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商丘市一高2013-2014学年度第一学期期末考试高三数学(文科)试卷


商丘市一高 2013-2014 学年第一学期期终考试 高三数学(文科)试卷
命题:郭 永 考试时间:120 分钟 审题:张志华 试卷满分:150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上(答 题注意事项见答题卡) ,在本试卷上答题无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,

每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1) 命题“ ? x∈Z,使 x2+2x+m≤0”的否定是 A. ? x∈Z,使 x2+2x+m>0 ( D ) B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 ) D. [0, 2] A )

C.对 ? x∈Z 使 x2+2x+m≤0 D.对 ? x∈Z 使 x2+2x+m>0 (2) 已知 M ? { y ? R | y ? x 2 }, N ? {x ? R | x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N ? ( D A. {(?1,1),(1,1)} B. {1} C. [0,1]

(3) 已知 (1 ? i) ? z ? ?i ,那么复数 z ? z 对应的点位于复平面内的( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

(4) 如图所示算法程序框图中,令 a=tan 315°,b=sin 315°,c=cos 315°, 则输出结果为( D ) A.1 B.-1 C. ?

2 2

D.

2 2 B )

(5) 由 a1 ? 1, d ? 3 确定的等差数列 ?an ? , 当 an ? 2014 时, 序号 n 等于 ( A. 671 B. 672 C. 673 C ) D. (1, 2) C ) D. 674

(6) 函数 f ( x) ? log 2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间( A. ( , )

1 1 8 4

B. ( , )

1 1 4 2

C. ( ,1) (

1 2

(7) 下列说法中,正确的是

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题. B.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 为等腰直角三角形. C.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x ? x ? 0 ”.
2 2

3 ? ? ? ? ? ? ? ? (8) 已知 a ? b , a ? 2, b ? 3 ,且向量 3a ? 2b 与 ka ? b 互相垂直,则 k 的值为( B )

D.为得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移

? 个长度单位. 3

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.1

(9) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2, 且侧棱 AA1⊥底面 ABC,其正视图是边长为 2 的正方形,则 此三棱柱侧视图的面积为( A. 3 B.2 3 (10) 设椭圆的方程为 B ) C.2 2 D.4

x2 y2 M 为椭圆上任意一点, ? ? 1 ( x ? ?5) , A, B 为椭圆上两长轴上的端点, 25 100 9 则 AM , BM 的斜率之积 k AM ? k BM ? ( B )
A.
4 9
2

B. ?

4 9

C.

9 4

D. ?

9 4

(11) 已知函数 f ( x) ? x ? bx 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ?
? 1 ? ? ? 的前 n 项和为 S n ,则 S2014 的值为 ? f ( n) ?

y ? 2 ? 0 平行,若数列
A )


2012 2013

A.

2014 2015

B.

2013 2014

C.

D.

2014 2013

(12) 若关于 x 的方程 A.(0,1)

x x?4

? kx 2 有四个不同的实数根,则 k 的取值范围为( C



B. ( ,1)

1 4

C. ( , ??)

1 4

D. (1, ??)

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?y ?1 ? (13) 若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为___ ?x ? y ? 2 ? 0 ?
2

___3

(14) 直 线 l 过 定 点 P(? 2, 1)与 抛 物 线 y ? 4 x 只 有 一 个 公 共 点 , 则 直 线 斜 率 k 的 取 值 集 合 为 __ . ? ?1, 0,

? ?

1 ? ,? 2 ?
?

y P

e1 , e2 (15) 如图,设 Ox, Oy是平面内相交成60 的两条数轴,

?? ?? ?

分 别 是 与 x 轴 , y 轴 正 方向同 向 的 单位 向量 , 若向量

O x

??? ? ?? ?? ? ??? ? OP ? xe1 ? ye2 , 则 把 有 序 数 对 ( x ,y )叫 做 向 量 OP 在 坐 标 系 x O y中 的 坐 标 . 假 设
??? ? ??? ? ?? ?? ? OP ? 3e1 ? 2e2 , 则 OP 的大小为_______. 19
(16) 有下列命题: ①函数 y ? ax ? bx ? c 为偶函数的充要条件是 b ? 0
2

②函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图像关于直线 x ? a 对称. ③b ?

ac是a, b, c成等比的必要不充分条件 .
2

④若函数 f ( x) ? x( x ? c) ⑤ y ? sin x ?

在 x ? 2 处有极大值,则 c 的值为 2 或 6.

1 ? ?? ? 0 ? x ? ? 的最小值是 2. sin x ? 2?

其中正确命题的序号是____________(1) (注:把你认为正确的命题的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 12 分) 2013 年 12 月 26 日上午,日本首相安倍晋三参拜了靖国神社.这是安倍两次出任首相以来首 次参拜,引起周边国家的强烈谴责,我军为了加强防范外敌入侵加强军事演习.在某次军事演习中 红方为了准确分析战场形势,在两个相距为

3a 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两只精锐部队分别 2
?

在 A 处 和 B 处 , 且 ?ADB ? 30 , ?BDC ? 30 ,
?

A B

?DCA ? 60 ? , ?ACB ? 45 ? ,如图所示,求蓝方这两只精
锐部队的距离.

D

C

(18) (本题满分 10 分) 已知数列{an}是首项 a1 ? 1 的等比数列,且 an>0,{bn}是首项为 1 的等差数列,又 a5+b3=21, a3+b5=13. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; bn (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和 Sn. 2an

(19) (本题满分 12 分) 如图, 已知三棱锥 A ? BPC 中,AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 中点, D 为 PB 中点, 且△ PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。 (20) (本题满分 12 分)

A

M P D B C

商丘是商部族的起源和聚居地,商人、商业的发源地和商朝最早的建都地。华商始祖王亥最早 在这里,商丘是华商之都,于 2006 年 11 月 10 日在商丘举办首届国际华商文化节,某花卉集团根 据需要欲将如图所示一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN, 要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什 么范围内? (Ⅱ)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出 最小值. (21) (本题满分 12 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax, g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 a ? 0 . 设两曲线 2

y ? f ( x), y ? g ( x) 有公共点,且在公共点处的切线相同.
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 b 的值; (Ⅱ)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值. (22) (本题满分 12 分) 已知圆 M : x ? 5

?

?

2

? y 2 ? 36 , 定点 N ( 5 ,0) , 点 P 为圆 M 上的动点, 点 Q 在 NP 上, 点G

在 MP 上,且满足 NP ? 2 NQ,

GQ ? NP ? 0 .

(Ⅰ)求点 G 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ?2,0 ? 作斜率为 k 的直线 l ,与曲线 C 交于 A 、 B 两点, O 是坐标原点,是否存在这 样的直线 l ,使得 OA ? OB ? ?1 ,若存在,求出直线 l 的斜率 k 的取值范围;若不存在, 请说明理由.

商丘市一高 2013-2014 学年第一学期期终考试 高三数学(文)参考答案 及试卷分析 备注:评卷参考 前三题基础题,第 2 题易错,分清点集合数集,第 4 题三角算法结合题。 课本例题,习题中的原题或改编题有:5.(课本例题求第 10 项),7 中的 B 为课后作 业,10,椭圆的那个例题,11 课后作业 an ?

1 的和,12,是 2011 年卓越联盟和 2012 南通模 n(n ? 1)

拟的改编试题。14,15.16 的(1)均为课本例题和习题。22 题课后作业为背景。 一、选择题: DDADB CCBBB AC 二、填空题:13. 3 三、 解答题: 17 解法一:在△ BDC 中, ?DBC ? 180 ? 30 ? 105 ? 45 ,
? ? ? ?

14.

1 ? ? ? ?1, 0, , ? 15. 2 ? ?

19 16. (1)

所以,由正弦定理得: BC ?

DC sin 30 ? 6 ? a. ? sin 45 4
? ? ? ?

在△ ADC 中, ?DAC ? 180 ? 60 ? 60 ? 60 ,

所以, AC ? DC ?

3 a. 2

因此,在△ ACB 中由余弦定理得:

AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos 45?

? ( ?

3 2 6 2 3 6 2 a) ? ( a) ? 2 ? a? a? 2 4 2 4 2

6 a. 4
?

解法二:设 AC ? BD ? O ,则 ?DOC ? 90 , 且 O 是 AC 的中点.

A
O

1 3 a, 于是, CO ? AO ? CD ? 2 4

B

BO ? CO ?
AB ? 因此,

3 a, 4
2 AO ? 6 a. ???????10 4

D

C


18.(1)设数列{an}的公比为 q,{bn}的公差为 d,则由已知条件得:
4 ? ? ?q +1+2d=21 ?d=2 ? 2 ,解之得:? .· · ·4 分 ?q +1+4d=13 ? ? ?q=2或q=-2?舍去?

∴an=2n 1,bn=1+(n-1)×2=2n-1.· · · · · · · · · · · · · · ·6 分


bn 2n-1 (2)由(1)知 = n .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2an 2 2n-3 2n-1 1 3 5 ∴Sn= + 2+ 3+?+ n-1 + n . 2 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 ∴ Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n-1 ①-②得: Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 = +( + 2+?+ n-1)- n+1 2 2 2 2 2 1 1 - [1-? ?n 1] 2 2n-1 1 2 = + - n+1 2 1 2 1- 2 1 1 - 2n-1 = +1-( )n 1- n+1 . 2 2 2 2n+3 ∴Sn=3- n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 19. 解(1)∵ M 为AB中点,D为PB中点, ∴ MD ∥ AP ,又∴ MD ? 平面APC ∴ DM ∥ 平面APC ?????????????????????3 分 (2)∵△ PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点, ∴ MD ? PB 又由(1)∴知 MD ? AP, ∴ AP ? PB 又已知 AP ? PC ∴ AP ? 平面PBC , ∴ AP ? BC ,又∵ AC ? BC ∴ BC ? 平面APC ,∴平面 ABC ? 平面 PAC ,??????????8 分 (3)∵ AB ? 20 ∴ MB ? 10 ,∴ PB ? 10 ①

②· · · · · · · · ·10 分

又 BC ? 4 , PC ? 100 ? 16 ? 84 ? 2 21

∴ S?BDC ?

1 1 1 S?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21 2 4 4 1 1 又MD ? AP ? 202 ? 102 ? 5 3 2 2 1 1 S?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 3 3 ------------------------12 分

∴ VD ? BCM ? VM ? BCD ?

20(1)设 DN 的长为 x( x ? 0) 米,则 AN= x ? 2 米

3( x ? 2) DN DC ∵ = ,∴AM= ,????????2 分 AN AM x

3( x ? 2) 2 . x 3( x ? 2) 2 由 SAMPN >32,得 ? 32 ,又 x ? 0 , x 2 得 3x 2 ? 20 x ? 12 ? 0 ,解得: 0 ? x ? 或 x ? 6 , 3 2 即 DN 长的取值范围是 (0, ) ? (6, ??) . ???????6 分 3
∴SAMPN=AN·AM= (2)矩形花坛 AMPN 的面积为

3( x ? 2) 2 3x 2 ? 12 x ? 12 12 12 ? ? 3x ? ? 12 ? 2 3x ? ? 12 ? 24 ????10 分 x x x x 12 当且仅当 3 x ? ,即 x ? 2 时,矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24. x y?
故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米. ????12 分 21. 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同

f '( x) ? x ? 2, g '( x) ?

3 x

???????2 分

?1 2 x0 ? 2 x0 ? 3ln x0 ? b ? 2 ? 由题意知 f ( x0 ) ? g ( x0 ), f '( x0 ) ? g '( x0 ) ,∴ ? 3 ? x0 ? 2 ? x0 ? ?
由 x0 ? 2 ? 即有 b ?

??4 分

3 得, x0 ? 1 ,或 x0 ? ?3 (舍去) x0
???????6 分

5 2

(Ⅱ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同

f '( x) ? x ? 2a, g '( x) ?

3a 2 x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b ? 2 ? 由题意知 f ( x0 ) ? g ( x0 ), f '( x0 ) ? g '( x0 ) ,∴ ? 2 ? x0 ? 2a ? 3a ? x0 ?
由 x0 ? 2a ? 即有 b ?

3a 2 得, x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) x0

??????8 分

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a 2 2 5 令 h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ,则 h '(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) ,于是 2
当 2t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h '(t ) ? 0 ; 当 2t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h '(t ) ? 0 故 h(t ) 在 (0, ??) 的最大值为 h(e 3 ) ?
1
1 1 3

???????11 分

3 2 3 2 e 3 ,故 b 的最大值为 e 3 .?????12 分 2 2

22. 解 :(1) ?

? ? NP ? 2 NQ ? Q 为 线 段 PN 的 中 点 且 GQ ? PN , 则 GQ 为 PN 的 中 垂 线 , 故 ? ?GQ ? NP ? 0

PG ? GN ,? GN ? GM ? PM ? 6 ,故点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆,且其长半轴长

x2 y2 ? ? 1 ………..5 分 9 4 (2)设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (9k ? 4) x ? 36 k x ? 36(k ? 1) ? 0 ,………..8 分 y2 ? ?1 ? 4 ?9 36 k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 9k ? 4 9k 2 ? 4 20 k 2 y1 y 2 ? [k ( x1 ? 2)][ k ( x2 ? 2)] ? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ? ? 2 ………..10 分 9k ? 4 16 k 2 ? 36 4 2 4 2 ?k? ? ?1 ,解得 ? 则 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 2 5 5 9k ? 4 4 2 4 2 ?k? 故存在这样的直线 l ,使得 OA ? OB ? ?1 ,此时其斜率 k 的取值范围是 ? .…..12 分 5 5

a ? 3 ,半焦距 c ? 5 ? b ? 2 ?点 G 的轨迹 C 的方程是


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