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湖北省历届高考数学真题


09 年湖北省高考数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (2009?湖北)已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1) ,m∈ R},Q={b|b=(1,1)+n(﹣1,1) , n∈ R}是两个向量集合,则 P∩ Q=( ) A.{(1,1)} B.{(﹣1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)}

2. (2009?湖北)设 a 为非零实数,函数 y= A.y= C.y= (x∈ R,且 x≠﹣ ) B.y=

(x∈ R,且 x≠ )的反函数是( (x∈ R,且 x≠ ) (x∈ R,且 x≠﹣ )



(x∈ R,且 x≠1) D.y=

3. (2009?湖北) 投掷两颗骰子, 得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni) (n﹣mi) 为实数的概率为( ) A. B. C. D. )﹣2 的图象 F 按向量 a 平移到 F′ ,F′ 的函数解析式

4. (2009?湖北)函数 y=cos(2x+

为 y=f(x) ,当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于. A. ( ,﹣2) B. ( ,2) C. ( ,﹣2) D. ( ,2)

5. (2009?湖北)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到一个班,则不同分法的种数为( ) A.18 B.24 C.30 D.36 6. (2009?湖北)设 [(a0+a2+a4+…+a2n) ﹣(a1+a3+a5+…+a2n﹣1) ]=( A.﹣1 B.0 C.1 D.
2 2

+a2nx ,则 )

2n

7. (2009?湖北)已知双曲线 与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A.K∈ [﹣ , ] C.K∈ [﹣ , ]

的准线过椭圆 )

的焦点,则直线 y=kx+2

B.K∈ [﹣∞,﹣ ]∪ ,+∞] [ D.K∈ [﹣∞,﹣ ]∪ [ ,+∞]

8. (2009?湖北)在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆 甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每 辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最 少运输费用为( ) A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 9. (2009?湖北)设球的半径为时间 t 的函数 R(t) .若球的体积以均匀速度 c 增长,则球的 表面积的增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为 C B.成正比,比例系数为 2C C.成反比,比例系数为 C D.成反比,比例系数为 2C 10. (2009?湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: 他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( )

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (2009?湖北)已知关于 x 的不等式 的解集 ,则实数

a= _________ . 12. (2009?湖北)如图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估 计,样本数落在[6,10]内的频数为 _________ ,数据落在(2,10)内的概率约为 _________ .

13. (2009?湖北)如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的 地面区域, 称为这个卫星的覆盖区域. 为了转播 2008 年北京奥运会, 我国发射了“中星九号” 广播电视直播卫星,它离地球表面的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中 星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 _________ km. (结果中保留反余弦的符号) .

14. (2009?湖北)已知函数 f(x)=f′ (

)cosx+sinx,则 f(

)的值为 _________ .

15. 2009?湖北) ( 已知数列{an}满足:1=m a (m 为正整数) an+1= ,

若 a6=1,则 m 所有可能的取值为 _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (2009?湖北)一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5; 另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6.现从一个盒子 中任取一张卡片,其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y, 记随机变量 η=x+y,求 η 的分布列和数学期望.

17. (2009?湖北)已知向量 =(cosα,sinα) =(cosβ,sinβ) =(﹣1,0) , , . (1)求向量 (2)设 α= 的长度的最大值; ,且 ⊥ ( ) ,求 cosβ 的值.

18.2009?湖北) ( 如图, 四棱锥 S﹣ABCD 的底面是正方形, 平面 ABCD, SD⊥ SD=2a, 点 E 是 SD 上的点,且 DE=λa(0<λ≤2) (Ⅰ )求证:对任意的 λ∈ (0,2) ,都有 AC⊥ BE (Ⅱ设二面角 C﹣AE﹣D 的大小为 θ, ) 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ω, tanθ?tanφ=1, 若 求 λ 的值.

19. (2009?湖北)已知数列 an 的前 n 项和 (1)令 bn=2 an,求证:数列 bn 是等差数列,并求数列 an 的通项公式. (2)令 ,试比较 Tn 与 的大小,并予以证明.
n

20. (2009?湖北)某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取 1000 套进行统计,并根 据结果绘出如图所示的统计图.从中可知卖出的 110m ~130 m 的商品房 _________ 套.
2 2

21. (2009?湖北) R 上定义运算: 在 已知 f1(x)=x ﹣2c,f2(x)=x﹣2b,f(x)=f1(x)f2(x) . ① 如果函数 f(x)在 x=1 处有极值 ,试确定 b、c 的值;
2

(b、 R 是常数) c∈ ,

② 求曲线 y=f(x)上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; ③ g(x)=|f′ 记 (x)|(﹣1≤x≤1)的最大值为 M,若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的 取值范围. (参考公式:x ﹣3bx +4b =(x+b) (x﹣2b) )
3 2 3 2

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)
? 1? i ? 1. i 为虚数单位,则 ? ? ? 1? i ?
A.- i
2011

= C. i D.1

B.-1

2.已知 U ? ? y | y ? log 2 x, x ? 1? , P ? ? y | y ?

? ?

1 ? , x ? 2 ? ,则 CU P = x ?

A. [ , ??) C. ? 0,???

1 2

B. ? 0, ? D. (??, 0][ , ??)

? ?

1? 2?
1 2

3.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为 A. ? x | k? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
. D. {x | 2k? ?
2

B. ? x | 2k? ?

? ?

?
?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? k? ? 5? , k ? Z} 6

C

{ x | k? ?

?
6

? x ? 2 k? ?

5? , k ? Z} 6

6

4.将两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数 记为 n,则 A.n=0 D.n ? 3

B.n=1

C.

n=2

2 5.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2,a ,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0< ? <2)=

?

?

A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2
2 ?2

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? a ? a 0,且 a ? 0 ) .若 g ? 2 ? ? a ,则 f ? 2 ? = A.2 B.

?2( a >

15 4

C.

17 4

D. a

2

7.如图,用 K、 A1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统。当 K 正常工作且 A1 、 A2 至少 有一个正常工作时, 系统正常工作, 已知 K、A1 、A2 正常工作的概率依次为 0. 0. 9、 8、 0.8,则系统正常工作的概率为

A.0.960

B.0.864

C.0.720

D.0.576

8.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 x ? y ? 1 ,则 z 的取值 范围为 A.[-2,2]

B.[-2,3]

C.[-3,2]

D.[-3,3]

9. 若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0, 且 ab ? 0 , 则称 a 与 b 互补, ? (a, b) ? 记 那么 ? ? a, b? ? 0 是 a 与 b 互补的

a 2 ? b2 ? a ? b, ,

A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象 称为衰变。假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克)与 时间 t(单位:年)满足函数关系: M (t ) ? M 0 2
? t 30

,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量。

已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10In2(太贝克/年) ,则 M(60)= A.5 太贝克 B.75In2 太贝克 C.150In2 太贝克 D.150 太贝克 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其中答案按先后次序填写。答错位置,书写不清,模棱俩可均不 给分。

1 ? ? 15 11.? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 3 x? ?

18

(结果用数值表示)

12.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期。从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到一瓶 已过保质期饮料的概率为 。 (结果用最简分数表示) 13. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升。
' ' ' 14.如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x Oy (其中 y 轴一与 y
' 轴重合)所在的平面为 ? , ?xOx ? 45? 。

' (Ⅰ)已知平面 ? 内有一点 P' (2 2, 2) ,则点 P 在平面 ? 内的射影 P 的

坐标为


' '

(Ⅱ) 已知平面 ? 内的曲线 C 的方程是 ( x' ? 2)2 ? 2 y'2 ? 2 ? 0 , 则曲线 C 在平面 ? 内的射影 C 的方程是 。 15.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,

黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示: ....

由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 ....

种,至少有两个

黑色正方形相邻的着色方案共有 种, (结果用数值表示) .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4

17. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。 在一般情况下, 大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是 车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度

x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:

辆/每小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (Ⅰ)当 CF =1 时,求证: EF ⊥ A1C ; (Ⅱ)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值.

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an? 的前

n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , an ? 1 ? rSn (n ? N* ,

r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列 ?an? 的通项公式; (Ⅱ)若存在 k ? N*,使得 Sk ? 1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,是判断:对于任意的 N*,且 m ? 2 , am ? 1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.

m?

20. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a, 0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数 点的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0)U (0, ??) ,对应的曲线为

m的

C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 撒谎个,是否存在点 N ,使得△

F1 N F2 的面积 S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明
理由。

21. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? Inx ? x ? 1 , x ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk (k ? 1, 2 ?, n) 均为正数,证明:
k k k (1)若 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? b1 ? b2 ? ? bn ,则 a1 1 a22 ?ann ? 1 ;

(2)若 b1 ? b2 ? ? bn =1,则

1 k k 2 2 ? b1k1 b2 2 ?bn n ? b12 ? b2 ? ?? bn . n


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