 f(x)=0, 就是求函数 y=f(x)的零点, 解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0),就是求函数 y=f(x)的正(或负)区间,再如方程 f(x)= g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题, 也可以转化为函数 y=f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题,方程 f(x) =a 有解,当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域,函数与方程的这种 相互转化关系十分重要.

求最值或参数的范围

??? ? ??? ? [例 1] 长度都为 2 的向量 OA, OB 的夹角为 60° ,点 C ??? ? ??? ? ??? ? ? 在以 O 为圆心的圆弧 AB (劣弧)上, OC =m OA+n OB ,则
m+n 的最大值是________.

[思维流程]

??? ? ??? ? [解析] 建立平面直角坐标系, 设向量 OA=(2,0), 向量 OB = ??? ? π (1, 3).设向量 OC =(2cos α,2sin α),0≤α≤3.
??? ? ??? ? ??? ? 由 OC =m OA+n OB ,得(2cos α,2sin α)=(2m+n, 3n),
即 2cos α=2m+n,2sin α= 3n, 1 2 解得 m=cos α- sin α,n= sin α. 3 3 π? ? 1 2 3 ? 2 3? ? ? 故 m+n=cos α+ sin α= 3 sin?α+3?∈?1, . 3 ? ? ? ? 3 ?
[答案] 2 3 3

总结————————————— ——————————规律·

四类参数范围(或最值)的求解方法 (1) 求字母 ( 式子 ) 的值的问题往往要根据题设条件构建以待 求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析 几何等问题中的重要问题, 解决这类问题一般有两种途径: 其一, 充分挖掘题设条件中的不等关系, 构建以待求字母为元的不等式 (组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示 成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值域.

(3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二 次方程的明显信息,构造方程后再利用方程知识可使问 题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减 少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个 变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.

1.(1)若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围 为________. (2)如果方程 cos x-sin x+a=0 值范围为________.
解析:(1)法一:(看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0. a-1
2

? π? 在?0,2?上有解,则 ? ?

a 的取

即 a>1 或 a<-3,又 a>0, ∴a>1,故 a-1>0. a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 ∴ab=a· = = a- 1 a-1 4 (a-1)+ +5≥9. a- 1 4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

法二:若设 ab=t,则 a+b=t-3, ∴a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. ?Δ=?t-3?2-4t≥0, ? 从而有?a+b=t-3>0, ?ab=t>0, ? ?t≤1或t≥9, ? 即?t>3, ?t>0, ?

解得 t≥9,即 ab≥9.

∴ab 的取值范围是[9,+∞).

法三:(看成不等式的解集) ∵a,b 为正数, ∴a+b≥2 ab,又 ab=a+b+3, ∴ab≥2 ab+3. 即( ab)2-2 ab-3≥0, 解得 ab ≥3 或 ab≤-1(舍去), ∴ab≥9.即 ab 的取值范围是[9,+∞).

(2)把方程变形为 a=-cos2x+sin x. 设 f(x)=-cos x+sin
2

? π? x,x∈?0,2?. ? ?

显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. f(x)=-(1-sin x)+sin 且由
? π? x∈?0,2?知 ? ?
2

? x=?sin ?

1?2 5 x+2? - , 4 ?

sin x∈(0,1].

易求得 f(x)的值域为(-1,1],故 a 的取值范围是(-1,1].
答案:(1)[9,+∞ ) (2)(-1,1]

解决图像交点或方程根等问题
[例 2] 1 设函数 f(x)=x,g(x)=-x2+bx,若 y=f(x)的

图像与 y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1), B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.x1+x2>0,y1+y2>0 B.x1+x2>0,y1+y2<0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 D.x1+x2<0,y1+y2<0 ( )

[思维流程]

[解析]

由于函数 y=f(x)的图像在一、三象限且关于坐标原点对称,函

数 y=g(x)的图像过坐标原点, 结合函数图像可知点 A, B 一定只能一个在第 1 1 x1+x2 一象限、另一个在第三象限,即 x1x2<0,由于 y1+y2=x +x = x x ,故 1 2 1 2 x1+x2,y1+y2 一定异号. 1 问题即为方程-x2+bx=x仅有两个不同的实根,即方程 x3-bx2+1=0 有一个二重根、一个单根.根据方程根的理论,如果 x1 是方程 x3-bx2+1 =0 的二重根,x2 为一个单根,则 x3-bx2+1=(x-x1)2(x-x2)=x3-(2x1+
2 2 x2)x2+(x1 +2x1x2)x-x1 x2,这个等式对任意 x 恒成立,比较等式两端 x 的系 2 数可得-x1 x2=1,则 x2<0,且 x2 1+2x1x2=0,即 x1+2x2=0,即 x1+x2=-

x2>0,所以 x1+x2>0,y1+y2<0.

[答案]

B

总结————————————— ——————————规律·
解决图像交点及方程根等问题的方法 函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程 思想, 同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重 要的函数思想,在解决此类问题时要注意灵活应用.

2.已知方程 9x-2· 3x+(3k-1)=0 有两个实根,则实数 k 的取 值范围为________.
解析:令 3x=t>0,则方程化为 t2-2t+(3k-1)=0(t>0)(*), 要使原方程有两个实根,方程(*)必须有两个正根, ?Δ=22-4?3k-1?≥0, ? t2=3k-1>0, ∴?t1· ?t +t =2>0, ?1 2 1 2 解得3<k≤3.

?1 2? 故实数 k 的取值范围是?3,3?. ? ? ?1 2? 答案:?3,3? ? ?

函数与方程思想在不等式中的应用
[例 3] 1 3 (2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x-4x+4x-1,g(x)

=-x2+2bx-4,若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

[思维流程]

[解]

问题等价于 f(x)min≥g(x)max.
2

1 3 1 1 3 4x- x - 3 f(x)=ln x-4x+4x-1,所以 f′(x)=x-4-4x2= , 4x2 由 f′(x)>0 得 x2-4x+3<0,解得 1<x<3, 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3),单调递减区间是(0,1)和 (3,+∞), 故在区间(0,2)上,x=1 是函数的极小值点,这个极小值点是 1 唯一的,故也是最小值点,所以 f(x)min=f(1)=-2. 由于函数 g(x)=-x2+2bx-4,x∈[1,2].

当 b<1 时,g(x)max=g(1)=2b-5;当 1≤b≤2 时,g(x)max=g(b) =b2-4;当 b>2 时,g(x)max=g(2)=4b-8.

? ? ?b<1, ?1≤b≤2, 故问题等价于? 1 或? 1 或 2 ? ? ?-2≥2b-5 ?-2≥b -4 ? ?b>2, ? 1 ? ?-2≥4b-8.
14 解第一个不等式组得 b<1,解第二个不等式组得 1≤b≤ 2 ,第三 个不等式组无解. ? 14? ? ?. 综上所述,b 的取值范围是 -∞, 2 ? ?

总结————————————— ——————————规律·

不等式恒成立问题的处理方法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数,利用函数的图像和性质解决问题.同时要注 意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参 数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在 范围的量为变量,而待求范围的量为参数.

3.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)<2(x-1); 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5
3 证明:(1)法一:记 g(x)=ln x+ x-1-2(x-1), 1 1 3 则当 x>1 时,g′(x)=x+ -2<0. 2 x 3 又 g(1)=0,故 g(x)<0,即 f(x)<2(x-1).

法二:由均值不等式,当 x>1 时,2 x<x+1, x 1 故 x<2+2. ①

1 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k′(x)=x-1<0, 故 k(x)<0,即 ln x<x-1. ②

3 由①②得,当 x>1 时,f(x)<2(x-1).

9?x-1? (2)法一:记 h(x)=f(x)- ,当 1<x<3 时, x+5 2+ x x+5 1 1 54 54 由 (1) 得 h′(x) = x + - = 2x - < - ?x+5?2 4x 2 x ?x+5?2 ?x+5?3-216x 54 = . ?x+5?2 4x?x+5?2 令 l(x)=(x+5)3-216x,1<x<3, 则 l′(x)=3(x+5)2-216<0, 因此 l(x)在(1,3)内是递减函数,又由 l(1)=0,得 l(x)<0,所以 h′(x)<0.

因此 h(x)在(1,3)内是递减函数,又由 h(1)=0, 得 h(x)<0. 9?x-1? 于是当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 法二:记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时, 由(1)得 h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9
?1 1 ? 3 ? ? <2(x-1)+(x+5)?x+ ?-9 2 x ? ?

1 =2x[3x(x-1)+(x+5)(2+ x)-18x]
? ? x 1? 1? <2x?3x?x-1?+?x+5??2+2+2?-18x? ? ? ? ?

1 =4x(7x2-32x+25)<0, 因此 h(x)在(1,3)内单调递减,又 h(1)=0, 9?x-1? 所以 h(x)<0,即 f(x)< . x+5

函数与方程思想在数列中的应用
[例 4]
?1?n ?1?n 8 ?1?n ? ? 若数列{an}的通项公式为 an=3× 8 -3×?4? +?2? (其 ? ? ? ? ? ?

中 n∈N*),且该数列中最大的项为 am,则 m=________.
[思维流程]

[解析]



?1?n x=?2? ,则 ? ?

1 0<x≤2.

? 1? 8 3 2 构造 f(x)=3x -3x +x,x∈?0,2?, ? ?

所以 f′(x)=8x2-6x+1. 1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=4,x2=2, 所以 所以
? ?1 1? 1? f(x)在?0,4?上为增函数,在?4,2?上为减函数. ? ? ? ? ?1? f(x)max=f?4?,即当 ? ?

1 x=4时,f(x)最大.

所以当 n=2 时,an 取得最大值,即 m=2.
[答案] 2

—————————规律· 总结—————————————
数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意 数列问题中 n 的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般 解题步骤是: 第一步:分析数列式子的结构特征. 第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化问题形式. 第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关 性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究. 第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题.

2 4.(2013· 全国高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2 ,且 S1,

S2,S4 成等比数列,求{an}的通项公式.
解:设{an}的公差为 d.
2 由 S3=a2 2得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3.

由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2,符合题意. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.

函数与方程思想在解析几何中的应用
[例 5] 椭圆 C 的中点为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长 2 为 2,离心率为 2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交

??? ? ??? ? 于相异两点 A,B,且 AP =3 PB .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围.

[思维流程]

[解]

y2 x2 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),设 c>0,

c2=a2-b2, c 2 2 由题意,知 2b= 2,a= 2 ,所以 a=1,b=c= 2 .
2 x 故椭圆 C 的方程为 y2+ 1 =1,即 y2+2x2=1. 2

(2)设直线 l 的方程 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐 标为 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?y=kx+m, 由? 2 2 ? ? 2x + y = 1 ,

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,

Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2 ??? ? ??? ? 因为 AP =3 PB ,所以-x1=3x2,
? ?x1+x2=-2x2, 所以? 2 ? x x =- 3 x ? 1 2 2.

则 3(x1+x2)2+4x1x2=0, 即
2 ?-2km? m -1 ? ?2 3· =0, 2 ? k2+2 ? +4· k +2 ? ?

整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0, 1 当 m =4时,上式不成立;
2 2 2 - 2 m 1 当 m2≠4时,k2= 2 , 4m -1

由(*)式,得 k2>2m2-2,又 k≠0,
2 2 - 2 m 所以 k2= 2 >0, 4m -1

1 1 解得-1<m<-2或2<m<1, 即所求 m
? ? 1? ?1 的取值范围为?-1,-2?∪?2,1?. ? ? ? ?

总结————————————— ——————————规律· 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤
第一步:联立方程. 第二步:求解判别式 Δ. 第三步:代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所求目标 参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代换. 第四步:下结论.将上述等量代换式代入 Δ>0 或 Δ≥0 中,即可求出 目标参数的取值范围. 第五步:回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时,无论 题目中有没有涉及求参数的取值范围,都不能忽视了判别式对某些量的制 约,这是求解这类问题的关键环节.

2 y 5.(2013· 西城模拟)如图,椭圆 C:x2+m=1(0<m<1)的左顶点

为 A,M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关 于点 M 对称.

(1)若点 P

?9 4 3? ?,求 的坐标为? , 5 ? ?5

m 的值;

(2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围.

解:(1)依题意,M 是线段 AP 的中点, 因为
?9 4 3? ? A(-1,0),P? , ?5 ?, 5 ? ? ?2 2 3? ? 的坐标为? . , ?5 5 ? ? ?

所以点 M

4 12 由点 M 在椭圆 C 上,所以25+25m=1, 4 解得 m=7.

2 y 0 (2)设 M(x0,y0),则 x2 + 0 m=1,且-1<x0<1.①

因为 M 是线段 AP 的中点,所以 P(2x0+1,2y0). 因为 OP⊥OM, 所以 x0(2x0+1)+2y2 0=0.② 2x2 0+ x 0 由①②消去 y0,整理得 m= 2 , 2x0-2 1 3 所以 m=1+ ≤ 2- 4 , 6 2?x0+2?+ -8 x0+2 当且仅当 x0=-2+ 3时,上式等号成立, 所以 m
? 1 的取值范围是?0, - 2 ?

1

3? ?. 4?

应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思 考和切入 (1)函数与不等式的相互转化.对函数 y=f(x),当 y>0 时, 就化为不等式 f(x)>0,借助于函数的图像和性质可解决有关问 题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函 数的观点去处理数列问题十分重要.

(3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量 通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未 知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,如直线与二次曲线的位置关系 问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与 二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

数学思想专练(一)


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